Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Calculatoare şi tehnologia informaţiei
Programul de studii: Ingineria informatiei - in limba romana
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0002	Analiză matematică	

Semestrul	Ore: C+S+L+P	Categoria	Statutul	
1	2+2+0+0	fundamentala	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cunoasterea structurii algebrico-topologice a spatiului IRn si a principalelor notiuni si rezultate referitoare la calculul diferential si integral al functiilor reale si vectoriale de una si mai multe variabile reale.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Multimea numerelor reale. 
2. Siruri de numere real. Structura algebrica si topologica a axei reale. 
3. Completitudinea axei real. Serii de numere reale.
4. Functii reale de o variabila reala. Limite, continuitate, functii monotone, functii Lipschitz, teorema de punct fix a lui Banach, functii convexe.   
5. Calcul diferential pe axa reala: definitii, proprietati, teoreme de medie, derivate   de ordin superior, formula lui Taylor, studiul variatiei functiilor.
6. Probleme de extrem. 
7. Primitive. Integrala definita, formula lui Leibniz-Newton.
8. Integrala Darboux-Stieltjes.
9. Functii vectoriale de argument vectorial.
10. Continuitate. Diferentiala Frechet.
11. Derivate partiale.
12. Diferentiala Frechet de ordinl al doilea si e ordin superior.
13. Probleme de extrem local.Teorema de inversare locala. Functii implicite. 
14. Integrale duble. Integrale triple.	

V. Bibliografie
1. ANDRICA D., DUCA I.D., PURDEA I., POP I.: Matematica de baza, Studium, Cluj-Napoca, 2002. 
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Analiza matematica,Curs litografiat, Facultatea de Matematica, Univ. $Babes-Bolyai$. 
3. BRECKNER W. W.: Analiza matematica. Topologia spatiului R^n Cluj-Napoca, Universitatea, 1985. 
4. COBZAS S.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 1998. 
5. MARUSCIAC I.: Analiza matematica. I, II, Cluj-Napoca, Universitatea $Babes-Bolyai$, 1980. 

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Sistemul numerelor reale. Structura algebrică, structura de ordine şi structura topologica a sistemului numerelor reale. Definiţia marginilor inferioară şi superioară ale unei mulţimi de pe axa reală.
Cursul 2. Şiruri de numere reale. Definiţia limitelei unui şir de puncte de pe axa reală completată. Teorema lui Cesaro. Şiruri fundamentale de numere reale, teorema lui Cauchy.
Cursul 3. Serii de numere reale: serii convergente şi serii absolut convergente de numere reale, criteriul general de convergenţă al lui Cauchy, criterii de convergenţă pentru serii de numere reale cu termeni pozitivi. (Criteriul comparaţiei, criteriul lui D’Alembert, criteriul lui Raabe-Duhamel, criteriul lui Bertrand). Criteriul lui Leibnitz de convergenţă pentru serii de numere reale alternate.
Cursul 4.  Spaţiul real m- dimensional R Operaţii în acest spaţiu. Produsul scalar, norma unui 
      element şi distanţa între elementele din R  Vecinătăţi ale punctelor din R 
      Interiorul, exteriorul şi frontiera unei mulţimi din R Mulţimi închise, deschise şi compacte. 
      Punct de acumulare şi închiderea unei mulţimi din R
Cursul 5.  Limita şi continuitatea unei funcţii definite pe o mulţime din R Proprietăţile unei funcţii continue pe o mulţime compactă. Funcţii uniform continue şi lipschitziene.
Cursul 6. Elemenete de calcul diferenţial pentru funcţii reale de o variabilă reală. Definiţia derivatei şi interpretarea ei geometrică. Puncte de extrem local. Teorema lui Fermat şi teorema lui Rolle.
Cursul 7.  Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor (Formula lui Taylor pentru polinoame,  polinomul lui Taylor de un grad oarecare n,  pentru funcţii de n ori derivabile, evaluarea restului în aproximarea prin polinomul lui Taylor. Formula creşterilor finite a lui Lagrange.
Cursul 8. Aplicaţii ale formulei creşterilor finite a lui Lagrange şi a formulei lui Taylor. Caracterizarea monotoniei funcţiei cu ajutorul semnului derivatei. Caracterizarea convexităţii şi a concavităţii cu ajutorul semnului derivatei a doua. Caracterizarea extremelor cu ajutorul derivatelor de diferite ordine.
Cursul 9.  Derivate parţiale ale funcţiilor reale de mai multe variabile reale. Derivate parţiale de ordinul al doilea. Teorema lui Schwartz. Diferenţiabilitatea şi diferenţala unei funcţii reale de mai multe variabile reale. Forme diferenţiale liniare. Condiţii necesare şi suficiente ca o formă diferenţială să fie o diferenţială (totală exactă).
Cursul 10. Diferenţiala de ordinul al doilea.  Teorema lui Fermat pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Formula lui Taylor cu restul de ordinul al doilea. Caracterizarea extremelor pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Derivarea funcţiilor compuse. Funcţii implicite şi derivarea lor. Extreme condiţionate.  Metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Cursul 11.  Integrala Riemann a unei funcţii reale de o variabilă reală. Caracterizarea integrabilităţii cu ajutorul sumelor lui Darboux. Integrabilitatea unei funcţii continue. Integrala Riemann-Stieltjes şi reducerea acestei integrale la integrala Riemann în cazul integrării unei funcţii continue în raport cu o funcţie derivabilă şi cu derivată continuă.
Cursul 12.  Integrale improprii. Integrale curbilinii din funcţii reale de mai multe varibile reale de primul şi al doilea tip. Independenţa de drum. Integrala Riemann a unei funcţii reale de m variabile reale. Integrale duble şi triple şi calculul lor prin reducerea la integrale iterate.
Cursul 13. Integrale de suprafaţă de primul şi al doilea tip din funcţii reale de mai multe variabile reale.  Formule de calcul. Formulele lui Green, Stokes şi Gauss-Ostrogradski.
Cursul 14. Şiruri şi serii de funcţii. Proprietăţi ale limitei unui şir de funcţii, proprietăţi ale sumei unei serii de funcţii. Serii de puteri, raza de convergenţă.

