Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0029	Analiză matematică 3 (Calcul integral în R^n)	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
3	2+2+0+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei

Aprofundarea unor cunostiinte clasice de calcul integral pentru functii de mai multe variabile.	

IV. Conţinutul disciplinei

I) Functii cu variatie marginita. Integrala Riemann-Stieltjes. 
 1) Functii vectoriale ( cu valori in Rn ) cu variatie marginita. Functii vectoriale de clasa C1. Calculul variatiei totale a unei functii vectoriale cu valori in Rn de calsa C1.
 2) Functii reale cu variatie marginita. Clasa functiilor monotone.Teorema lui Jordan.
 3) Sume integrale Riemann-Stieltjes si unele proprietati ale lor. Integrabilitatea si integrala Riemann-Stieltjes. Proprietati importante. Caracterizarea integrabilitatii cu ajutorul sumelor lui Darboux. Criterii de integrabilitate Riemann-Stietjes.

II) Integrale pe arce de curba paramatrizabile.
 1) Notiunea de arc parametrizabil de curba. Drumuri reprezentative. Drumuri echivalente. Arce de curba parametrizabile si orientate. 
 2) Tipuri de integrale pe un arc de curba parametrizabil, respectiv pe un arc de curba parametrizabil si orientat, a unei functii reale de m variabile reale. Formule de clacul in situatii speciale.
 3) Forme diferentiale liniare si integarea lor. Formule de calcul in situatii speciale.
 4) Primitiva unei functii vectoriale si calculul integralei unei forme diferentiale liniare pe un drum cu ajutorul primitivei functiei generatoare. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale. 
 5) Teorema privind legatura dintre existenta primitivei unei functii vectoriale si independenta de drum a integralelor pe drumuri a formei diferntiale liniare generate de aceasta functie vectoriala.
 
III) Integrala Riemann a unei functii reale de mai multe variabile reale.
 1) Masura Jordan a unei multimi din Rm. Conditia necesara si suficienta ca o multime sa fie masurabila Jordan prin proprietatea frontierei sale. Domenii simple din R2 si R3 marginite de graficele unor functii continue.
 2) Definitia integrabilitatii si integralei Riemann in cazul functiilor reale de m variabile reale. Marginirea functiilor reale de n variabile reale integrabile Riemann.
 3) Sumele lui Darboux in cazul functiilor reale de n variabile reale. Teorema lui Darboux de caracterizare a integrabilitatii Riemann in acest caz.
 4) Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann.
 5) Aditivitatea fata de domeniul de integrare a integrabilitatii sia integraleui Riemann.
 6) Reducerea unei integrale Riemann a unei functii reale de n variabile reale la integrale iterate. Teorema lui Fubinii. Calculul integralelor duble si triple  prin reducerea la integrale iterate.
 7) Legatura dintre integrala pe un domeniu din R2 si integrala pe frontiera sa orientata. Formula lui Green.
 8) Formula schimbarii de variabila in cazul integralei unei functii de mai multe variabile. Schimbari de variabila remarcabile in cazul integralei duble si al integralei triple.

IV) Integrale pe portiuni de suprafata.
 1) Panze parametrizate in R3. Aria determinata de o panza parametrizata si integrala unei functii definite pe o pinza parametizata in raport cu aria determinata de aceasta.
 2) Forme diferentiale de ordinul 2 in R3 si integrarea lor pe pinze parametrizate.
 3) Varietati orientate de ordinul 2 in R3 si integrarea pe astfel de varietati.
 4) Toremele lui Stokes si Gauss-Ostrigradski pentru legaturile dintre diferitele tipuri de integrale.	

V. Bibliografie

1. BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993
4. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967
5. COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997
6. COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956
8. SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969
9. WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990
10. ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980
11. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995. 

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni

Cursul 1. Funcţii cu variaţie mărginită cu valori în Rⁿ. Aditivitatea faţă de interval a variaţiei totale pentru astfel de funcţii. Functii vectoriale derivabile şi de clasă C¹. Relatii asupra acestor tipuri de funcţii vectoriale. Clase de funcţii cu variatie marginită cu stabilirea unor relaţii de incluziune.
Expresia integrală a unui drum de clasă C¹ ( enuntul si demonstratia teoremei de bază).
Seminarul 1. Exemple de drumuri rectificabile şi nerectificabile în R². Efectuarea demonstraţiilor unor rezultate enunţate la curs.

Cursul 2. Functii reale cu variatie marginita. Clasa funcţiilor monotone. Teorema lui Jordan.
Integrabilitatea şi integrala Riemann-Stieltjes a unei funcţii în raport cu o alta. Sume integrale cu unele proprietăţi ale lor. Definiţia integrabilităţii şi a integralei Riemann-Stieltjes si unele proprietati importante.
Seminarul 2. Exerciţii privind calculul varaţiei totale ale unor functii cu valori în R² şi R³ (a lungimii unor drumuri în R² şi R³ când acestea sunt date printr-o parametrizare). Completari la curs prin efectuarea unor demonstraţii lasate pentru la seminar.

