Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Calculatoare şi tehnologia informaţiei
Programul de studii: Ingineria informatiei - in limba maghiara
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MME0012	Ecuaţiile fizicii matematice	

Félév	Órák: C+S+L+P	Kategória	Típus	
5	2+1+1+0	specialitate	obligatorie	

II. Főállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	Fokozat	státus		E	Sz	L	
ANDRAS Szilard Karoly	Dr.	Lect.	Matematică Aplicată	*	*	*	

III. A tantárgy célkituzései
Bevezetés a lineáris parciális differenciálegyenletek klasszikus és modern elméletébe, a variációszámítás alapjainak megismerése, bevezetés a speciális függvények alkalmazásába. 	

IV. A tantárgy tartalma
1. A variációszámítás elemei: alaplemmák, Euler-Lagrange egyenletek, szabad végpontok esete, a transzverzalitás feltétele, alkalmazások
1. Modellezési feladatok, amelyek PDE-hez vezetnek. Másodrendű PDE kanonikus alakja és osztályozása. PDE-hez tartozó feladatok (Dirichlet, Neumann, vegyes peremérték feladatok)
2. Elliptikus egyenletek klasszikus elmélete. A Gauss Ostrogradski tétel és a Green képletek. A Laplace egyenlet alapmegoldásai és a Riemann- Green reprezentációs tétel. Harmonikus függvények középérték tétele. A maximum elv. A klasszikus Dirichlet feladat megoldásának egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése. A tartomány Green függvénye és a Dirichlet feladat megoldásának integrálreprezentációja. A gömb Green függvénye és a Poisson képlet. A Neumann feladat tanulmányozása.
3. Elliptikus feladatok Sobolev terekben. Disztribúciók, Sobolev terek, a Poincare egyenlőtlenség. A Dirichlet elv, a Dirichlet feladat megoldásának egyértelműsége. Sajátértékek és sajátfüggvények Hilbert terekben, a Laplace operátor sajátértékei és sajátfüggvényei.
4. Evolúciós egyenletek. A hővezetés egyenletére vonatkozó maximum elv. A hővezetés és a húrrezgés egyenletére vonatkozó vegyes (Cauchy-Dirichlet) feladatat. Alapmegoldások. A Cauchy feladat és a megoldások reprezentációja. 	

V. Könyvészet
1. FERDINAND F. CAP, Mathematical methods in physics and engineering with Mathematica, CRC Press, 2003
2. Yehuda Pinchover, Jacob Rubinstein: An introduction to partial differential equations, Cambridge University Press, 2005
3. VLADIMIROV, V.S., Ecuatiile fizicii matematice, Ed. St. Enc., Bucuresti, 1981 (Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Muszaki Kiadó, Budapest, 1980).
4. TRIF, D., Ecuatii cu derivate partiale, UBB, Cluj, 1993.
5. N.S. KOSHLYAKOV, M.M. SMIRNOV, E.B. GLINER: Differential equations of mathematical physiscs, North Holland Publishing, 1964
6. BARBU, V., Probleme la limita pentru ecuatii cu derivate partiale, Ed. Acad. Române, Bucuresti, 1993.
7. BRÉZIS, H., Analyse fonctionelle. Théorie et applications, Masson, Paris, 1983.
8. GILBARG, D., TRUDINGER, N.S., Elliptic partial differential equations of second order, Springer, Berlin, 1983.
9. PRECUP, R., Lectii de ecuatii cu derivate partiale, Presa Universitara Clujeana, 2004.
10. SIMON, L., BADERKO, E.A., Másodrendű parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
11. SZILÁGYI P., Másodrendű parciális differenciálegyenletek, BBTE, Kolozsvár, 1998.

