Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0019	Analysis 2 (Differenzialrechnung im R^n)	

Semester	Stunden: V+S+L	Kategorie	Status	
2	2+2+0	Grundvorlesung	 Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
BRECKNER Wolfgang	Dr.	Prof.	Algebra, Analysis und Geometrie	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad 			V	S	L	
―							

III. Ziele der Disziplin
     Die Analysis 2 ist die Fortsetzung der Analysis 1. Auch sie vermittelt grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Analysis. Anfangs wird die eindimensionale Analysis mit der Vorstellung der uneigentlichen Integrale abgeschlossen. Danach wird die Darstellung der mehrdimensionalen Analysis begonnen. Behandelt werden die Topologie des euklidischen Raumes Rn und die Differenzialrechnung in diesem Raum.	

IV. Inhalte der Disziplin
1. Uneigentliche Integrale. 
2. Der euklidische Raum Rn (die euklidische Topologie des Rn, konvergente Folgen, stetige vektorwertige Funktionen, der normierte Raum der linearen vektorwertigen Funktionen). 
3. Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen, partielle Abteilungen vektorwertiger Funktionen, Rechenregeln für differenzierbare Funktionen, partielle Ableitungen höherer Ordnung, Differenziale höherer Ordnung, die Taylor-Formel, lokale Umkehrbarkeit, Differenzierbarkeit impliziter Funktionen, quadratische Formen, notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen, Optimierungsaufgaben mit Gleichungen als Nebenbedingungen).	

V. Pflichtliteratur
1.	BRECKNER W. W.: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn. Universitatea din Cluj-Napoca, Facultatea de Matematică, 1985
2.	COBZAŞ Ş.: Analiză matematică (Calcul diferenţial). Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997
3.	DEMIDOVICI B. P.: Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1956
4.	GĂINĂ S, CÂMPU E., BUCUR G.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. II. Editura Tehnică, Bucureşti, 1966
5.	HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 11. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. Teil 2. 9. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart, 1995
6.	MEGAN M.: Calcul diferenţial şi integral în Rp. Universitatea de Vest, Timişoara, 2000
7.	RUDIN W.: Principles of Mathematical Analysis. 2nd Edition. McGraw-Hill, New York, 1964 
8.	TRIF T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003
9.	 WALTER W.: Analysis. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 1990	

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
Vorlesungen: 
1.	Uneigentliche Integrale (Integrale über beschränkte nichtkompakte Intervalle von R, Zusammenhang zwischen uneigentlicher Integrierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit, Integrale über unbeschränkte Intervalle von R, Integralkriterium von MacLaurin-Cauchy). Literatur: [9; I]
2.	Uneigentliche Integrale (Kriterien für die uneigentliche Integrierbarkeit: Konvergenzkriterium von Cauchy, Vergleichskriterium, Grenzwertkriterien). Literatur: [9; I]
3.	Der euklidische Raum Rn (der lineare Raum Rn, Skalarprodukt, euklidische Norm, offene und abgeschlossene Kugeln, offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen eines Punktes, innere Punkte und Berührungspunkte einer Menge, Inneres und Abschluss einer Menge). Literatur: [1]
4.	Der euklidische Raum Rn (Grenzwert einer Folge von Punkten des Raumes Rn, Eindeutigkeit des Grenzwertes, Äquivalenz der Konvergenz einer Folge mit der Konvergenz der Koordinatenfolgen, Cauchyfolgen, Konvergenzkriterium von Cauchy, Charakterisierung der Berührungspunkte mit Hilfe von Folgen, Häufungspunkte, Grenzwert einer vektorwertigen  Funktion, Charakterisierungen des Grenzwertes, Stetigkeit einer vektorwertigen Funktion, Charakterisierungen der Stetigkeit). Literatur:  [1]
5.	Der euklidische Raum Rn (kompakte Mengen, Charakterisierungen der kompakten Mengen, Satz von Bolzano-Weierstrass, Satz von Cesàro, eine stetige Funktion transformiert eine kompakte Menge in eine kompakte Menge, Existenz der Minimal- und Maximalstellen einer stetigen Funktion, gleichmäßig stetige Funktionen, eine auf einer kompakten  Menge stetige Funktion ist gleichmäßig stetig). Literatur: [1]
6.	Der euklidische Raum Rn (lineare vektorwertige Funktionen, Charakterisierungen der linearen vektorwertigen Funktionen, eine lineare vektorwertige Funktion ist lipschitzstetig, die Norm einer linearen vektorwertigen Funktion). 
7.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Differenziation von vektorwertigen Funktionen einer reellen Variablen: Definition der Ableitung, Berechnung der Ableitung, Mittelwertsatz). Literatur: [2]
8.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Differenziation von vektorwertigen Funktionen mehrerer reeller Variablen: das Differenzial einer vektorwertigen Funktion, Eindeutigkeit des Differenzials, Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion). Literatur: [2], [5; 2], [9; II]
9.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (partielle Ableitungen einer vektorwertigen Funktion, Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und partieller Differenzierbarkeit, Rechenregeln für differenzierbare Funktionen). Literatur: [2], [5; 2], [9; II]
10.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Differenzierbarkeit einer zusammengesetzten Funktion, Differenzierbarkeit der inversen Funktion). Literatur: [2], [5; 2], [9; II]
11.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Mittelwertsätze, partielle Ableitungen höherer Ordnung, Vertauschungssatz von Schwarz, Differenziale höherer Ordnung, Taylor-Formel). Literatur: [2], [5; 2], [9; II]
12.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (lokale Umkehrbarkeit, Differenzierbarkeit impliziter Funktionen, Existenz impliziter Funktionen der Klasse Ck). Literatur: [2], [5; 2], [9; II]
13.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (quadratische Formen, Charakterisierungen positiv definiter quadratischer Formen, notwendige Optimalitätsbedingungen bei differenzierbaren und bei zweimal differenzierbaren Funktionen, hinreichende Optimalitätsbedingungen bei zweimal differenzierbaren  Funktionen). Literatur:  [2], [5; 2], [9; II]
14.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Optimierungsaufgaben mit Gleichungen als Nebenbedingungen, die Lagrange’sche Multiplikatorenmethode). Literatur:  [2], [5; 2], [9; II]