Cursul 3. Sumele Darboux-Stieltjes. Proprietaţi. Caracterizarea Integrabilităţii Riemann-Stieltjes cu ajutorul sumelor Darboux-Stieltjes (teorema lui Darboux). Criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes. Reducerea integralei Riemann-Stieltjes la o integrală Riemann in anumite situatii.
Seminarul 3. Obţinerea unor formule de calcul în cazul în care drumul din R² are ca imagine graficul unei funcţii. Cazul în care drumul are ca imagine un arc de curba care are ecuaţia în coordonate polare. Din [6] exerciţiile 3.8- 3.11 şi 3.18-3.36 (pag. 76 - 77).

Cursul 4. Comportarea variatiei totale a unei functii, precum si a integrabilităţii si integralei Riemann-Stieltjes in raport cu operatie de compunere a functiilor. 
Arce de curba parametrizabile. Drum reprezentetiv a unui arc de curbă. Drumuri echivalente si antiechivalente. Teorema potivit careia oricare două drumuri reprezentative ale unui arc de curba sunt fie echivalente fie antiechivalente.
Seminarul 4. Exemple de cazuri de integrabilitate Riemann-Stieltjes si cazuri de neintegrabilitate. Calculul unor integrale Riemann-Stieltjes.

Cursul 5.  Definirea celor două tipuri de integrale pe arce de curbă prametrizabile, respectiv pe arce parametrizabile si orientate, din funcţii reale de m variabile reale ca integrale Riemann-Stietjes. Formule de calcul, în cazuri particulare pentru diferite tipuri de integrale, prin reducere la integrale Riemann.
Seminarul 5. Exerciţii privind calculul unor integrale de diferite tipuri pe drumuri. Formule de calcul în cazurile particulare semnalate şi în seminarul anterioar. Din [6] exerciţiile 3.37 – 3.87 (pag. 78 – 81).

Cursul 6. Forme diferenţiale liniare şi integrarea lor pe drumuri. Formulă de calcul pentru integrala unei forme diferenţiale liniare într-un caz particular, prin reducerea la o integrală Riemann. Funcţii vectoriale definite pe domenii din Rⁿ care admit primitive. Calculul integralei pe un drum a unei forme diferenţiale liniare în cazul în care funcţia vectorială generatoare admite primitive (o generalizare a formulei lui Leibnitz-Newton). Expresia primitivei unei funcţii vectoriale. Condiţii necesare şi suficiente de existenţă a primitivei unei funcţii vectoriale. 
Seminarul 6. Exercitii privind calulul integralelor unor forme diferenţiale liniare. Exerciţii privind verificara faptului că anumite funcţii vectoriale admit primitive, determinarea acestor primitive şi calculul unor integrale pe drumuri din forme diferenţiale liniare cu ajutorul funcţiilor generatoare a formelor diferenţiale liniare de integrat. Din [6] exerciţiile 3.90-3.115 (pag.81-82).

Cursul 7. Operaţii cu drumuri (reuniunea a două drumuri şi drumul invers al unui drum). Comportarea integralelor de diferite tipuri faţă de aceste operaţii. Drumuri de clasă C¹ pe porţiuni. Teorema privind legătura dintre existenţa primitivei şi independenţa de drum a integralei funcţiei vectoriale care admite această primitivă. 
Seminarul 7.  Continuarea exemplificărilor de tipul celor din seminarul antetrior. 

Cursul 8. Intervale şi mulţimi elementare din Rⁿ. Definirea volumului unui interval din Rⁿ şi a măsurii unei mulţimi elementare. Proprietăţi referitoare la intervale şi mulţimi elementare. Definiţia măsurabilităţii şi a măsurii Jordan a unei mulţimi din Rⁿ.O condiţie necesară şi suficientă de măsurabilitate Jordan a unei mulţimi din Rⁿ. Mulţimi cu măsură Jordan nulă. Condiţia necesară şi suficientă ca o mulţime să fie de măsură Jordan nulă. O condiţie necesară şi suficientă de măsurabilitate Jordan a unei mulţimi prin proprietatea frontierei sale.
Seminarul  8. Orice mulţime simplă din R² şi R³  mărginită  de graficele unor funcăţii continue este măsurabilă Jordan. Determinarea ariilor unor mulţimi din R² şi determinarea volumelor unor mulţimi din R³. Din [6] exerciţiile 4.14-4.31 (pag.92) şi 4.88-4.117 (pag. 96 - 97).