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
Előadások
I. A variációszámítás elemei: problémák, alaplemmák, Euler-Lagrange egyenletek
II. Variációszámítás: szabad végpontok esete, a transzverzalitás feltétele, alkalmazások
III. Variációszámítás: magasabbrendű deriváltaktól függő funkcionálok, rendszerek, többváltozós függvényekhez rendelt funkcionálok
IV. Fizikai és biológia problémák, amelyek parciális differenciálegyenletekhez vezetnek. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris parciális differenciálegyenletek megoldásának előállítása.
V. Másodrendű parciális differenciálegyenletek kanonikus alakja és osztályozása. Dirichlet feladat, Neumann feladat, vegyes feladatok 
VI. Fourier sorok és a szétválasztás módszere peremérték feladatok esetén.
VII. Green képletek, a Laplace egyenlet alapmegoldásai, a Riemann-Green reprezentációs tétel, harmonikus függvények középérték tétele.A maximum elv. A klasszikus Dirichlet feladat megoldásának egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függés. A Neumann feladat tanulmányozása.
VIII. Tartományok Green függvénye, a Dirichlet feladat megoldásának reprezentációja, a gömb Green függvénye, Poisson és Dini típusú integrálreprezentációk
IX. A Dirichlet elv és következményei, Sobolev terek, beágyazások, Poincaré egyenlőtlenség
X. A Dirichlet és a Neumann feladat általánosított megoldása, a megoldások egyértelműsége
XI. A szétválasztás módszere evolúciós egyenletek esetén
XII. A hővezetés egyenletére vonatkozó maximum elv
XIII. A hővezetés és a húrrezgés egyenletére vonatkozó vegyes (Cauchy-Dirichlet) feladatat.
XIV. Alapmegoldások. A Cauchy feladat és a megoldások reprezentációja.

Szeminárium
I. A brachisztokron probléma, lövedék alakjának megtervezése, rugalmas rúd alakja
II. A Hamilton elv alkalmazása, egy rugóból és egy merev rúdból álló rendszer, többszörös ingák
III. A Fourier  sorok módszerének alkalmazása (Dirichlet feladat esetén)
IV. A Fourier  sorok módszerének alkalmazása (Evolúciós feladatok esetén)
V. A Bessel függvények 
VI. A Fourier transzformáció
VII. Numerikus módszerek elliptikus egyenletekre

Laborgyakorlat
I. Variációs problémák numerikus megközelítése, az Euler módszer, a Ritz módszer 
II. Többszörös ingák szimulálása
III. Dirichlet feladat megoldásának előállítása a Fourier sorok segítségével
IV. Húrrezgés, hővezetés szimulálása Fourier sorok segítségével
V. A Matlab PDE csomagja, a Laplace operátor sajátértékei és sajátfüggvényei
VI. Evolúciós feladatok megoldásának szimulálása, a pde csomag segítségével
VII. Reakció diffúziós egyenletek, a foltképződés szimulálása 

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Előadás, problematizálás, modellezés, csoporttevékenység, projektmunka, Internet, projektor, számítógép, könyvtár

VIII. Értékelés
I.	Felmérés módja:
Előadásokon és szemináriumokon kifejtett tevékenység 20%
Projekt (házi dolgozat, program) 30%
Írásbeli vizsga 50%

II.	Szervezési részletek, kivételes esetek kezelése:
Ha valaki a tevékenységek több mint 40%-áról hiányzott, akkor egy külön dolgozatot kell bemutatnia az oktató által kijelölt témából, a vizsgán való csalás a vizsgáról való kizárást vonja maga után.

IX. Kiegészíto könyvészet
1.	Michael E. Taylor: Partial Differential equations I, Springer, 1996
2.	Ka Kit Tung: Partial differential equations and Fourier Analysis, http://www.amath.washington.edu/courses/353-winter-2006/index.html
3.		

Elérhetőség (e-mail cím, esetleg telefonszám): andraszk@yahoo.com vagy andrasz@math.ubbcluj.ro  Tel: 0745561201
Fogadási óra: szerda 14-16, 209-es szoba, Mathematicum épülete

	Dátum, 13. 04. 2010						Előadás felelőse,
								Lect. Dr. ANDRÁS Szilárd Károly

Dékán,						Tanszékvezető,