Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Didactică
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1017	Teme de analiză matematică II (pentru perfecţionarea profesorilor)	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
2	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
MURESAN Marian	Dr.	Prof.	Algebra, analiza si geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea şi completatrea cunoştinţelor de calcul diferenţial pentru funcţii de una şi de mai multe variabile cu deschidere spre anumite elemente de calcul diferenţial pentru aplicaţii neliniare definite între spaţii liniare normate.	

IV. Conţinutul disciplinei
Pornind de la definiţia diferenţialei unei funcţii reale de o variabilă reală prezentăm definiţia diferenţialei unei aplicaţii neliniare definite între spaţii liniare normate împreună cu unele dintre cele mai semnificative proprietăţi ale sale. În particular vom obţine şi definiţa diferenţialei sau a diferitelor tipuri de derivate  pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Un loc special este ocupat de noţiunea de primitivă a unei funcţii, de mulţimea primitivelor şi de raportarea acestei mulţimi la alte clase importante de funcţii. Ne ocupăm de primitive generalizate şi de rolul acestora. Un loc important îl ocupă teoremele de medie ale calculului diferenţial, altele decât cele clasice şi deja studiate. Pentru unele vom da şi forma lor pentru aplicaţii neliniare. Aplicaţiile formulei lui  Taylor ocupă deasemenea un loc special. Ne ocupăm de studiul diferitelor metode de aproximare ale soluţiilor unei ecuaţii în mulţimea numerelor reale. Vom studia metode riguroase de definire ale funcţiilor elementare şi legătura lor cu ecuaţiile funcţionale. Studiem extremele de funcţii şi funcţionale de diferite tipuri şi efectuăm un studiu complet şi aplicaţii ale lor.	

V. Bibliografie
[1] MARUSCIAC, I.,  Analiză matematică, vol. I-II, UBB Cluj-Napoca,1973.
[2] COLOJOARĂ, I., Analiză matematică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1984.
[3] NICOLESCU, M., DINCULEANU, N,. MARCUS, S., Manual de analiză matematică, vol. I-II, Editura didactică şi pedagogică , Bucureşti, 1964.
[4] BOBOC, N., Analiză matematică, Univ., Bucureşti, 1988.
[5] MEGAN, M., Analiză matematică, vol. 1-2, Mirton, Timişoara, 1999. 
[6] MURESAN, M., A Concrete Approach to Analysis, Springer, New York, 2009.
[6] PĂVĂLOIU, I., POP, N., Interpolare şi aplicaţii, Risoprint, Cluj-Napoca, 2005.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Definiţia diferenţialei Fréchet a unei aplicaţii neliniare  între spaţii liniare normate. Derivate şi diferenţiale pentru funcţii reale de variabilă reală. Proprietăţi diverse. Numerele derivate ale lui Dini.
Seminarul 1. Funcţii continue care nu admit derivată în nici un punct.

Cursul 2. Generalizări ale teoremelor de medie clasice ale calculului diferenţial. Teorema de medie a lui Danjoy-Bourbaki.
Seminarul 2. Proprietăţi ale punctului intermediar din diferitele teoreme de medie.

Cursul 3.  Mulţimea funcţiilor care admit primitive şi raportarea acestei mulţimi la mulţimea funcţiilor continue şi la mulţimea funcţiilor cu proprietatea lui Darboux. Primitive generalizate.
Seminarul 3. Aplicaţii ale teoremelor de medie la demonstrarea în demonstrarea diferitelor inegalilăţi şi în studiul punctelor de extrem (optim) ale funcţiilor.

Cursul 4. Derivate şi diferenţiale de ordin superior a unei funcţii reale şi a unei aplicaţii neliniare. Stabilirea unor formule pentru derivata de ordinul n a produsului de funcţii.
Seminarul 4. Exerciţii de calcul de derivate de ordinul n pentru diferite funcţii. 

Cursul 5. Unele aspecte speciale legate de formula lui Taylor. Formula lui Taylor pentru aplicaţii neliniare. Aplicaţii.
Seminarul 5. Calculul unor limite de şiruri şi de funcţii folosind formula lui Taylor şi dezvoltărilr în serii Taylor.

Cursul 6. Metode de aproximare ale soluţiilor unor ecuaţii în mulţimea numerelor reale. Metoda interpolării inverse.
Seminarul 6. Separarea rădăcinilor unei ecuaţii polinomiale şi calculul aproximantelor acestor rădăcini până la verificarea unui criteriu de eroare.

Cursul 7.  Metoda lui Newton pentru ecuaţii în mulţiumea numerelor reale. Existenţa, unicitatea şi aproximarea soluţiei.
Seminarul 7. Exemplu concret de aproximare a rădăcinii unei ecuaţii prin metoda lui Newton.

Cursul 8. Metoda coardei şi metoda lui Steffensen. Teoremele de convergenţă. Noţiunea de ordin de convergenţă şi stabilirea lui în cazul metodei lui Newton, a metodei coardei şi a metodei lui Steffensen.
Seminarul 8. Estimări ale ordinului de convergenţă  al metodei care se obţine prin interpolare inversă.

Cursul 9. Extreme şi extreme condiţionate pentru funcţii şi funcţionale. 
Seminarul 9. Extreme concrete de determinare a unor exteme.

Cursul 10. Aplicaţii diverse a metodei multiplicatorilor lui Lagrange.
Seminarul 10. Probleme de determinare a unor funcţii care verifică anumite condiţii.

Cursul 11. Definiţia funcţiei exponenţiale cu ajutorul limitelor de şiruri.
Seminarul 11. Demonstraţia unor proprietăţi ale funcţiei exponenţiale din cele prezentate la curs. 

Cursul 12. Funcţii care se definesc cu ajutorul funcţiei exponenţiale (funcţia logaritmică, funcţia putere şi compuse ale lor.
Seminarul 12. Funcţiile hiperbolice. Proprietăţi şi aplicaţii.

Cursul 13. Funcţia exponenţială de variabilă complexă. Funcţiile trigonometrice şi inversele lor. Formule asimpltotice.
Seminarul 13. Legătura dintre funcţiile trigonometrice şi cele hiperbolice.Relaţii remarcabile.

Cursul 14. Introducerea numărului π şi proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice în legătură cu numărul π.
Seminarul 14. Ecuaţii funcţionale remarcabile şi soluţii ale acestora. Legătura cu funcţiile elementare definite.

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea universitară. Exerciţiul.	

VIII. Evaluare
Evaluarea activităţii la seminar (1/3 din nota finală). Prezentarea unui referat (1/3 din nota finală). Examen oral în sesiune ((1/3 din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
[1] G. M. FIHTENHOLTZ, Calcul diferenţial şi integral, vol. I, II (1964), III(1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[2] NICOLESCU, M., Analiză matematică (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), EDitura tehnică Bucureşti.
[3] RUDIN, W., Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York, 1967.
[4] POLYA, G., SZEGÖ, G., Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (2 volume), 1932.
[5] RĂDULESCU, S., RĂDULESCU, M., Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

              DECAN:                                                                    ŞEF DE CATERRĂ:  
Prof. Dr.  Leon Timbulea                                                  Conf. Dr. Simion Breaz      

         DATA:                                                                                Titular de curs:
       26.09.2009                                                                     Prof. dr. Marian Muresan