Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1002	Capitole speciale de analiză reală	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+1+0+1	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
ŞERB Ioan Valeriu	Dr.	Conf.	Algebra, analiza, geometrie	*	*	-	

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Se urmareşte aprofundarea cunoştinţelor studentului privind studiul unor clase de funcţii convexe şi utilizarea lor pentru definirea şi studiul spaţiilor  Orlicz, spaţii care sunt mai generale decăt spaţiile Lp, studiate anterior. Se prezintă apoi unele rezultate privind dualele şi geometria  spaţiilor Orlicz. La seminar studenţii se vor familiariza si cu unele noţiuni de geometria spaţiilor Banach arbitrare.	

IV. Conţinutul disciplinei
Se definesc mai întăi N-funcţiile care formează o clasă specială  de funcţii convexe, se definesc complementarele lor si se obţin inegalităţi de tip Young pentru N-funcţii. Se definesc şi se studiază apoi clasele Orlicz de funcţii masurabile, spaţiile Orlicz L(M) unde M este o N-funcţie, dotate cu norma lui Orlicz, respectiv cu norma lui Luxemburg. Se studiază dualele  şi elemente de geometria spaţiilor Orlicz . Se dau condiţii de continuitate si compactitate ale operatorilor integrali, liniari, pe spaţii Orlicz. Cunoştinţe despre uniform convexitatea şi uniform netezimea spaţiilor Banach, precum şi despre unele module ataşate unui spaţiu Banach vor fi prezentate in cadrul seminarului.	

V. Bibliografie
1. I. Şerb, Capitole speciale de analiză reală. Curs scris pe calculator. Fasc 1-8., 87 pag.
2. M. A. Krasnoselskii, Ia. B. Rutiţkii, Funcţii convexe şi spaţii Orlicz, Moscova 1958 (l. rusă)
3. M. M. Rao, Z. D. Ren, Theory of Orlicz spaces, Pure and Applied Mathematics, Marcel Decker, New-York, Basel, Hong-Kong, 1991.
4. D.V. Salehov, Despre norma funcţionalelor liniare în spaţiile Orlicz şi despre o caracteristică a spaţiilor Lp, Dokl. Acad. Nauk, SSSR, 111, 5 (1956) 948-950.
5. Z. Birnbaum, W. Orlicz, Uber die Veralgemeinerung des Begrifes der zveinander konjugierten Potenzen, Stud. Math. 3 (1931), 1-67.
6. I. Şerb, On the modulus of convexity of Lp spaces, Babeş-Bolyai University, Preprint 1, (1986) 175-187.
7. E. Popa, Culegere de probleme de analiză funcţională, Bucureşti, 1981.
8. Gh. Sireţki, Calcul diferenţial şi integral, vol I-II, Bucureşti, 1985
9. J. Diestel, Geometry of Banach spaces. Selected topic, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1975	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri:
1.	Funcţii convexe si reprezentarea lor integrală. Definirea N-funcţiilor. [1, fasc 1, p. 1-7]
2.	Proprietăţile N-funcţiilor. O nouă definiţie a N-funcţiilor. Compunerea N-funcţiilor. [1, fasc. 1, p. 8-14]
3.	Complementara  unei N-funcţii. Inegalitatea lui Young pentru N-funcţii. [1, facs 2, p. 1-5]
4.	Exemple. Transmiterea inegalităţilor de la N–funcţii la complementarele lor. [1,  fasc. 2, p.6-8]
5.	N-funcţii comparabile. Transmiterea comparabilităţii la duale. Partea principală a unei N-funcţii. [1, fasc 2., p. 9-12]
6.	Condiţii suficiente de echivalenţă a două N-funcţii. Construcţia de noi clase de echivalenţă pentru –funcţii. [1.fasc 3, p. 1-5]
7.	N-funcţii care verifică condiţia  Delta 2. Exprimarea condiţiei Delta 2 în termenii complementarei unei N-funcţii. [1, fasc 3, p. 6-11, fasc 4, p. 1-2]
8.	Clase Orlicz de funcţii măsurabile. Compararea unei clase Orlicz cu spaţii Lebesgue cunoscute. [1, facs. 4, p. 3-8]
9.	Inegalitatea integrală a lui Jensen pentru clase Orlicz. Structura unei clase Orlicz. [1,fasc 4, p. 8-11]
10.	Spaţiul Orlicz L(M). Norma Orlicz. Completitudinea lui L(M). Inegalitatea lui Holder. [1, fasc 5,  p.1-7] Relaţia dintre clasa Orlicz şi sptaiul Orlicz  L(M) cănd M verifică condiţia Delta 2. Norma etalon (Luxemburg) pe L(M). Alte formule de calcul a normelor Orlicz. [1,fasc. 5, p. 8-10 si fasc 6. p. 1-8]
11.	Convergenţa in medie în L(M). Spaţii Orlicz separabile [1, fasc 6, p. 9-10 şi fasc. 7, p. 1-4.
Dualul unui spaţiu  Orlicz. Forma generala a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Orlicz. [1, fasc 7, p. 5-10]
12.	Norma funcţionalelor liniare şi continue pe spaţiile L(M) dotate cu norma Orlicz sau Luxemburg. Reflexivitatea spaţiilor Orlicz. [1, fasc. 8, p. 1-9]
13.	Operatori pe spaţii Orlicz. Condiţii de continuitate a operatorilor liniari, integrali. (2, 137-147)
14.	Operatori pe spaţii Orlicz. Condiţii de compactitate a operatorilor liniari,integrali. (2, 147-157).
Seminarii: 
1-2.  Exemple de N-funcţii. Inegalităţi cunoscute demonstrate cu ajutorul funcţiilor convexe. [1, fasc. 1, p. 7 şi 8, vol 1, p. 226-232 ]
3-4. Proprietăţi ale funcţiilor convexe. Compunerea N-funcţiilor.Determinarea complementarelor unor N-funcţii. [1, fasc. 2, p. 7, şi 8, vol. 2, p. 307-314]
      5-6. N-funcţii echivalente. Compararea N-funcţiilor. Clase diferite de N-funcţii neechivalente. [1, fasc 2,  p. 9-12   şi fasc 3, p. 1-5.]
       7-8.  N-funcţii care verifică  condiţia  Delta 2 sau alte condiţii generale. [1, fasc. 3, p. 6-11 şi fasc. 4, p.1-2] 
        9. Construcţia unor noi N-funcţii cu ajutorul altora date. [1, fasc 2, p. 9-12 şi  2, p. 64-68]
       10. O problema practica de indoire a ţevilor.
       11. Spaţii Banach strict convexe şi spatii Banach netede. Exemple de norme pe R^2. Exemple de funcţionale liniare şi continue. [7, p. 24-29]
       12-13. Norme echivalente pe R^n. Determinarea celor mai bune constante, in cazuri particulare. [7, p. p. 24-29]
       14.  Module de convexitate şi de netezime. Cazul spaţiilor  prehilbertiene. [7, p. 29-32 şi p. 37]

