Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0019	Analiză matematică 2 (Calcul diferenţial în R^n)	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
2	2+2+0	fundamentala	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
TRIF Tiberiu Vasile	Dr. 	Conf.	Algebră, Analiză şi Geometrie	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cunoasterea integralelor improprii, a topologiei spatiului euclidian R^n, precum si a calculului diferential al functiilor de mai multe variabile reale.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Integrale improprii (4 ore curs + 6 ore seminar)
Definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte. Legătura integralelor improprii cu integrala Riemann. Calculul integralelor improprii: liniaritatea, formula lui Leibniz-Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă în integrala improprie. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii.
2. Topologia spaţiului euclidian Rn (8 ore curs + 6 ore seminar)
Spaţiul euclidian Rn. Şiruri de puncte din Rn. Mulţimi compacte în Rn. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială. Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.
3. Calcul diferenţial în Rn (16 ore curs + 16 ore seminar)
Aplicaţii liniare, norma unei aplicaţii liniare. Derivata unei funcţii vectoriale de variabilă reală. Diferenţiabilitatea unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială, derivata după o direcţie, derivate parţiale şi legătura lor cu diferenţiabilitatea. Operaţii cu funcţii diferenţiabile, diferenţiabilitatea funcţiei inverse. Teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială diferenţiabile. Funcţii de clasă C1. Teorema difeomorfismului local. Funcţii implicite diferenţiabile. Probleme de optimizare având ecuaţii ca restricţii. Derivate parţiale de ordinul doi, teoremele lui Schwarz şi Young referitoare la egalitatea derivatelor parţiale mixte. Diferenţiala a doua. Condiţii necesare şi condiţii suficiente pentru punctele de optim local ale funcţiilor reale de variabilă vectorială. Derivate parţiale de ordin superior şi diferenţiale de ordin superior ale unei funcţii reale de variabilă vectorială, formula lui Taylor.	

V. Bibliografie
l. BALÁZS M.: Matematikai analizis, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000
2. BALÁZS M., KOLUMBÁN I.: Matematikai analizis, Dacia Könyvkiado, Kolozsvár-Napoca, 1978
3. BRECKNER W. W.: Analiza matematica. Topologia spatiului R^n. Universitatea din Cluj-Napoca, 1985
4. BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1996
5. BUCUR G., CÂMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, Vol. II, Editura Tehnica Bucuresti 1966. Vol. III, Editura Tehnic&atilde;, Bucuresti, 1967
6. COBZAS ST.: Analiză matematică (Calcul diferential), Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiză matematică, Editura Tehnică, Bucuresti, 1956
8. FITZPATRICK P.M.: Advanced Calculus: Second Edition, AMS, 2006
9. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 11. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1994;
Teil 2, 9. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1995
10. MEGAN M.: Bazele analizei matematice, Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timisoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timisoara, 1998
11. RUDIN W.: Principles of Mathematical Analysis, 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964
12. WALTER W.: Analysis, I, II, Springer-Verlag, Berlin, 1990
13. TRIF T.: Probleme de calcul diferential si integral în R^n, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Integrale improprii: definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte, relaţia dintre integrala improprie şi integrala Riemann. Calculul integralelor improprii (liniaritatea, formula lui Leibniz-Newton, integrarea prin părţi).
Cursul 2. Integrale improprii: schimbarea de variabilă în integrala improprie. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii (criteriul lui Cauchy, criteriul comparaţiei, criteriul lui Abel).
Cursul 3. Topologie în Rn: spaţiul euclidian Rn (produsul scalar, norma euclidiană, distanţa euclidiană), structura topologică a spaţiului Rn (bile, vecinătăţi, puncte interioare, exterioare, aderente, frontieră, de acumulare şi izolate).
Cursul 4. Topologie în Rn: structura topologică a spaţiului Rn (mulţimi deschise şi mulţimi închise). Şiruri de puncte din Rn: şiruri convergente şi şiruri fundamentale, caracterizarea secvenţială a punctelor aderente, a punctelor de acumulare şi a mulţimilor închise.
Cursul 5. Mulţimi compacte în Rn: definiţia noţiunii de mulţime compactă, exemple de mulţimi compacte în Rn, teorema de caracterizare a mulţimilor compacte din Rn.
Cursul 6. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia limitei, caracterizarea secvenţială a limitei, operaţii cu funcţii care au limită. Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia continuităţii într-un punct, caracterizarea secvenţială a continuităţii, operaţii cu funcţii continue, teorema lui Weierstrass.
Cursul 7. Calcul diferenţial în Rn: aplicaţii liniare şi norma acestora, derivata unei funcţii vectoriale de variabilă reală, teorema de medie pentru funcţii vectoriale de variabilă reală.
Cursul 8. Calcul diferenţial în Rn: diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială (definiţia diferenţialei, continuitatea funcţiilor diferenţiabile, legătura dintre derivată şi diferenţială în cazul funcţiilor vectoriale de variabilă reală).
Cursul 9. Calcul diferenţial în Rn: derivata după o direcţie a unei funcţii vectoriale de variabilă vectorială şi legătura ei cu diferenţiala, derivate parţiale şi legătura lor cu diferenţiala.
Cursul 10. Calcul diferenţial în Rn: operaţii cu funcţii diferenţiabile, diferenţiabilitatea compusei, diferenţiabilitatea inversei.
Cursul 11. Calcul diferenţial în Rn: teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială. Funcţii de clasă C1, difeomorfisme de clasă C1.
Cursul 12. Calcul diferenţial în Rn: teorema difeomorfismului local, funcţii implicite de clasă C1, teorema funcţiei implicite.
Cursul 13. Calcul diferenţial în Rn: extreme condiţionate, regula multiplicatorilor lui Lagrange, derivate parţiale de ordinul doi, teoremele lui Schwarz şi Young referitoare la egalitatea derivatelor mixte, diferenţiala a doua.
Cursul 14. Calcul diferenţial în Rn: condiţii necesare şi condiţii suficiente de extrem, derivate parţiale de ordin superior, diferenţiale de ordin superior, formula lui Taylor.