Cursul  9.  Proprietăţi ale măsurii Jordan a unei mulţimi din Rⁿ în legătură cu diferitele operaţii cu mulţimi. Măsura exterioară Lebesgue a unei mulţimi din Rⁿ. Mulţimi neglijabile Lebesgue. Legătura cu măsurabilitatea Jordan.
Definiţia integrabilităţii şi a integralei Riemann a unei funcţii reale de n variabile reale. Cazul particular al funcţiilor definite pe un interval din Rⁿ. Mărginirea funcţiilor reale de n variabile reale integrabile Riemann. Teorema lui G. Darboux privind caracterizarea integrabilităţii Riemann în cazul funcţiilor reale de n variabile reale cu ajutorul sumelor lui Darboux. Exprimarea integrabilităţii Riemann prin egalitatea dintre integrala inferioară şi cea superioară.
Seminarul 9. Calculul unor integrale din funcţii reale de 2 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor funcţii reale de două variabile reale.
 
Cursul 10. Legătura dintre continuitate şi integrabilitatea Riemann. Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Enunţul şi demonstraţia lemelor ajutătoare şi a teoremei de bază. Integrabilitatea Riemann a funcţiilor continue.
Aditivitatea faţă de domeniul de integare a integrabilităţii şi integralei Riemann.
Seminarul 10. Calculul unor integrale din funcţii reale de 3 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor funcţii reale de trei variabile reale.
Din [6] exerciţiile 4.79-4.87 pag 95-96 şi exerciţiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 11.  Reducerea unei integrale a unei funcţii reale de n variabile reale la integrale iterate. Teorema lui Fubini, generalizări şi cazuri particulare ale acesteia. Calculul integralelor duble şi triple prin reducerea la integrale iterate.
Seminarul 11. Schimbarea de variabilă în integrala dublă şi triplă. Schimbări de variabilă remarcabile. Din [6] exerciţiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 12. Legatura dintre integrala pe un domeniu din R² şi integrala pe frontiera orientată a acestui domeniu. Formula lui Green.
Pânze parametrizate în R³. Definiţia integralei de primul tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică în raport cu aria determinată de aceasta. Aria determinată de o pânză parametrizată clasică. Calculul integralei de primul tip a unei funcţii continue definite pe o pânză parametrizată clasică de clasă C¹ în raport cu aria determinată de aceasta. Demonstrarea lemelor aferente şi a teoremei de bază.
Seminarul 12. Exerciţii privind alicarea formulei lui Green. Integrala multiple improprii şi aplicaţii în fizică a integralelor multiple. Din [6] exerciţiile  6.1-6.24, pag.114-116 şi 4.140-4.197. 
Exerciţii privind calculul integralelor de primul tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică în raport cu aria determinată de aceasta. Din [6] exerciţiile 5.9-5.35. pag.108-109.

Cursul 13. Forme diferenţiale de ordinul 2 şi integrarea lor pe pânze parametrizate. Varietăţi orientate de ordinul 2 în R³. Integrala unei forme diferenţiale de ordinul 2 în R³ pe o varietate orientate din R³ de acelaşi ordin.
Seminarul 13. Exerciţii privind calculul integralelor de al doilea tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică. Din [6] exerciţiile 5.36-5.57. pag.109-111.
 
Cursul 14. Porţiuni simple şi porţiuni orientate de suprafaţă şi pânze parametrice reprezentative ale acestora. Integrale pe aceste suporturi. Teoremele lui Stokes şi Gauss-Ostrogradski pentru legăturile dintre diferitele tipuri de integrale.
Seminarul 14. Exerciţii privind teoremele lui Stokes şi Gauss-Ostrogradski pentru legăturile dintre     diferitele tipuri de integrale. Din [6] exerciţiile 6.25-6.50. pag.116-118.	

VII. Metode didactice folosite

Introducerea într-o succesiune logică a noţiunilor şi rezultatelor. Demonstraţia riguroasă. Exerciţiul.	

VIII. Evaluare

Examen scris si oral	

IX. Bibliografie suplimentară

[8]  G. M. FIHTENHOLZ, Calculul diferenţial şi integral, vol II (1964)-III (1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[9]  M. NICOLESCU, Analiză matematică, (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), Edituara tehnică, Bucureşti.
[10] N. BOBOC, Analiză matematică, Univ. Bucureşti, 1988.
[11] M. MEGAN, Analiză matematică,vol.1-2. Mirton, Timişoara, 1999.
[12] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York 1967.
[13] N. DONCIU, D. FLONDOR, GH. SIMIONESCU, Algebră şi analiză matematică (2 volume), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
[14] G. POLYA, G. SYEGÖ, Aufgaben und Lehrsätzeaus der Analysis (2 volume), 1932.
[15] S. RĂDULESCU, M. RĂDULESCU, Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

	Decan,							Sef de catedra,
Prof. Dr. Leon Tâmbulea                                             Conf. Dr. Simeon Breaz

	Data,							Titular curs,
        1. 10. 2010		               		   Conf.  Dr.  DIACONU Adrian