Seminare: 
1.	Methoden zur Berechnung riemannscher Integrale (Lösen von Aufgaben aus [3])
2.	Uneigentliche Integrale (Lösen von Aufgaben aus [3], [4])
3.	Uneigentliche Integrale (Lösen von Aufgaben aus [3], [4])
4.	Der euklidische Raum Rn (Lösen von Aufgaben aus [3])
5.	Der euklidische Raum Rn (Lösen von Aufgaben aus [3])
6.	Der euklidische Raum Rn (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
7.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
8.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
9.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
10.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
11.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
12.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
13.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])
14.	Differenzialrechnung in mehreren Variablen (Lösen von Aufgaben aus [3], [8])	

VII. Unterrichtsmethoden
Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Entdeckungsmethode	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
     In der Mitte des Semesters wird eine Kontrollarbeit geschrieben, um festzustellen, ob die Studierenden fähig sind Aufgaben mit den Methoden der Analysis 2 selbständig zu lösen. Diejenigen Studierenden, die die Kontrollarbeit geschrieben haben, können sich im Juni  zu einer schriftlichen und mündlichen Prüfung stellen, um nachzuweisen, dass sie den behandelten Stoff beherrschen. Die Gesamtnote für die Disziplin Analysis 2 wird aufgrund dieser Leistungen nach der Formel G := K/5 + 2(S + M)/5 berechnet, wobei K die in der Kontrollarbeit, S und M die in der schriftlichen und mündlichen Prüfung erzielten Noten bezeichnen.
     Studierende, die ihre Gesamtnote verbessern möchten oder im Juni keine Prüfung abgelegt haben, können sich im Herbst  zu einer schriftlichen und einer mündlichen Prüfung stellen. Die Gesamtnote für die Disziplin Analysis 2 wird dann nach der Formel G := (S + M)/2 berechnet, wobei S und M die in der schriftlichen und in der mündlichen Prüfung erzielten Noten bezeichnen.	

IX. Zusatzliteratur
1.	BALÁZS M., KOLUMBÁN I.: Matematikai analízis. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca, 1978
2.	BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction. Springer-Verlag, New York, 1996
3.	MEGAN M.: Bazele analizei matematice. I + II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998	

Datum, 23.09.2010						       Verantwortliche Lehrkraft,
								        Prof. Dr. BRECKNER Wolfgang

DEKAN							        LEHRSTUHLLEITER
Prof. Dr. ŢÂMBULEA Leon				        Doz. Dr. BREAZ Simion