Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică - în limba maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA1021	Aspecte metodice în analiza elementară I	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
1	2+1+0	specialitate	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
FINTA Zoltan	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célpontjai:  a valós változós valós függvények differenciál- és integrálszá-
mítás fontosabb fejezeteinek és eszköztárának a bemutatása, amely nélkülözhetetlen egy 
jövendőbeli matematika szakos tanár számára.Az előadások és a szemináriumok tartalma 
nem az aktuális XI.-es és  XII.-es matematikai analízis tankönyvek feldolgozásai, hanem ezeknek egy magasabb szinten való bemutatásai.
A tantárgy által biztosított szakértelem:   az előadások és szemináriumok befejezése után az egyetemi hallgató kell rendelkezzen mindazon szükséges ismeretekkel, melyek lehetővé teszik számára a XI. és XII. osztályos matematikai analízis tanítását. Ugyanakkor a tantárgy során bemutatott hibás feladatmegoldások, példák és ellenpéldák azt hivatottak szolgálni, hogy megelőzzük a tartalmi hibák előfordulását a középiskolai  matematikai analízis oktatásában.
Az előadásokon és szemináriumokon használt módszerek:   ismeretek közlése (előadás, leírás,
magyarázat), frontális és egyéni beszélgetés, problematizálás.	

IV. A tantárgy tartalma
A bemutatásra kerülő fontosabb fejezetek a következők: valós számsorozatok, valós számsorok, 
folytonos függvények, deriválható függvények, konvex függvények, primitív függvények, Darboux-
tulajdonságú függvények, Riemann-integrálható függvények, improprius integrálok, 
függvénysorozatok.
  1) Valós számokkal kapcsolatos tulajdonságok
  2) Valós számsorozatok
  3) Valós számsorok
  4) Véges és végtelen halmazok
  5) Függvények határértéke és folytonossága
  6) Egyenletesen folytonos függvények 
  7) Deriválható függvényekkel kapcsolatos tulajdonságok 
  8) A differenciálszámítás alapvető tételei
  9) A differenciálszámítás alapvető tételei
10) Konvex függvények
11) Konvex függvények
12) Algebrai egyenletek megoldása analízis eszközökkel
13) Darboux-tulajdonságú függvények
14) Darboux-tulajdonságú függvények	

V. Könyvészet
1)	Balázs M. -  Hatházi A. :  Matematika,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
2)	Balázs M. :  Matematika analízis,  Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2006.
3)	Crăciun C.V. :  Analiză matematică (Materiale pentru perfecţionarea profesorilor de liceu),  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1992.
4)	Crăciun C.V. : Contraexemple în analiza matematică,  Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică, Bucureşti, 1989.
5)	Crăciun C.V. : Teoreme de medie din analiza matematică,  Universitatea  din   
      Bucureşti,  Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti, 1986.
6)	Gelbaum B.R. – Olmsted J.M.H. :  Contraexemple în analiză,  Editura Ştiinţifică,
Bucureşti, 1973.
7)	Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial şi integral,  vol. I-II, Editura Ştiinţifică şi    
      Enciclopedică,  Bucureşti, 1985.
8)	Sireţchi Gh. :  Calculul diferenţial, Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Matematică,  Bucureşti,  1983.
9)	Sireţchi Gh. :  Funcţii cu proprietatea Darboux, Universitatea din Bucureşti, Facultatea  de  Matematică,  Bucureşti,  1986.
    10)   Rădulescu  S. – Rădulescu  M. :  Teoreme şi probleme de analiză matemaitică,
            Editura  Didactică  şi  Pedagogică,  Bucureşti, 1982.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1)  Valós számokkal kapcsolatos tulajdonságok
      - alsó korlát, felső korlát, legkisebb elem, legnagyobb elem, minimális elem, maximális elem, infimum, szuprémum;  környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, F_{σ} típusú halmaz, G_{δ} típusú halmaz, sűrű halmazok, Dirichlet-tétel, Kronecker-tétel
[7, I, 13-46]

1)  Valós számokkal kapcsolatos tulajdonságok
      - gyakorlatok és feladatok [7, II, 13-18, 31-34]

2) Valós számsorozatok
     - fundamentális sorozatok, rekurrens sorozatok;  Töplitz-tétel, Stolz-Cesaro-tétel, Lalescu-sorozat     
       [7, I, 46-71]

2) Valós számsorozatok
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 34-115]

3) Valós számsorok
     - Kummer-féle kritérium és következményei;  számsorok és számsorozatok közötti  kapcsolat  
       (Kronecker-lemma)  [7, I, 76-102]

3) Valós számsorok
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 116-143],  [4, 17-27]

4)  Véges és végtelen halmazok
      - megszámlálható halmazok,  kardinális számok,  Cantor-Bernstein-tétel,  Cantor-halmaz  
         [7, I, 22-27]

4)  Véges és végtelen halmazok
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 18-22]

