Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MML0001	Algebra 1 (Algebră liniară)	

Semester	Stunden: C+S+L	Kategorie	Status	
1	2+2+0	Grundkurs	verpflichtend	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
MODOI George Ciprian	Dr.	Lect.	Algebră	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
Die lineare Algebra ist ein Gebiet welches die Beschreibung der Gegebenheiten aus der Natur und Technik ermöglicht. Ziel der Vorlesung ist die Bereitstellung der Methoden und Kenntnisse um Phänomene aus der Physik, Technik, Wirtschaft u.v.m. zu modellieren, zu analysieren und entsprechende Probleme zu lösen.

•	Grundlegende Begriffe der linearen Algebra mit Beispiele aus der Physik, Technik, Mechanik u.v.m.
•	Matrizenrechnung
•	Lösen linearer Gleichungssysteme
•	Eigenwerte und Eigenvektoren
•	Skalarprodukte, Orthogonalisierungsverfahren

IV. Inhalte der Disziplin
I. Kapitel: Vektorräume
   1. Vektorräume und lineare Abbildungen. Unterräume.
   2. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit. 
   3. Basisergänzungssatz (Steinitz). 
   4. Dimension. Dimensionsformeln.  
   5. Universalitätseigenschaft der Vektorräume 
   6. Die Matrix einer linearen Abbildung. Eigenschaften.  
   7. Basiswechsel.    
II. Kapitel. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME.
   1. Lineare Gleichungssysteme.  
   2. Determinanten; Induktive Definition.  
   3. Rang einer Matrix.  
   4. Invertierbare Matrizen.   
   5. Lösen linearer Gleichungssysteme. Die Sätze von Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche. 
   6. Algorithmische lineare Algebra. 
III. Kapitel. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
   1. Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Satz von Hamilton-Cayley. 
   2. Eigenräume. Diagonalisierbare Matrizen; Matrizen in Dreiecksform. 
   3. Jordansche Normalform.  
IV. Kapitel. BILINEARFORMEN
   1. Bilinearformen.  
   2. Positiv (semi)definite Formen.  
   3. Das Gesetz von Sylvester.    
   4. Skalarprodukt. Unitäre und euklidische Räume. Gram-Schmidtsches orthogonalisierungs Verfahren. 
   5. Adjunkte einer linearen Abbildung. Unitäare, hermitesche und antihermitesche Matrizen. 
   6. Normale Matrizen und Spektralsätze.  

V. Pflichtliteratur
1. I. PURDEA, I. POP, Algebra, Editura GIL, Zalau, 2003.
2. G. CALUGAREANU, Lectii de algebra liniara, Litografiat Univ. Babes-Bolyai, 1995. 
3. I.D. ION, N. RADU, Algebra (ed.4), Editura Didactica si Pedagogica, 1990. 
4. N. BOURBAKI, Algebre, chap. 1-3, Ed. Hermann, Paris 1970.
5. I.V. PROSKURIAKOV: Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow 1978.
6. S. CRIVEI: Basic Abstract Algebra, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca 2002.
7. A. MARCUS: Algebra [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]
8. S. AXLER: Linear algebra done right. Springer-Verlag, New York, 1997.
9. P. GABRIEL: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin   1996.
10. I. PURDEA, C. PELEA, Probleme de algebra, EFES Cluj-Napoca 2005.

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
I. Kapitel: Vektorräume
   1. Vektorräume und lineare Abbildungen. Unterräume. Beispiele. (2 SWS Vorlesung + 2 SWS Übung) 
   2. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit. (1+1)
   3. Basisergänzungssatz (Steinitz). (1+1)
   4. Dimension. Dimensionsformeln.  (1+1)
   5. Universalitätseigenschaft der Vektorräume (1+1)
   6. Die Matrix einer linearen Abbildung. Eigenschaften.  (1+1)
   7. Basiswechsel.    (1+1)
Cap. II. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME.
   1. Lineare Gleichungssysteme.  (1+1)
   2. Determinanten; Induktive Definition.  (1+1)
   3. Rang einer Matrix.  (1+1)
   4. Invertierbare Matrizen.   (1+1)
   5. Lösen linearer Gleichungssysteme. Die Sätze von Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche. (2+2)
   6. Algorithmische lineare Algebra.  Gauss Algorithmus. (2+2)
Cap. III. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN
   1. Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Satz von Hamilton-Cayley. (1+1)
   2. Eigenräume. Diagonalisierbare Matrizen; Matrizen in Dreiecksform. (1+1)
   3. Jordansche Normalform.  (3+3)
Cap. IV. BILINEARFORMEN
   1. Bilinearformen.  (1+1)
   2. Positiv (semi)definite Formen.  (1+1)
   3. Das Gesetz von Sylvester.    (1+1)
   4. Skalarprodukt. Unitäre und euklidische Räume. Gram-Schmidtsches orthogonalisierungs Verfahren. (1+1)
   5. Adjunkte einer linearen Abbildung. Unitäare, hermitesche und antihermitesche Matrizen. (1+1)
   6. Normale Matrizen und Spektralsätze.  (2+2)

In den Übungen werden Aufgaben gelöst, um die in der Vorlesung gelesenen Begriffe und Ergebnisse zu vertiefen, zu verstehen und anwenden zu können.

VII. Didaktische Methoden
Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Entdeckungsmethode	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
In der Mitte und am Ende des Semesters wird je eine Kontrollarbeit geschrieben, um festzustellen, ob die Studierenden fähig sind Aufgaben mit den Methoden der Linearen Algebra selbständig zu lösen. Diejenigen Studierenden, die beide Kontrollarbeiten geschrieben haben, können sich im Juni  zu einer schriftlichen Prüfung stellen, um nachzuweisen, dass sie den in den Vorlesungen behandelten Stoff beherrschen. Die Gesamtnote für die Disziplin Analysis 2 wird aufgrund dieser Leistungen nach der Formel G := (K1 + K2)/4 + S/2 berechnet, wobei K1 und K2 die in den Kontrollarbeiten und Sdie in der mündlichen Prüfung erzielten Noten bezeichnen.
     Studierende, die ihre Gesamtnote verbessern möchten oder im Juni keine schriftliche Prüfung abgelegt haben, können sich im Herbst  zu einer schriftlichen Prüfung stellen. In der schriftlichen Prüfung müssen, wie bei den Kontrollarbeiten, Aufgaben gelöst werden. Es werden auch theoretische Inhalte aus der Vorlesung geprüft. Die Gesamtnote für die Disziplin Lineare Algebra ist die in der schriftlichen Prüfung erzielte Note. 

IX. Zusatzliteratur
Klaus Jänich, Lineare Algebra,  Springer, 1981
Lothar Gerritzen, Grundbegriffe der Algebra, Vieweg, 1994	

		Dekan,						Lehrstuhlleiter,
Prof. Dr. Leon Tambulea                                                     Conf. Dr. Simion Breaz

	Datum,						Verantwortliche Lehrkraft,
3. März 2009							Lect. Dr.  MODOI George Ciprian