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea susţinută de demonstraţie, demonstraţia cu ajutorul execuţiei la tabla, (la curs), conversaţia, utilizarea întrebărilor problemă, exerciţiul, (la seminar).	

VIII. Evaluare
Cunoştiţele studenţilor vor fi verificate prin două lucrări scrise obligatorii. Prima în săptămăna a 8-a din materialul parcurs în primele 7 săptămăni, iar cea de-a doua din restul materialului în timpul sesiunii. Media aritmetică ponderată  a notelor obţinute la aceste două lucrări este nota finală. Cei care nu s-au prezentat la prima lucrare vor da o singură lucrare in timpul sesiunii din tot materialul.
In sesiunea de restanţe  se dă o singură lucrare din tot materialul. Aici pot participa şi studenţii care doresc să-şi mǎrească nota, în aceleaşi condiţii.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	I. Şerb, Some estimates for the modulus of smoothness and convexity of a Banach space, Mathematica, 34 (57) 1 (1992) 61-70.
2.	T. Figiel, On the moduli of convexity and smoothness, Studia Math. 56 (1976) 121-155.
3.	I. Şerb, A Day-Nordlander theorem for the tangential modulus of a normed space, J. Math. Anal. Appl. 209 (1997)  2, 381-391.

	Decan, Prof. Dr. Leon Ţâmbulea                    Şef de catedră, Conf. Dr. Simion Breaz

        
            Data,	21 octombrie  2010					Titular curs,
								Conf. Dr. ŞERB Ioan Valeriu