Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1018	Teme de analiză matematică III (pentru perfecţionarea profesorilor)	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
COBZAS Stefan	Dr.	Prof.	Analiză şi Optimizare	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea unor rezultate referitoare la integralele Riemann si Riemann-Stieltjes si demonstrarea unor rezultate noi, cu aplicatii la integrale depinzand de parametri (proprii si improprii). Prezentarea unor rezultate referitoare la seriile Fourier cu aplicatii la calculul sumelor unor serii numerice. Demonstrarea unor rezultate referitoare la derivabilitate a.p.t. a functiilor monotone si a functiilor absolute continue.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Teorema a doua de medie pentru integrale si aplicatii   (4c+2s)
Teorema a doua de medie pentru integralele  Riemann si Riemann-Stieltjes.Teorema a doua de medie pentru integrala Lebesgue.Criteriile lui Abel si Dirichlet de convergenta a integralelor improprii.Formula generalizata de integrare prin parti si transcendenta numerelor e si pi. Media aritmetico-geometrica si formula lui Gauss.

2. Teorema lui Arzela de convergenta dominata  si aplicatii    (2c+1s)
Demonstrarea teoremei lui Arzela si compararea cu teorema lui Lebesgue de  convergenta dominata. Aplicatii la trecerea la limita sub semnul integralei.

3. Integrale cu parametri - proprii si improprii  (6 c+ 3s)
Aplicatii ale teoremei lui Arzela la integrale cu parametri - continuitatea, derivarea, integrarea. Exemple de calcul ale unor integrale cu parametri. Integrale improprii cu parametri, calculul unor integrale improprii remarcabile. Aplicarea teoremei reziduurilor la calculul unor integrale improprii. Functiile Beta si Gamma ale lui Euler. 

4. Serii Fourier si aplicatii la calculul sumelor unor serii  (10c + 5s)
Sistemul trigonometric. Forma complexa a sistemului trigonometric.Coeficienti Fourier. Lema lui Riemann. Dezvoltarea in serie Fourier: completitudinea sistemului trigonometric, convergenta in L2. Dezvoltarea in serie Fourier a unor functii elementare.
Convergenta uniforma a seriilor Fourier si aplicatii la calculul unor sume de serii.
Convergenta punctuala a seriilor Fourier. Scurt istoric de evolutie a seriilor Fourier..
Criterii de convergenta punctuala: Dini si Lipschitz, Dirichlet-Jordan. Exemple si aplicatii. Transformata Fourier si aplicatii la calculul unor integrale. Aplicarea teoremei reziduurilor la calculul unor transformate Fourier.

5. Functii absolut continue -derivabilitatea a.p.t. si legatura cu integrala Lebesgue (6c+3s) 
Teorema lui Vitali de acoperire. Derivabilitatea a.p.t. a functiilor monotone. 
Diferentiabilitatea seriilor de functii- teorema lui Fubini. Teorema lui Lebesgue de densitate.Derivabilitatea a.p.t. a functiilor absolut continue. Legatura cu primitiva.  
Derivabilitatea a.p.t. a functiilor cu variatie marginita.

V. Bibliografie
1. Cobzas, S., Analiza matematica – Calculul diferential, Presa Universitara Clujeana, 
Cluj-Napoca 1997
2. Fihtenholt, G. M., Curs de calcul diferential si integral, Volumele 2 si 3, 
Editura Tehnica, Bucuresti 1963   
3. Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and abstract analysis, Springer, Berlin 1965
4. Nicolescu, M., Analiza matematica, Vol. 2, Editura Tehnica, Bucuresti 1958
5. Rudin, W. Principles of mathematical analysis , McGraw, Ny 1976
6. Stein, E. M.; Shakarchi, R., Real analysis, Princeton University Press, 
Vol. 2, Fourier analysis – An introduction ;  2003
 Vol. 3, Measure theory, integration and Hilbert spaces,  2005 
7. Zuilly, Cl., Elements d’analyse pour aggregation, Masson, Paris 1995
8. Duca, D; Duca, E., Analiza matematica – Culegere de probleme, Editura GIL, Zalau 1999
9. Trif, T., Probleme de calcul diferential si integral in Rn, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca 2003
10. Problemes de preparation a l’agregation mathematiques, Vol. 3. Analyse; Vol. 4.   Integration et series de Fourier, Ellipses, Paris 1999

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs: 
I. Teorema a doua de medie pentru integrale si aplicatii (4c+2s)
C1. Teorema a doua de medie pentru integralele Riemann si Riemann-Stieltjes –formulele lui Binet. Teoremaa doua de medie pentru integrala Lebesgue.
C2. Formula generalizata de integrare prin parti si transcendenta numerelor e si pi.