5)  Függvények határértéke és folytonossága
     - a határérték jellemzése a Heine-kritériummal illetve a Cauchy-kritériummal;  a folytonosság 
        jellemzése nyílt halmazokkal (zárt halmazokkal);  szakadási pontok (az  f : R \to R függvény 
        szakadási pontjainak halmaza F_{σ} típusú;  nem létezik olyan f : R \to R  függvény, amely 
        folytonos minden racionális pontban és szakadásos minden irracionális pontban)  [7, I, 148-186]
 
5)  Függvények határértéke és folytonossága
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 185-223],  [4, 29-36]

6)  Egyenletesen folytonos függvények 
      - az egyenletes folytonosság jellemzése sorozatokkal illetve függvények határértékével  [3, 42-49],  
         [7, I, 188-190] ;  az egyenletes folytonosság elégséges feltételei  [10, 41]

6)  Egyenletesen folytonos függvények 
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 234-243],  [3, 50-69]
	
7)  Deriválható függvényekkel kapcsolatos tulajdonságok 
     - a folytonosság és deriválhatóság kapcsolata, bal és jobb oldali deriváltak;  példa olyan folytonos f :  
       R \to R függvényre, amely egyetlen pontban sem deriválható (Van der Waerden példája, K. 
       Weierstrass példája),  Banach-tétel (a deriválható függvények halmaza első kategóriájú)  
       [7, I, 191-201],  [8, 107-116]

7)  Deriválható függvényekkel kapcsolatos tulajdonságok 
     - gyakorlatok és feladatok  [4, 37-47],  [3, 87-106],  [7, II, 244-267]

8)  A differenciálszámítás alapvető tételei
     - Fermat-tétel, Rolle-tétel, Cauchy-tétel, Lagrange-tétel;  Taylor-képlet, 
        L’Hospital-szabály  [7, I, 202-224]

8)  A differenciálszámítás alapvető tételei
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 267-306],  [5]

9)  A differenciálszámítás alapvető tételei
     - a középértéktételek egységesített formája (lásd: Páles Zs.,  A unified form of the classical mean 
       value theorems,  WSSIAA,  3(1994), 493-500)   [7, I, 251-255]

9)  A differenciálszámítás alapvető tételei
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 267-306],  [5]

10) Konvex függvények
       - konvexitás és folytonosság kapcsolata, Jensen-konvexitás és kapcsolata a konvexitással;  példa 
         olyan Jensen-konvex függvényre, amely nem konvex  [8, 94-107], [7, I, 226-232]

10) Konvex függvények
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 307-315]

11) Konvex függvények
       - konvexitás és deriválhatóság kapcsolata (a konvexitás jellemzése az elsőrendű 
         deriváltfüggvénnyel;  a konvexitás jellemzése a másodrendű deriváltfüggvénnyel) 
         [8, 94-107],  [7, I, 226-232]

11) Konvex függvények
     - gyakorlatok és feladatok  [7, II, 307-315]

12) Algebrai egyenletek megoldása analízis eszközökkel
      - grafikus módszer, Rolle-sorozat, húr módszer, érintő módszer (vagy Newton-féle
         módszer), a kontrakció elve (vagy Banach-féle fixpont tétel)  [7, I, 457-477] 

12) Algebrai egyenletek megoldása analízis eszközökkel
     - gyakorlatok és feladatok  [7, I, 457-477]

13) Darboux-tulajdonságú függvények
       - a Darboux-tulajdonság és folytonosság kapcsolata,  Darboux-tulajdonságú függvények szakadási 
          pontjai, Lebesgue példája  Darboux-tulajdonságú és sehol sem folytonos függvényre  
          [9],  [7, I, 120-122] 

13) Darboux-tulajdonságú függvények
     - gyakorlatok és feladatok  [9],  [7, II, 157-159]

14) Darboux-tulajdonságú függvények
       - a Darboux-tulajdonság és deriválhatóság kapcsolata,  a Darboux-tulajdonság és primitív 
          függvények kapcsolata, a Darboux-tulajdonság és két függvény összege, szorzata illetve 
          hányadosa közötti kapcsolat  [9],  [7, I, 120-122] 

14) Darboux-tulajdonságú függvények
     - gyakorlatok és feladatok  [9],  [7, II, 157-159]	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Az előadásokon és szemináriumokon használt módszerek:   ismeretek közlése (előadás, leírás,
magyarázat), frontális és egyéni beszélgetés, problematizálás.	

VIII. Értékelés
A felmérés módja: félévi  dolgozat (írásbeli), a jelenlét kötelező, a minősítés 1-től 10-ig történik (ÍJ). 
Abban az esetben, ha az egyetemi hallgató ennek a jegynek a módosítását szeretné, akkor lehetősége 
van szóbeli vizsgázni, a minősítés 1-től 10-ig történik (SZJ).  A végső jegy = (ÍJ + SZJ) / 2.	

IX. Kiegészíto könyvészet

	Dékán,						Tanszékvezető,
            Prof. Univ. Dr. TAMBULEA Leon                            Conf. Univ. Dr. BREAZ Simion

	Dátum,						Előadás felelőse,
2009.09.30.	                                                                 Conf. Univ. Dr.  FINTA Zoltán