Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1001	Capitole speciale de analiză funcţională	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
1	2+1+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BRECKNER Wolfgang	Dr. 	Prof.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	
                    —							

III. Obiectivele disciplinei
Se urmăreşte aprofundarea cunoştinţelor de analiză funcţională ale studenţilor, dobândite în cadrul
studiilor universitare de licenţă. Se prezintă teme referitoare la structurile algebrico-topologice de bază
ale analizei funcţionale: spaţii liniare topologice şi spaţii local convexe.	

IV. Conţinutul disciplinei

1. Complemente de teoria spaţiilor liniare: mulţimi echilibrate, mulţimi convexe, subspaţii liniare maximale, hiperplane
2. Topologii liniare: sisteme fundamentale de vecinătăţi, operatori între spaţii liniare topologice, continuitatea funcţionalelor liniare, separarea mulţimilor convexe dintr-un spaţiu liniar topologic printr-un hiperplan închis
3. Topologii local convexe: caracterizări ale spaţiilor local convexe, separarea mulţimilor convexe dintr-un spaţiu local convex printr-un hiperplan închis, mulţimi extremale, puncte extremale
4. Sisteme duale de spaţii liniare: polare, teorema bipolarei, sistemul dual natural generat de un spaţiu local convex separat Hausdorff, topologii slabe, teorema asupra imaginii închise

V. Bibliografie
1. Muntean I.: Analiză funcţională. Universitatea &#8222;Babeş-Bolyai&#8221;, Cluj-Napoca, 1993
2. Precupanu T.: Spaţii liniare topologice şi elemente de analiză convexă. Editura Academiei Române, Bucureşti, 1992 
3. Schaefer H. H., Wolff M. P.: Topological Vector Spaces. Second edition. Springer Verlag, New York, 1999
4. Werner D.: Funktionalanalysis. Vierte, überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin &#8211; Heidelberg &#8211; New York, 2002
5. Zălinescu C.: Programare matematică în spaţii normate infinit dimensionale. Editura Academiei Române, Bucureşti, 1998

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri: 
1. Topologii liniare. Noţiunea de spaţiu liniar topologic. Sisteme fundamentale de vecinătăţi ale
    originii. [1, pag. 73-80], [2, pag. 11-15]
2. Baze locale într-un spaţiu liniar. Continuitatea aplicaţiilor aditive între spaţii liniare topologice. [1, 
    pag.75-80]
3. Izomorfisme topologice. [1, pag. 95-96]
4. Continuitatea funcţiilor subliniare pe spaţii liniare topologice. Continuitatea funcţiei lui Minkowski.  
    [1, pag.165-166]
5. Continuitatea funcţionalelor liniare pe spaţii liniare topologice. [2, pag. 99-100]
6. Interiorul şi aderenţa unei mulţimi convexe dintr-un spaţiu liniar topologic. [1, pag. 164], [5, pag.  
    26-27]
7. Subspaţii liniare şi hiperplane în spaţii liniare topologice. [2, pag. 100-101]
8. Separarea mulţimilor convexe dintr-un spaţiu liniar topologic prin hiperplane închise. [1, pag. 167- 
    171]
9. Topologii local convexe. Noţiunea de spaţiu local convex. Baze local convexe într-un spaţiu liniar.  
    Teorema lui J. von Neumann. [1, pag. 81-88]
10. Continuitatea funcţiilor subliniare şi a funcţionalelor liniare pe spaţii local convexe. Separarea 
      mulţimilor convexe dintr-un spaţiu local convex prin hiperplane închise. [1, pag. 171-172] 
11. Mulţimi extremale şi puncte extremale. [3, pag. 390-393]
12. Existenţa punctelor extremale. Teorema lui Krein – Milman. [2, pag. 118-122]
13. Sisteme duale de spaţii liniare. Polare în sisteme duale de spaţii liniare. [2, pag. 126-129]
14. Teorema bipolarei. Sistemul dual natural generat de un spaţiu convex separat Hausdorff. Topologii  
       slabe. Teorema lui Alaoglu – Bourbaki. [3, pag. 384-386]

Seminarii:
1. Mulţimi convexe, învelitoarea convexă a unei mulţimi. [1, pag. 18-20]
2. Mulţimi echilibrate, învelitoarea echilibrată a unei mulţimi. [1, pag. 20]
3. Mulţimi absolut convexe.
4. Subspaţii liniare maximale şi hiperplane. [2, pag. 96]
5. Subspaţii liniare maximale şi hiperplane. [2, pag. 96]
6. Caracterizarea subspaţiilor liniare maximale şi a hiperplanelor cu ajutorul funcţionalelor liniare. [2, 
    pag. 97-98]
7. Funcţia lui Minkowski. [1, pag. 16-18, 20-22]
8. Funcţia lui Minkowski. [1, pag. 16-18, 20-22]
9. Exemplu de spaţiu liniar topologic care nu este un spaţiu local convex.
10. Caracterizarea spaţiilor liniare topologice seminormabile şi a celor normabile. [2, pag. 42-43]
11. Exemplu de spaţiu local convex Hausdorff care nu este normabil.
12. Aplicaţii în teoria celei mai bune aproximări.
13. Aplicaţii la studiul singularităţilor familiilor de funcţii neliniare.
14. Aplicaţii la studiul singularităţilor familiilor de funcţii neliniare.	

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea cu demonstraţii matematice, conversaţia, problematizarea, descoperirea	

VIII. Evaluare
O lucrare de control la mijlocul semestrului şi un examen scris în sesiune. Numărul „2/10 × nota 
lucrare + 8/10 × nota examen“ rotunjit dacă nu este un număr întreg, va fi nota finală. Acei studenţi
care doresc să-şi îmbunătăţească această notă şi cei care nu s-au  prezentat la examen pot da un examen
scris în sesiunea de restanţe. 

IX. Bibliografie suplimentară
1. Kutateladze S. S.: Fundamentals of Functional Analysis. Kluwer Academic Publ., Dordrecht – 
    Boston – London, 1996
2. Mathieu M.: Funktionalanalysis. Ein Arbeitsbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg – 
    Berlin, 1998	

Data, 30.09.2009							Titular curs,
Prof. dr. BRECKNER Wolfgang

DECAN,								ŞEF DE CATEDRĂ,
Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon					Conf. dr. BREAZ Simion