Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0012	Funcţii convexe	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
4	2+1+0+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
TRIF Tiberiu Vasile	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unor notiuni si rezultate de baza referitoare la functiile convexe. Realizarea unei introduceri in Analiza convexa, disciplina care se preda studentilor de la masterat.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Funcţii convexe de o variabilă reală (8 ore curs + 8 ore seminar)
Caracterizări şi proprietăţi de regularitate ale funcţiilor convexe de o variabilă reală, medii şi inegalităţi între ele, inegalităţi specifice funcţiilor convexe, extinderi ale noţiunii de funcţie convexă.
2. Funcţii convexe pe spaţii normate (12 ore curs + 4 ore seminar)
Definiţii şi exemple de funcţii convexe pe spaţii vectoriale, caracterizări şi proprietăţi de regularitate ale functiilor convexe (continuitate vs. lipschitzianeitate vs. mărginire locală), derivabilitatea după direcţii şi subdiferenţiabilitatea algebrică a funcţiilor convexe pe spaţii vectoriale, subdiferenţiabilitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate, funcţii convexe diferenţiabile de mai multe variabile reale.
3. Optimizare convexă (6 ore curs + 2 ore seminar)
Condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim în programarea convexă, conjugata Fenchel şi teorema de dualitate a lui Fenchel, biconjugata Fenchel, funcţii convexe închise.	

V. Bibliografie
  1. BORWEIN J. M., LEWIS A. S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, 2000.
  2. BRECKNER B. E., POPOVICI N.: Convexity and Optimization. An Introduction. Editura Fundaţiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006.
  3. BRECKNER W. W.: Introducere in teoria problemelor de optimizare convexa cu restrictii. Editura Dacia, Cluj, 1974.
  4. BRECKNER W. W., TRIF T.: Convex Functions and Related Functional Equations. Selected Topics. Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2008.
  5. HIRIART-URRUTY J. B., LEMARECHAL C.: Convex Analysis and Minimization Algorithms. Springer-Verlag, 1993.
  6. KUCZMA M.: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa-Krakow-Katowice, 1985.
  7. NICULESCU C. P., PERSSON L.-E.: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach. Springer-Verlag, New York, 2006.
  8. PRECUPANU T.: Spatii liniare topologice si elemente de analiza convexa. Editura Academiei Romane, Bucuresti, 1992.
  9. ROBERTS A. W., VARBERG D. E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.
10. ROCKAFELLAR R. T.: Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Funcţii convexe de o variabilă reală: definiţia modernă a convexităţii, caracterizări ale funcţiilor reale de o variabilă reală şi proprietăţi de regularitate ale acestora (derivabilitate laterală, continuitate, lipschitzianeitate).
Cursul 2. Funcţii convexe de o variabilă reală: caracterizarea acestora folosind existenţa dreptei suport, inegalitatea Hermite-Hadamard, caracterizări ale convexităţii folosind derivatele laterale de ordinul întâi şi derivata a doua, legătura cu funcţiile armonice.
Cursul 3. Medii şi inegalităţi între ele: medii cvasiaritmetice ponderate şi compararea acestora, mediile Hölder ponderate şi compararea lor, inegalităţi de tip Rado-Popoviciu.
Cursul 4. Extinderi ale noţiunii de funcţie convexă: funcţii Jensen-convexe, funcţii logaritmic-convexe şi funcţii multiplicativ-convexe.
Cursul 5. Funcţii convexe pe spaţii vectoriale: definiţie, caracterizări, exemple (funcţii afine, funcţii subliniare, funcţii indicatoare, forme pătratice, funcţii suport).
Cursurile 6+7. Continuitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate: funcţii semicontinue, caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea, legătura dintre continuitate, lipschitzianeitate şi mărginirea locală în cazul funcţiilor convexe definite pe spaţii normate, continuitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate finit dimensionale, legătura dintre continuitate şi semicontinuitatea inferioară în cazul funcţiilor convexe definite pe spaţii Banach.
Cursul 8. Derivabilitatea după direcţii şi subdiferenţiabilitatea algebrică a funcţiilor convexe definite pe spaţii vectoriale: derivate laterale după o direcţie şi proprietăţi ale acestora, subgradienţi algebrici şi caracterizarea lor, subdiferenţiabilitatea algebrică a funcţiilor convexe.
Cursul 9. Subdiferenţiabilitatea funcţiilor convexe pe spaţii normate: definiţia subgradienţilor şi a subdiferenţialei, legătura subdiferenţialei cu semicontinuitatea funcţiei şi cu subdiferenţiala algebrică, interiorul relativ, subdiferenţiabilitatea funcţiilor convexe în punctele relativ interioare domeniului efectiv.
Cursul 10. Funcţii convexe diferenţiabile de mai multe variabile reale: legătura dintre diferenţiabilitate şi derivabilitatea laterală, legătura dintre gradient şi subdiferenţială, caracterizări ale funcţiilor convexe diferenţiabile şi respectiv de două ori diferenţiabile.
Cursul 11. Probleme de optimizare convexă: formularea problemelor de optimizare convexă, puncte admisibile, soluţii optime, funcţia lui Lagrange, condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim.
Cursurile 12+13. Conjugata şi biconjugata Fenchel pentru o funcţie de mai multe variabile reale: definiţia conjugatei Fenchel, inegalitatea lui Fenchel-Young, teorema de dualitate a lui Fenchel, definiţia biconjugatei Fenchel, funcţii convexe închise şi caracterizări ale acestora, egalitatea unei funcţii convexe închise cu biconjugata sa, determinarea conjugatelor şi biconjugatelor unor funcţii concrete.
Cursul 14. Verificarea problemelor lăsate temă, discutarea lucrărilor de control, stabilirea notelor finale.