Seminarul 1. Integrale Riemann: diferite metode de calcul al integralelor Riemann.
Seminarul 2. Integrale improprii: diferite metode de calcul al integralelor improprii.
Seminarul 3. Integrale improprii: calculul unor integrale improprii remarcabile şi studiul convergenţei unor integrale improprii.
Seminarul 4. Spaţiul euclidian Rn: probleme referitoare la spaţiul euclidian Rn.
Seminarul 5. Mulţimi compacte în Rn: probleme referitoare la mulţimi compacte în Rn.
Seminarul 6. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială, continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.
Seminarul 7. Aplicaţii liniare şi norma acestora: calculul normelor unor aplicaţii liniare concrete.
Seminarul 8. Derivate după direcţii, derivate parţiale şi diferenţiale: se vor calcula derivatele după direcţii, derivatele parţiale şi diferenţialele unor funcţii concrete.
Seminarul 9. Diferenţiale: se va studia diferenţiabilitatea unor funcţii concrete.
Seminarul 10. Operaţii cu funcţii diferenţiabile.
Seminarul 11. Teoreme de medie pentru funcţii de variabilă vectorială.
Seminarul 12. Difeomorfisme şi funcţii implicite: aplicarea rezultatelor de la curs în situaţii concrete.
Seminarul 13. Extreme condiţionate, derivate parţiale de ordinal doi: aplicarea rezultatelor de la curs în situaţii concrete.
Seminarul 14. Extreme  libere şi extreme condiţionate, derivate parţiale de ordin superior: determinarea punctelor de extrem local al funcţiilor reale de variabilă vectorială, determinarea derivatelor parţiale de ordin superior.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Se va da o lucrare scrisă, acoperind aproximativ jumătate din materia de la curs şi seminar. Prezenţa la această lucrare este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS1). In sesiune se va mai da o lucrare scrisă, acoperind cealaltă jumătate din materia de la curs şi seminar. Şi la această lucrare prezenţa este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS2). Nota finală de la scris va fi
NF=(NS1+NS2)/2.
In cazul în care studentul doreşte modificarea acestei note, el poate susţine şi o probă orală, la care va primi o notă între 1 şi 10 (NO). In acest caz nota finală va fi
NF=(NS1+NS2)/4+NO/2.
In nota finală se va ţine seama şi de participarea activă a studenţilor la seminarii.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Setul de probleme al titularului de curs. Acesta poate fi obţinut trimiţând un e-mail pe adresa ttrif@math.ubbcluj.ro. In e-mail studentul va preciza formatul în care doreşte să primească problemele (formatele disponibile sunt pdf şi ps).
2. DE SOUZA P. N., SILVA J.-N.: Berkeley Problems in Mathematics. Springer, 1998.
3. KACZOR W. J., NOWAK M. T.: Problems in Mathematical Analysis III: Integration. American Mathematical Society, 2003.
4. KEDLAYA K. S., POONEN B., VAKIL R.: The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985 – 2000. Problems, Solutions, and Commentary. The Mathematical Association of America, 2002.
5. RĂDULESCU S., RĂDULESCU M.: Teoreme şi probleme de analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.	

	Decan,							Sef de catedra,
	Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon			Conf. dr. BREAZ Simion

	Data,							Titular curs,
	29.9.2009						Conf. dr.  TRIF Tiberiu Vasile