   II. Teorema lui Arzela de convergenta dominata si aplicatii (2c+1s)

C3. Notiuni preliminare. Demonstrarea teoremei lui Arzela de convergenta dominata si compararea cu
teorema lui Lebesgue de convergenta dominata.

   III. Integrale cu parametri – proprii si improprii (6c+3s)

C4. Aplicatii ale teoremei lui Arzela la la integrale proprii cu parametri- continuitate, derivabilitate, integrabilitate
C5.  Integrale improprii cu parametri – notiunea de convergenta uniforma, continuitate, derivabilitate, integrabilitate.
C6.  Calculul unor integrale improprii remarcabile. Functiile BETA si GAMMA ale lui Euler.

  IV. Serii Fourier si aplicatii  

C7.  Sistemul trigonometric. Forma complexa a sistemului trigonometric. Coeficienti Fourier. Lema lui Riemann.
C8.  Dezvoltarea in serie Fourier. Completitudinea sistemului trigonometric, convegenta in L2.
C9.  Convergenta punctuala. Scurt istoric al evolutiei seriilor Fourier – cateva momente cruciale.
C10.  Criterii de convergenta punctuala a seriilor Fourier – Dini, Lipschitz si Dirichlet-Jordan.
C11.  Transformata Fourier – proprietati fundamentale.

  V. Functii absolute continue – derivabilitatea a.p.t. si legatura cu primitivele

C12.  Teorema lui Vitali de acoperire. Diferentiabilitatea a.p.t. a functiilor monotone. 
C13.  Teorema lui Lebesgue de densitate. Functii absolute continue - derivabilitatea a.p.t..
C14.  Legatura intre primitive si functiile absolute continue. Teorema lui Radon-Nikodym.

Seminar:
S1. Criteriile lui Abel si Dirichlet de convergenta a integralelor improprii.
S2. Media aritmetico-geoemetrica si formula integrala a lui Gauss.
S3. Exemple de trecere la limita sub semnul integralei.
S4.  Exemple de calcul ale unor integrale cu parametri.
S5.  Exemple de integrale improprii cu parametric si opertaii cu ele.
S6.  Exemple suplimentare de calcul ale unor integrale improprii cu parametri.
S7.  Exemple de calcul al coeficientilor Fourier ai unor functii elementare.
S8.  Exemple de serii Fourier absolut convergente si aplicatii la calculul unor sume de serii.
S9.  Exemple de serii Fourier punctual convergente.
S10.  Exemple de aplicare a criteriilor de convergenta punctuala si comparatia intre ele.
S11.  Exemple de calcul al unor transformate Fourier. Aplicarea teoremei reziduurilor.
S12.  Diferentiabilitatea seriilor de functii – teorema lui Fubini.
S13.  Functii cu variatie marginita si formula de calcul a lungimii unei curbe rectificabile in Rn.
S14.  Diferentiabilitatea functiilor cu valori intr-un spatiu normat	

VII. Metode didactice folosite
Ca metode de predare se vor folosi: Prelegerea -magistrala, prin descoperire si dialog, cu oponenti. Conversatia –euristica, catihetica si anahoretica. Descoperirea: inductiva, deductiva si transductiva. Se vor folosi de asemenea simularea,  brainstorming-ul, sinectica si studiul individual.	

VIII. Evaluare
Examen scris 50%, lucrari de control 25%, referate prezentate de studenti 25%	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Gelbauam, B.R.; Olmsted, J. M. H.,  Contraexemple in analiza, Editura Stiintifica, Bucuresti ,1973
2. Megan, M. Bazele analizei matematice, volumele 1-3, Eurobit, Timisoara 1998
3. Niculescu, Constantin P. Fundamentele analizei matematice. 1. Analiza pe dreapta reala, Editura 
Academiei Române, Bucuresti, 1996.
4. Radulescu, S.; Radulescu, M., Teoreme si probleme de analiza matematica, EDP, Bucuresti1982
5. Rudin, W., Analiza reala si abstracta,  Editura Theta, Bucuresti 1999
6. Siretchi, G., Calcul diferential si integral, Vol. 1. Notiuni fundamentale; 2. Exercitii,Editura
 Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985
7. De Souza, P. Ney; Silva, J.-N., Berkeley problems in mathematics, Springer, NY 1998,
8. George, Cl., Exercises in integration, Springer, NY 1984
9. Polya, G.; Szego, G., Problems and theorems in analysis, Volumes 1 and 2, Springer-Verlag, 
Berlin, 1998 

Decan								Sef de Catedra

Data, 23 sepembrie 2010						Titular curs,
								Prof. Dr. COBZAS Stefan