Seminarul 1. Inegalităţi remarcabile în mulţimea numerelor reale.
Seminarul 2. Şiruri remarcabile de numere reale: studiul convergenţei unor şiruri remarcabile de numere reale. 
Seminarul 3. Teorema lui Stolz şi aplicaţii ale acesteia.
Seminarul 4. Serii de numere reale: calculul sumelor unor serii concrete de numere reale.
Seminarul 5. Serii de numere reale: aplicarea criteriilor de convergenţă de la curs la studiul convergenţei unor serii concrete.
Seminarul 6. Limite de funcţii reale de o variabilă reale.
Seminarul 7. Limite de funcţii reale de mai multe variabile reale. Cazuri de neexistenţă a limitei.
Seminarul 8. Calcul diferenţial pentru funcţii reale de o variabilă reală. Teorema de medie a lui Cauchy şi regula lui l’Hospital.
Seminarul 9. Derivate parţiale de ordinul 1 şi 2. Extreme din funcţii reale de mai multe variabile reale. 
Seminarul 10. Extreme cu legături.
Seminarul 11. Integrale Riemann proprii şi improprii şi primitive: integrarea prin părţi, integrarea funcţiilor raţionale,  integrale reductibile la integrala unei funcţii raţionale prin diferite schimbări de variabilă.
Seminarul 12. Integrale Riemann-Stieltjes şi calculul lor prin reducere la integrale Riemann. Calculul unor integrale curbilinii. Utilizarea independenţei de drum.
Seminarul 13. Integrale duble şi tiple. Diferite exerciţii privind calculul acestora.
Seminarul 14. Integrale de suporafaţă.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Examen scris si oral.	

IX. Bibliografie suplimentară

1. MEGAN M.: Bazele analizei matematice,  Ed. BIT, Timisoara, vol I - III, 2000, 2001, 2002.
2. MURESAN, M.: Mathematical Analysis and Appications, Risoprint, Cluj-Napoca, 
3. MURESAN, M.:  A Concret Approach to Classical Analysis, Springer, New York, 2008.
4. FIHTENHOLT G. M.: Curs de calcul diferential si integral, Vol. I, II. Bucuresti, Editura Tehnica, 1965. 
5. TRIF T.: Probleme de calcul diferential si integral in IR^n, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003	

            Decan,							     Sef de catedra,
Prof.  Dr. Leon Ţîmbulea                                                     Conf. Dr. Simeon Breaz

	Data,							    Titular curs,
1.	10. 2010					         Conf.  Dr.  DIACONU Adrian