Seminariile 1+2. Studiul convexităţii unor funcţii concrete, aplicaţii ale inegalităţii lui Jensen la stabilirea unor inegalităţi, inegalitatea dintre media geometrică şi cea aritmetică dedusă ca şi consecinţă a convexităţii.
Seminariile 3+4. Aplicaţii ale inegalităţii Hermite-Hadamard (inegalităţile dintre mediile geometrică, logaritmică şi aritmetică, formula lui Stirling), caracterizarea convexităţii cu ajutorul inegalităţii Hermite-Hadamard.
Seminariile 5+6. Inegalităţi de tip Ky Fan, teorema de majorare a lui Hardy-Littlewood-Pólya şi aplicaţii ale acesteia (inegalităţile lui Popoviciu şi Petrović).
Seminariile 7+8. Convexitatea logaritmică a funcţiei gamma, teorema lui Bohr-Mollerup, convexitatea multiplicativă a funcţiei gamma.
Seminariile 9+10. Funcţii Jensen-convexe vs. funcţii convexe pe spaţii normate, teoreme de tip Bernstein-Doetsch.
Seminariile 11+12. Determinarea subdiferenţialelor unor funcţii concrete pe spaţii normate, studiul convexităţii unor funcţii concrete de mai multe variabile reale.
Seminariile 13+14. Rezolvarea unor probleme concrete de optimizare convexă.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Trei lucrări de control în timpul semestrului + rezolvarea unor probleme pe parcursul semestrului (facultativ, dar având efect asupra notei finale cu maxim 1 punct, în sensul că studentul care rezolvă respectivele probleme poate primi la nota finală 1 punct în plus).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. GILÁNYI A., PÁLES ZS.: Bernstein-Doetsch type results for quasiconvex functions. Math. Inequal. Appl. 7 (2004), 169-175.
2. NICULESCU C. P., PERSSON L.-E.: Old and new on the Hermite-Hadamard inequality. Real Anal. Exchange 29 (2003/04), 663-686.
3. PÁLES ZS.: Bernstein-Doetsch-type results for general functional inequalities. Rocznik Nauk.-Dydakt. Prace Mat. 17 (2000), 197-206.	

	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon			Conf. dr. BREAZ Simion

	Data,							Titular curs,
	19.10.2010						Conf. dr.  TRIF Tiberiu Vasile