Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA0005	Funcţii reale	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
4	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A valós analízis célja felvértezni a másodévesek hallgatót azokkal az ismeretekkel amelyek egy matematika diplomával rendelkező végzősnek az analízis huszadik századi vívmányairól tudnia kell, valamint előkészíteni az alapokat olyan tantárgyak számára, mint a valószínűség-számítás, a funkcionálanalízis, vagy a differenciál-egyenletek. Ennek érdekében a kurzus három fő fejezete az általános topológia, a mértékelmélet és az integrálelmélet. A végső cél a Lebesgue-féle integrál értelmezése és tulajdonságainak vizsgálata. Ez lehetővé teszi a fogalom alkalmazását a fent felsorolt matematikai diszciplínák tanításánál. Előadás közben a diákok ellenőrizendő feladatokat kapnak, amelyeke közül a nehezebbeket – más feladatok kíséretében – a szemináriumon megoldanak.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Általános topológia (5 előadás)
A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszűrője.
A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altere. Topológikus terek direkt szorzata.
Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.
Összefüggő halmazok.
2. Mértékelmélet (5 előadás)
Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyűrű, halmazalgebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
Külső mérték. Halmazgyűrűben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.
Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külső mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetősége.
Külső mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérhető halmazok az euklideszi térben.
Mérhető függvények. Műveletek mérhető függvényekkel. Lépcsős függvények.
3. Integrálelmélet (4 előadás)
Nem-negatív lépcsős függvény és nem-negatív mérhető függvény mérték szerinti integrálja.
Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.
Mérhető függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.	

V. Könyvészet
A következő könyvek a Matematika - Informatika kar könyvtárból kikölcsönözhetők:
1. Anisiu, Valeriu : Topologie şi teoria măsurii, Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár, 1993.
2. Németh, Sándor : Valós Analízis, Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2004.
3. Németh, Sándor : Általános Topológia, Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár, 1995.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. előadás
A metrikus tér nyílt halmazai (ismétlés). A topológia Haussdorf-féle axiómai. A topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszűrője.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 1-5 oldal

1. szeminárium
Halmaz számossága. Megszámlálható halmazok. A kontinuum-számosság. Megszámlálható halmaz részhalmazai családjának számossága. Halmazok egyesítése, keresztmetszete függvény általi képe és ősképe.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

2-dik előadás
A topológikus tér zárt részhalmazai. Halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa. A topológikus tér altere. Topológikus terek direkt szorzata.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 5-9 oldal

2-dik szeminárium
Metrikus terek. Az aritmetikus tér euklideszi, Csebisev-féle és Fréchet-féle metrikája. Ekvivalens metrikák származtatta topológiák megegyezése.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

3-dik előadás
Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 9-13 oldal

3-dik szeminárium
Bázis, szubbázis. Példák a metrikus és az euklideszi térben. Rács, szűrő, környezetszűrő, környezetbázis. Példák általános topológikus térben és metrikus térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

4-dik előadás
Kompakt halmazok Teljesség és kompaktság a metrikus térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 13-19 oldal

4-dik szeminárium
Halmazelméleti műveletekkel kapcsolatos feladatok: halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontjainak halmaza és határa képzésének művelete.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

5-dik előadás
Összefüggő halmazok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 19-22 oldal

5-dik szeminárium
Számossági axiómák közötti kapcsolatok. A szétválasztási axiómák ekvivalens jellemzése és a közöttük lévő kapcsolatok vizsgálata.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

6-dik előadás
Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyűrű, halmazalgebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra. Additív halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 23-30 oldal

6-dik szeminárium
Folytonos függvényekkel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

7-dik előadás
Külső mérték. Halmazgyűrűben értelmezett mértékhez rendelt mérték, ennek relatív szigma-additivitása.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 30-33 oldal

7-dik szeminárium
Kompaktsággal és összefüggőséggel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

8-dik előadás
Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata. A Lebesgue-féle külső mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetősége.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 33-38 oldal
8-dik szeminárium
Nevezetes halmazcsaládokkal kapcsolatos feladatok. Ekvivalens definíciók.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

9-dik előadás
Külső mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérhető halmazok az euklideszi térben.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 38-46 oldal

9-dik szeminárium
A félgyűrű fogalma. Félgyűrűk direkt szorzata félgyűrű. A valós tengely szakaszai által származtatott gyűrűk és félgyűrűk. A Borel-féle halmaztest.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

10-dik előadás
Mérhető függvények. Műveletek mérhető függvényekkel. Lépcsős függvények.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 51-62 oldal

10-dik szeminárium
Mértékterekkel kapcsolatos feladatok. A számlálási mérték. Az egy pontban koncentrált mérték. A Poincaré-féle formula.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

11-dik előadás
Nem-negatív lépcsős függvény és nem-negatív mérhető függvény mérték szerinti integrálja.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 70-75 oldal

11-dik szeminárium
Lebesgue-mérhetőség a valós tengelyen. A Cantor-féle halmaz. A Cantor-féle függvény.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 46-50 oldal

12-dik előadás
Határátmenet az integráljel alatt. A monoton konvergencia Beppo Levi tétele, a Fatou-féle lemma.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 75-85 oldal

12-dik szeminárium
Vitali példája nem Lebesgue-mérhető halmazra. Lépcsős függvényekkel és mérhető függvényekkel kapcsolatos feladatok.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.

13-dik előadás
Mérhető függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 85-92 oldal

13-dik szeminárium
Határátmenet integráljel alatt. Példák annak szemléltetésére, hogy egyszerű esetekben a határátmenet nem vihető be az integráljel alá.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.
14-dik előadás
A Riemann-és a Lebesgue-integrál kapcsolata. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 93-97 oldal

14-dik szeminárium
A majdnem mindenholi konvergenciával kapcsolatos feladatok. Példák Lebesgue-integrálható függvényekre, amelyek nem Riemann-integrálhatók. Minden korlátos derivált függvény Lebesgue-integrálható.
Könyvészet: Németh, Sándor : Valós Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 9, 10, vagy 11-es változatait.	

VIII. Értékelés
Az egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
(a) félévenként három felmérő dolgozat írása, az alábbiak szerint:
- az első felmérő az 1. fejezetbeli - Általános topológia - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
- a második felmérő a 2-dik fejezetbeli – Mértékelmélet - elméleti ismeretek és feladatokat foglalja magában
- a harmadik felmérő a 3-dik fejezetbeli elméleti – Integrálelmélet - ismeretek és feladatokat foglalja magában
(b) írásbeli vizsga, a következő összetételben: 40% feladat megoldási készség és 60% elméleti ismeretek.
A végső jegy az (a) és (b) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	

IX. Kiegészíto könyvészet
A következő könyvészeti anyag, megtalálható a Matematika - Informatika kar könyvtárában:
1. Benkö, Jozsef : A topológia elemei, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár,1975.
2. Borşan, Dorina – Wiesler, Herwart : Analiză II. Teoria măsurii şi integrării, , Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár, 1979.
3. Császár, Ákos : Valós analízis I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983-1984.
4. Kirilov, A. A. – Gvisiani, A. D. : Feladatok a funkcionálanalízis köréből, Tankönyvkiadó,Budapest, 1985.	

	Dékán,							Tanszékvezeto,

	Dátum, 2.10.2010						Eloadás felelose,
								Prof. Dr. BULBOACA Teodor