Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML1003	Categorii şi algebră omologică	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
3	2+2+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
MODOI George Ciprian	Dr.	Lect.	Algebră	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Introducerea notiunilor de (co)homologie relative la diferite structuri (spatii triangulate, grupuri, algebra Lie). 
Expunerea principalelor rezultate referitoare la homologia complexelor.
Introducerea notiunilor de categorie, functor si transformare naturala, precum si prezentarea unor proprietati de baza referitoare la aceste notiuni.
Definirea functorilor derivati cu ajutorul (co)rezolutiilor si studiul unor dimensiuni omologice.   	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Multimi simpliciale si spatii triangulate. Motivatia topologica a algebrei homologice. 
2. Homologie si cohomologie. Complexe, morfisme de complexe si omotopia complexelor.
3. Exemple de homologie si cohomologie.  
4. Categorii si functori. 
5. Functori derivati si dimensiuni omologice.	

V. Bibliografie
[GM] S.I. Gelfand,Yu.I. Manin, Methods of Homological Algebra, Springer-Verlag 1998.
[HS] P. Hilton, U. Stammbach, A Course in Homological Algebra, Springer-Verlag 1971.
[S] B. Stenstrom, Rings of Quotients, Springer-Verlag, 1975.
[W] C. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994. 	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Saptamana 1: Multimi simpliciale. Spatii triangulate. Aplicatii de multimi simpliciale. [GM, 1.1, 1.2].
Saptamana 2: Spatii topologice. Fascicule. [GM, 1.3, 1.5].
Saptamana 3: Complexe si morfisme de complexe. Homotopia complexelor. [GM, 1.7], [W, 1.1, 1.2].
Saptamana 4: Sisteme de coeficienti. Sirul lung exact al homologiei [GM, 1.6], [W, 1.3]. 
Saptamana 5: (Co)Homologia grupurilor. Homologie Hochschild si ciclica. [HS, 6.1, 6.2], [W, 6.1, 6.2, 9.1]. 
Saptamana 6: Cohomologia algebrelor Lie.[HS, 7.1, 7.2], [W, 7.1, 7.2, 7.4]
Saptamana 7: Categorii. Limite si colimite. [HS, 2.1], [W, A.1, A.5], [S, 1.4, 4.8].
Saptamana 8: Functori si transformari naturale. [HS, 2.4], [S, 1.4], [W, A.2, A.3].
Saptamana 9: Echivalente de categorii. [GM, 2.2], [S, 4.1].
Saptamana 10: Functori adjuncti. [HS, 2.7], [S, 4.9], [W, A.6].
Saptamana 11: Categorii aditive si abeliene. [GM, 2.5], [HS, 2.9], [S, 4.4], [W, A.4].
Saptamana 12: Rezolutii si corezolutii. Functori derivati. [W, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5].
Saptamana 13: Functorii Ext si Tor. [W, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4].
Saptamana 14: Dimensiuni omologice. [W, 4.1, 4.2].   	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea insotita de demonstratii, conversatia euristica, modelarea ideala, descoperirea dirijata inductiva si deductiva, proiecte de cercetare individuala sau de grup, studiu individual, teme notate. 	

VIII. Evaluare
Activitatea va fi finalizata cu un examen scris (E), un proiect (P) si cu media notarii continue a temelor (M). Subiectul de examen va contine intrebari teoretice si practice (probleme) din intreaga tematica studiata. Subiectul proiectului poate fi unul teoretic (aditional in raport cu tematica studiata), sau un exercitiu mai complex (de exemplu anumite calcule care implica folosirea tehnicii de calcul si a unui software  matematic) si se stabileste in comun de catre cadru didactic si fiecare student.  Nota finala (N) este media ponderata a celor trei note mentionate mai sus, conditionata de faptul ca toate cele trei sa fi cel putin 5, altfel examenul fiind considerat nepromovat. Formula de calcul a notei finale este:
N= 50%E + 25%P + 25%M.      	

IX. Bibliografie suplimentară
[CE] H. Cartan, S. Eilenberg - Homological Algebra, Princeton University Press, 1956.
[L] J. L. Loday - Cyclic Homology, Springer-Verlag 1992.
[M] S. MacLane - Homology, Springer-Verlag 1963.
[N] D.G. Northcott, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1960. 	

Decan,							Sef Catedra,
	Prof. Dr. TAMBULEA Leon			Conf. Dr. BREAZ Simion

Data, 							Titular curs,
	4.03.2009						Lect. Dr. MODOI George Ciprian