Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică - în limba maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA1025	Numere complexe şi aplicaţii în geometrie	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
2	2+1+0+1	specialitate	kötelező	

II. Főállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Algebra, Matematikai analizis és Geometria	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
Az egyváltozós komplexfüggvények elméletével kapcsolatos új alapismeretek elsajátítása, és ezen ismeretek alkalmazási lehetőségeinek a bemutatása. Különböző megoldási módszerek ismertetése és alkalmazása bizonyos feladatok esetén.
A végzősök módszertani kompetenciájának fejlesztése a fontosabb komplex analízis feladatok megoldásában, illetve a nehezebb, tantárgyverseny szintű feladatok megoldásában. 	

IV. A tantárgy tartalma
1. A komplex számok tulajdonságai. Szintetikus és analitikus mértan a komplex síkban.
2. Homografikus függvények. Kiegészítések.
3. Nem Euklideszi geometriai modellek.
4. Konformis leképezések.
5. Analitikus függvények mértani elméletének elemei.	

V. Könyvészet
1. G. S. Sălăgean, Geometria planului complex, Promedia-Plus, Cluj-Napoca, 1997
2. P. T. Mocanu, T. Bulboacă, G. S. Sălăgean, Teoria geometrică a funcţiilor univalente, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, Ed. I, 1999, Ed. II, 2006.
3. P. Hamburg, P. T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză matematică (Funcţii complexe), Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1982
4. R. Deaux, Introduction to the Geometry of Complex Numbers. Dover, 2008
5. T. Andreescu, D. Andrica, Complex Numbers from A to … Z, Birkhauser, Boston, 2006
6. S. G. Krantz, Geometric Function Theory, Birkhauser, 2006
7. P. T. Mocanu, Funcţii complexe, Partea I, Lito. Universitaţii Cluj, 1972
8. R. Shakarchi, Problems and Solutions for Complex Analysis, Springer, 1999
9. M. Evgrafov, K. Bobejnov, Y. Sidorov, Recueil de problemes sur la theorie des functions analytiques, Edition Mir, Moscou, 1974	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
Előadás
1. Komplex számok geometriai tulajdonságai. Geometrikus transzformációk [1, 27. oldal].
2. Komplex számok alkalmazásai geometriában. Ptolemeos, Pompeiu, Angheluţă, és D. V. Ionescu tételei [1, 27-46 oldal].
3. Analitikus mértan a komplex síkban [1, 46-54 oldal].
4. Körbe beirt sokszögek tulajdonságai. Az Euler-féle kör, általánosítások [1, 62-70 oldal].
5. Lineáris törttranszformáciok. Értelmezések, tulajdonságok [1, 71-82 oldal], [3, 35-38 oldal], [7, 72-81 oldal].
6. Nevezetes törttranszformáció halmazok. A törttranszformáciok osztályozása [1, 82-93 oldal].
7. Egy nem Euklideszi geometriai modell (Lobacevski-Poincaré). Incidens és rendszeri axiómák [1,  94-98 oldal], [3, 44-45 oldal].
8. Kongruencia axiómák [1, 98-107 oldal]. Folytonosság axiómák és párhuzamosok axiómái [1, 107-113 oldal].
9. A kör. Az elliptikus és parabolikus függvények tulajdonságai a Poincare modellben. Az általánosítót Schwarz-féle lemma [1, 120-127 oldal].
10. Sajátos tulajdonságú holomorffüggvény-halmazok; Montel tétele. Egyrétű függvények – legfontosabb tulajdonságok. Hurvitz tétele [3, 139-146 oldal].
11. A konformis leképezés problémája. A Riemann-féle tétel. Nevezetes konformis leképezések [3,  146-152 oldal], [7, 49-55 oldal].
12. Analitikus függvények mértani elméletének elemei [1, 129-148 oldal], [3, 1-12 oldal], [5, 13-18 oldal].

Szeminárium
1., 2., 3., 4 Feladatok komplex számokkal [1, 16-24 oldal], [5, 1-86 oldal], [6, 1 fejezet].
5., 6. Analitikus mértani feladatok [1, 55-62 oldal].
7., 8., 9. Diák versenyinél adott feladatok [5, 161-246 oldal].
10., 11. Lineáris törttranszformáciok – feladatok [9, 299-305 oldal],[8., 7 fejezet]
12. Egyrétű függvények [3, 19 oldal], [7, 203-204 oldal], [9, 294-298 oldal].	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
- Interaktív előadás, mesteri előadás, párbeszéd előadás közben, előadás bizonyításokkal;
- Bevezető beszélgetések, ismeretek rögzítése, elmélyítése, rendszerezése és szintetizálása érdekében folytatott beszélgetések;
- A kérdésfeltevés módszere, problématizálás, probléma-helyzet teremtése;
- A felfedeztetés módszere, induktív illetve deduktív felfedezési eljárások, kutatás-felfedezés szakirodalmi anyagok tanulmányozása alapján.
- Gyakorlatok.	

VIII. Értékelés
Ellenőrző dolgozat írása az első 7 kurzus és szeminárium anyagából 30%, szeminárium 20%, vizsga 50%.	

IX. Kiegészíto könyvészet
10. N. Mihăileanu, Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1968
11. Liang-shin Hahn, Complex Numbers and geometry, The Mathematical Association of America, 1994
12. H. Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Dover, 1979
13. I. M. Yaglom, Complex Numbers in Geometry, Academic Press, New York – London, 1968
14. J. B. Read, Calculus With Complex Numbers, Taylor and Frances, 2003
14. M. Dincă, M. Chiriţă, Numere complexe în matemtica de liceu, All Educational, Bucureşti, 1996	

	Dékán,						Tanszékvezető,

	Dátum,						Az előadás felelőse,
								Prof. Dr.  BULBOACA Teodor