Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MML0001	Algebra 1 (Algebră liniară) (Lineáris algebra)	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
1	2+2+0	fundamentala	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
SZANTO Csaba	Dr.	Lect.	Algebră	*	*	-	

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	C	S	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja egyrészt a már gimnáziumban megismert algebrai alapfogalmak átismétlése, másrészt a lineáris algebra alapjainak elsajátítása. A szemináriumok célja az előadáson bemutatott fogalmak begyakorlása explicit példákon, gyakorlófeladatokon keresztül, nagy hangsúlyt fektetve a diákok önálló munkájára. A bemutatott anyag elsajátítása mellett a diákok átfogó képet kaphatnak precíz, absztrakt matematikai levezetések metodikájáról is. 	

IV. A tantárgy tartalma
Az első néhány előadás az ismert algebrai struktúrák (csoportok, gyűrűk, testek,polinomok) alaptulajdonságait tekinti át. A további előadások a lineáris algebra klasszikus fejezeteit követik. Előbb a lineáris algebra alapfogalmai (vektortér, bázis, lineáris függvény és mátrixa, báziscsere) és ezek alaptulajdonságai kerülnek bemutatásra.  Ezután következnek a különféle mátrixalkalmazások (determinánsok, mátrix rangja és ezek kiszámolása, mátrix invertálása, lineáris egyenletrendszerek és ezek megoldása), nagy hangsúlyt fektetve az algoritmikus módszerekre. A következő fejezet célja a mátrixok kanonikus alakjainak (trianguláris, diagonális, Jordan-féle normálalak) bemutatása a sajátérték, sajátvektor fogalmának bevezetésével. Az utolsó fejezetben bemutatásra kerülnek a biliniáris és kvadratikus alakok, illetve a segítségükkel felépíthető unitér és euklidészi terek. Szó lesz a kvadratikus formák kanonikus alakra hozásáról (Gauss-Lagrange illetve ortogonális transzformációk módszerével), ortogonális bázisok szerkesztéséről euklidészi terekben (Gram-Schmidt módszerével), ortogonális mátrixokról és izometriákról, normális mátrixokról és spektráltételekről.	

V. Könyvészet
1. MARCUS A.: Algebra [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. Fejezet. ALAPFOGALMAK.
        1. Csoport. Részcsoport. Csoportmorfizmus. Permutaciók. 
                        (2 óra előadás, 2 óra szeminárium) [1, 1.2. fejezet]
        2. Gyűrű, test. Polinomok. (2+2) [1, 1.3.1, 1.4.1. fejezet]

2. Fejezet. Vektorterek
   1. Vektorterek. Lineáris függvények. Részterek (2  + 2 )  [1, 1.5. fejezet]
   2. Lineáris függőség és függetlenség. (1+1) [1, 2.1.1. fejezet]
   3. Steinitz tétele. Dimenzió.   (1+1) [1, 2.1.2., 2.1.4. fejezet]
   4. Vektorterek univerzális tulajdonsága  (1+1) [1, 2.1.3 fejezet]
   5. Lineáris függvény mátrixa  (1+1) [1, 2.1.5. fejezet]
   6. Báziscsere.    (1+1)  [1, 2.1.6. fejezet]

3. Fejezet. Lineáris egyenletrendszerek.
   1. Lineáris egyenletrendszerek. (1+1)  [1, 2.3.1 fejezet]
   2. Determinansok  (1+1) [1, 2.2.2. fejezet]
   3. Mátrix rangja. Invertálható mátrixok.   (1+1) [1, 2.2.3, 2.2.4, fejezet]
   4. Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche tételei. (2+2) [1, 2.3.2. fejezet]
   5. Algoritmikus módszerek. (2+2)  [1, 2.3.3 fejezet]

4. Fejezet. Sajátértékek és sajátvektorok
   1. Sajátértékek és sajátvektorok. Hamilton-Cayley-tétel. (1+1)  [1, 2.4.1 fejezet]
   2. Sajátrészterek. Diagonalizálható mátrixok. (1+1)  [1, 2.4.2. fejezet]
   3. Jordan-féle normálalak.  (2+2)  [1, 2.4.3, 2.4.4. fejezet]

5. Fejezet. Bilineáris és kvadratikus alakok 
   1. Bilineáris és kvadratikus alakok. (1+1) [1, 2.5.1 fejezet]
   2. Valós alakok. Sylvester-tétel.     (1+1) [1, 2.5.2, 2.5.3 fejezet]
   3. Unitér és euklideszi terek. Gram-Schmidt ortogonalizálás. (1+1) [1, 2.6.2-2.6.3 fejezet]
   4. Lineáris függvény adjungáltja. Unitér és hermitikus mátrixok. (1+1) [1, 2.6.4 fejezet]
   5. Normális mátrixok és spektral tételek.  (2+2) [1, 2.6.5 fejezet]

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Előadás, feladat, egyéni munka, párbeszéd. Irányított felfedezésre épülő tanítás/tanulás, prezentációk.	

VIII. Értékelés
A félév felénél sor kerül egy zárthelyi dolgozatra, mely majd  a végleges jegy 20%-át teszi ki.
A zárthelyi szándékos kihagyása kizárja a vizsgán való részvételt.
Szemináriumon önállóan, helyesen megoldott feladat 0,2-vel emeli a végleges jegyet.
A vizsga írásbeli. 	

IX. Kiegészíto könyvészet
1. Fried E.: Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
2. Halmos P.:   Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest  1984.
3. I.D. ION, N. RADU, Algebra (ed.4), Editura Didactica si Pedagogica, 1990. 
4. I.V. PROSKURIAKOV: Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow 1978.
5. S. AXLER: Linear algebra done right. Springer-Verlag, New York, 1997.
6. N. BOURBAKI, Algebre, chap. 1-3, Ed. Hermann, Paris 1970.
7. P. GABRIEL: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin   1996.	

Dátum,						                       Eloadás felelose,
2008.10.06						                       Conf. Dr. Szántó Csaba

DECAN,                                                                                            SEF DE CATEDRA,
Prof.dr. Leon Tâmbulea                                                                  Conf. dr. Simion Breaz