Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML0009	Complemente de algebră	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
4	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
COVACI Rodica	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Completarea cunostintelor de teoria multimilor, combinatorica, aritmetica numerelor si a polinoamelor, teoria grupurilor si teoria ecuatiilor algebrice din cursurile de algebra din semestrele anterioare.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Inductia matematica. Combinatorica: deductie si inductie, metoda inductiei matematice (variante) si axiomele lui Peano, aplicatii ale metodei inductiei matematice; aranjamente, permutari si combinari cu repetitie si aplicatii ale acestora (numarul de termeni din forma canonica a unui polinom, produs de binoame, puterea unei sume).
2. Aritmetica numerelor si a polinoamelor (studiu comparativ): teorema impartirii cu rest - model de demonstratie in paralel pentru numere intregi si pentru polinoame.
3. Structuri algebrice: o constructie elementara de inele si corpuri, structura unor grupuri finite, aplicatii ale grupurilor finite (grupul de simetrie al unei figuri, actiunea unui grup pe o multime, metoda de numarare Polya-Burnside).
4. Ecuatii algebrice: teorema fundamentala a algebrei, numere complexe exprimabile prin radicali, formulele de rezolvare pentru ecuatiile algebrice de gradul doi, trei si patru.	

V. Bibliografie
1. Becheanu, M. si colectiv, Algebra, Editura ALL, Bucuresti, 1998.
2. Breaz, S.; Covaci, R., Elemente de logica, teoria multimilor si aritmetica, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006.
3. Ion, I.D.; Nita, C., Nastasescu, C., Complemente de algebra, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1984.
4. Nastasescu, C.; Nita, C., Teoria calitativa a ecuatiilor algebrice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1979.
5. Popescu, D.; Vraciu, C., Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.
6. Purdea, I.; Pelea, C., Probleme de algebra, Editura EIKON, Cluj-Napoca, 2008.
7. Rus, A. I. si colectiv, Matematica si aplicatiile sale, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1995.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Sapt.1. Introducerea axiomatica a multimii N (axiomatica lui Peano): axiomele lui Peano, principiul inductiei matematice, consecinte imediate ale axiomelor lui Peano, operatii pe multimea N, ordonarea multimii N.
      [2, Cap.4, 4.2.2]; [1, Cap.III, 1.]
Sapt.2. Metoda inductiei matematice (variante): axioma inductiei matematice, principiul inductiei matematice (primul principiu de inductie), principiul inductiei noetheriene (al doilea principiu de inductie), principiul inductiei transfinite. Aplicatii ale metodei inductiei matematice.
      [2, Cap.4, 4.2.2]; [3, Cap.I, 1.1, 1.2, 1.3, 4.5]
Sapt.3. Elemente de combinatorica: cuvinte cu elemente dintr-o multime, aranjamente cu repetitie, multimi ordonate, aranjamente fara repetitie, permutari fara repetitie, permutari cu repetitie.
      [2, Cap.4, 4.4.1, 4.4.2, 4.5]; [3, Cap.I, 2.1, 2.2]
Sapt.4. Combinari fara repetitie si legatura lor cu numarul functiilor strict crescatoare definite intre multimile ordonate finite. Combinari cu repetitie. 
      [2, Cap.4, 4.4.3, 4.5]; [3, Cap.I, 2.3, 2.4]
Sapt.5. Aplicatii ale combinatoricii: numarul maxim de termeni din forma canonica a unui polinom, produs de binoame, puterea unei sume (formula multinomului).
      [3, Cap.I, 2.5]
Sapt.6. Aritmetica numerelor si a polinoamelor (studiu comparativ). Relatia de divizibilitate in N, teorema impartirii cu rest in N (demonstratie bazata pe Lema lui Arhimede). Aplicatie: sisteme de numeratie.
      [2, Cap.5, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3]; [1, Cap.III, 2., 3.]
Sapt.7. Constructia si structurarea multimii numerelor intregi Z.
      [2, Cap.4, 4.3.1]
Sapt.8. Relatia de divizibilitate in Z, teorema impartirii cu rest in Z (demonstratie bazata pe teorema impartirii cu rest in N). Relatia de divizibilitate in inelul polinoamelor, teorema impartirii cu rest pentru polinoame. Model de demonstratie in paralel a teoremei impartirii cu rest pentru numere intregi si pentru polinoame peste corpul numerelor complexe.
      [2, Cap.5, 5.2.1, 5.2.2]; [3, Cap.II, 1., 2., 3.]
Sapt.9. Structuri algebrice: grup, inel, corp (recapitularea unor notiuni de baza). Structura unor grupuri finite, tipurile de grupuri cu n elemente, teoreme de structura pentru grupuri finite.
      [3, Cap.III, 2.1, 2.2, 2.3]; [6]
Sapt.10. Actiuni ale grupurilor pe multimi si reprezentari prin permutari asociate. Orbite si stabilizatori.
      [3, Cap.III, 3.2]; [5, Cap.IV, 1., 3.]; [6]
Sapt.11. Aplicatii ale grupurilor finite: grupul de simetrie al unei figuri, aplicatii ale actiunilor de grupuri, metoda de numarare Polya-Burnside.
      [3, Cap.III, 3.1, 3.2, 3.3]
Sapt.12. O constructie elementara de inele si corpuri. Corpul numerelor rationale.
      [3, Cap.III, 1.1, 1.2]; [7, Cap.IV, 6.]
Sapt.13. Ecuatii algebrice. Teorema fundamentala a algebrei. Numere complexe exprimabile prin radicali.
      [4, Cap.III, 7., Cap.IV, 1., 2.]
Sapt.14. Formulele de rezolvare pentru ecuatiile de gradul doi, trei si patru cu coeficienti compecsi. Natura radacinilor ecuatiei de gradul trei cu coeficienti reali.
      [4, Cap.IV, 3., 4.]	

VII. Metode didactice folosite
Prelegeri, expuneri, conversatia, demonstratia didactica, algoritmizarea, problematizarea, studiul individual, exercitiul.	

VIII. Evaluare
Lucrare de control(25%) + Colocviu(75%).
Lucrarea de control se va da in saptamana a 7-a a semestrului si va verifica cunostintele teoretice si practice (probleme) din capitolul 1.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Covaci, R., Algebra si programare liniara, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1986.
2.	Miron, R.; Branzei, D., Fundamentele aritmeticii si geometriei, Editura Academiei, Bucuresti, 1983.
3.	Purdea, I.; Pop, I., Algebra, Editura GIL, Zalau, 2003.
4.	Tomescu, I., Probleme de combinatorica si teoria grafurilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.	

	Decan,							Sef de catedra,
            Prof. Dr. TAMBULEA Leon                                   Conf. Dr. BREAZ Simion

	Data,							Titular curs,
	25.11.2009				                        Conf. Dr.  COVACI Rodica