Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1010	Aspecte moderne în topologie şi teoria măsurii	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
4	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
ANISIU Valeriu	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Se prezintă şi se aprofundează noţiunile importante din topologie şi teoria măsurii care nu au putut fi incluse în cursul standard de Funcţii reale. Pe lângă interesul intrinsec, noţiunile însuşite constituie fundamentul matematicii moderne, fiind folosite în discipline diverse precum analiza funcţională, geometria diferenţială, ecuaţii cu derivate parţiale etc.	

IV. Conţinutul disciplinei
Sunt prezentate filtrele şi şirurile generalizate ca instrumente de investigare a convergenţei în spaţii topologice generale. Sunt studiate câteva clase de spaţii topologice, fiind evidenţiate relaţiile dintre acestea. În partea de teoria măsurii sunt examinate tipurile clasice de convergenţă a şirurilor de funcţii măsurabile, spaţiile Lp, seriile Fourier şi măsurile reale sau complexe inclusiv teorema Radon-Nikodym şi aplicaţiile acesteia.
Introducerea măsurii şi dimensiunii Hausdorff (în spaţii metrice) va permite o prezentare succintă a fractalilor şi calculul dimensiunii acestora.	

V. Bibliografie
1. V. Anisiu: Topologie şi teoria măsurii. Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca, 1995
2. G.B. Folland: Real Analysis. Modern Techniques and their applications. Wiley, 1999

3. H.L. Royden : Real Analysis, 3rd ed, MacMillan, New York, 1988
4.  C. George: Exercises in integration. Springer, 1984
5. L.A. Steen, J.A. Seeback: Counterexamples in Topology. Springer, 1978
6. J. Munkres: Topology, 2nd ed. Prentice Hall, 2000
7. C. Swartz:  Measure, integration and function spaces. Word Scientific, 1994
8. P. Kree: Integration et theorie de la mesure. Une approche geometrique. Ellipses, Paris, 1997
9. W. Rudin: Analiză reală şi complexă, Ed. Theta, Bucureşti, 1999	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs: 
1.  Şiruri generalizate si filtre.
2.  Axiome de separare (T3,T4).
3.  Spatii produs, teorema lui Tihonov.
4. Spaţii Baire. Compactificare.
5. Metrizabilitatea spatiilor topologice. 
6. Teorema Weierstrass-Stone. Clasificarea spaţiilor topologice prin diagrame Venn.  
7.  Tipuri de convergenţă pentru şiruri de funcţii măsurabile. Teoreme clasice.
8.  Spaţii Lp.  
9.  Serii Fourier, nuclee Dirichlet şi Fejer, convergenţă punctuală.
10. Măsuri reale, teorema Radon-Nikodym.
11. Derivarea măsurilor, măsuri singulare, aplicaţii
12. Masura si integrala pe spaţiu produs, teorema lui Fubini.
13. Grupuri topologice, măsură Haar.
14. Măsura Hausdorff. Fractali.

Seminar:
1.  Rolul axiomei alegerii, Ultrafiltre.
2.  Exemple de spaţii regulate şi normale.
3.  Independenţa noţiunilor de compactitate şi compactitate secvenţiala. Aplicaţii ale teoremei Tihonov.
4.  Aplicaţii ale teoremei lui Baire. Compactificări concrete.
5.  Exemple de spaţii metrizabile. Metrizabilitatea grupurilor topologice.
6.  Aplicaţii ale teoremei Weierstrass-Stone. Separabilitatea unor spaţii de funcţii.
7.  Exemple şi contraexemple de convergenţe. Aplicaţii la teoreme de trecere la limită în integrala Lebesgue.
8.  Relaţii între normele ||.||p. Spaţiul L∞. Aplicaţii.
9.  Exemple de de sisteme ortonormate şi dezvoltări în serie Fourier. 
10.  Descompunere Hahn. Funcţii absolut continue.
11.  Schimbari de variabilă în integrale. Funcţii cu variaţie mărginită.
12.  Calcule de integrale. Măsurabilitatea graficului funcţiilor măsurabile.
13.  Exemple de grupuri topologice.
14.  Exemple de fractali şi calculul dimensiunii Hausdorff.	

VII. Metode didactice folosite
Expunere orală, demonstraţii la tablă, conversaţie frontala şi individuală.	

VIII. Evaluare
Lucrări de control (30%), examen (70%)	

IX. Bibliografie suplimentară
1. M. Carter M., B. van Brunt: The Lebesgue-Stieltjes Integral, Springer, 2000
2.  J.C. Oxtoby: Measure and category. 2nd ed., Springer 1980
3.  A.B. Kharazishvili: Strange functions in real analysis. Marcel Dekker, 2000
4. Gh. Sireţchi : Teoria măsurii şi a integralei, Editura Univ. Bucureşti, 2002
5. D. Ştefănescu : Teoria măsurii şi a integralei, Hyperion XXI, 1992
6. C.P. Niculescu : Calculul integral al funcţiilor de mai multe variabile, Ed. Univ. Craiova, 2002
7. M. Nicolescu : Analiză matematică : vol. 1(1957), vol. 2(1958), vol. 3(1960), Ed. Tehnică, Bucureşti
8. K. Falconer :Fractal Geometry. 2nd ed., Wiley, 2003
9. E. Schechter: Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press, 1996	

      Decan,					           Sef de catedra,
      Prof. dr. Leon Ţâmbulea                          Conf. dr. Simion BREAZ

	Data,							Titular curs,
	20.10.2010						Conf. dr.  Valeriu ANISIU