Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Aplicată
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMC1004	Procese liniare de aproximare	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
3	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
AGRATINI Octavian	Dr.	Prof.	Matematica Aplicata	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
	Însuşirea tehnicilor de construcţie a operatorilor liniari de aproximare, 
	cunoaşterea şi utilizarea unor metode moderne de aproximare a funcţiilor	

IV. Conţinutul disciplinei
1.	Metode probabilistice de generare a operatorilor liniari şi pozitivi
2.	Semigrupuri de operatori
3.	Metode de sumare
4.	Teoreme de tip Korovkin
5.	Module de netezime şi K-funcţionale
6.	Analiză de rezoluţie multiplă
7.	Descompunerea şi reconstrucţia semnalelor	

V. Bibliografie
1.	Agratini, O., Operatori de aproximare, UBB, Cluj-Napoca, 1998, pp. 201.
2.	Agratini, O., Aproximare prin operatori liniari, Presa Universitară Clujeană, 
Cluj-Napoca, 2000, pp. 354.
3.	Stancu, D.D., Coman, Gh., Agratini, O., Trîmbiţaş, R., Analiză numerică şi teoria 
aproximării, Vol.I, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2001, pp. 414.
4.	Agratini, O., Chiorean, I., Coman, Gh., Trîmbiţaş, R., Analiză numerică şi teoria
	aproximării, Vol. III, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2002, pp. 552.
5.	Agratini, O., Blaga, P., Coman, Gh., Lectures on Wavelets, Numerical Methods 
and Statistics, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2005, pp. 196.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
•	Curs 1  Operatori liniari şi pozitivi: definiţii, proprietăţi. Norma unui operator liniar şi continuu. Convexitate de ordin p în sens T. Popoviciu.
				Reper în bibliografia obligatorie [2, Cap.1]
Seminar  Spaţii de funcţii şi proprietăţile lor caracteristice. Inegalităţi în spaţii normate.

•	Curs 2  Modulul de continuitate: definiţie, proprietăţi.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.1, § 1.2-1.3]
Seminar  Polinoamele fundamentale Bernstein. Operatorii Bernstein şi proprietăţile lor.

•	Curs 3  Teoremele Bohman-Korovkin. Teoreme de evaluare a erorii determinată de aproximarea unei funcţii cu un operator liniar şi pozitiv.
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.6, § 6.1]
Seminar  Generalizări ale operatorilor Bernstein. Constanta Sikkema. 

•	Curs 4  K-funcţionale: definiţii, proprietăţi. Estimări pentru operatori liniari şi pozitivi cu ajutorul modulului Totik-Ditzian.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.1, § 1.4]
Seminar  Şiruri de operatori de tip discret: Szasz, Baskakov. Proprietăţi.
Tema Referat 1  Polinoame Laguerre într-un proces de aproximare.

•	Curs 5  Generalizări integrale ale operatorilor de tip discret. Operatorii Kantorovich şi operatorii Durrmeyer; proprietăţi.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.2, § 2.6-2.7]
Seminar  Produs de convoluţie, proprietăţi. Operatori de convoluţie.

•	Curs 6  Teorema Toeplitz. Metode de sumare: Cesaro, Euler, Hausdorff, Jakimovski, Meir-Sharma.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.3, § 3.6]
	Seminar  Combinaţii liniare de operatori pozitivi. Exemple
	Tema referat 2  Polinoame de tip binomial şi aplicaţii.

•	Curs 7  Scheme aleatoare. Aplicaţii la construirea operatorilor de aproximare. Operatori de tip Feller.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.4, § 4.1-4.2]
	Seminar  Formule de tip Voronovskaja. 
	O oră rezervată unei lucrări scrise.

•	Curs 8  Studiul probabilistic al proprietăţilor operatorilor liniari. 
				Reper în bibliografia obligatorie [3; Cap.6, § 6.4]
	Seminar  Operatorii Stancu generaţi de schema probabilistică Markov-Polya.
	Tema referat 3  Operatori liniari cu proprietatea variaţiei diminuate.

•	Curs 9  Aproximare în spaţiile periodice , .
				Reper în bibliografia obligatorie [5; Cap.1, § 1.2]
	Seminar  Transformări Fourier în  şi . Formule şi proprietăţi ale 
	operatorului liniar .

•	Curs 10  Funcţii fereastră. Transformata Fourier cu fereastră glisantă şi formulele Gabor.
				Reper în bibliografia obligatorie [5; Cap.1, § 1.2]
	Seminar  Exemple de ferestre: calculul centrului şi a razei.
	Tema referat 4  Filtre şi funcţii de transfer.

•	Curs 11  Noţiunea de wavelet. Tehnica aproximării semnalelor prin analiză wavelet.
				Reper în bibliografia obligatorie [4; Cap.21, § 21.9]
	Seminar  Sistemul Haar – Exemplu de funcţie wavelet ortogonală.

•	Curs 12  Analiză de rezoluţie multiplă (MRA) pe .
	Seminar  Funcţii B-spline: prezentare, proprietăţi, utilizarea acestora în 	construirea unei (MRA).
				Reper în bibliografia obligatorie [4 ; Cap.21, § 21.10]

•	Curs 13  Operatori liniari invarianţi la translaţii.
				Reper în bibliografia obligatorie [2; Cap.3]
	Seminar  Operatori liniari generaţi de o funcţie de scalare. Caz discret şi caz 	integral.
	Tema referat 5  Aproximarea prin funcţii radiale.

•	Curs 14  Transformări wavelet: descompunerea şi reconstrucţia semnalelor.
				Reper în bibliografia obligatorie [4; Cap.21; § 11]
	Seminar  Variante de transformări wavelet integrale. Formule de reconstrucţie.	

VII. Metode didactice folosite
conversaţia, problematizarea, prelegerea interactivă, lansare de teme de cercetare pentru clasele de operatori prezentaţi, coordonarea unor referate solicitate studenţilor	

VIII. Evaluare
Nota finală este o medie ponderată între:
	- nota obţinută la examenul scris;
	- nota acordată pentru participarea activă la seminarii
	- nota acordată pentru prezentarea referatelor din timpul semestrului şi/sau
	  nota de la lucrarea de verificare de pe parcursul semestrului.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Altomare, F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and its Applications, de Gruyter Series Studies in Mathematics, Vol.17, Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York, 1994.
2.	Anastassiou, G.A., Gal, S.G., Approximation Theory. Moduli of Continuity and Global Smoothness Preservation, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 2000.
3.	Debnath, L., Wavelet Transforms and Their Applications, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 2002.
4.	Gasquet, C., Witomski, P., Analyse de Fourier et applications, Masson, Paris, 1990.
5.	Gavrea, I., Aproximarea funcţiilor prin operatori liniari, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2001.
6.	Păltănea, R., Approximation by linear positive operators: estimates with second order moduli, Editura Universităţii Transilvania, Braşov, 2003.
7.	Stănăşilă, O., Analiza matematică a semnalelor şi undinelor, Matrix Rom, Bucureşti, 1997.	

         Data  1 octombrie, 2009          
                                                                                        
                  Şef de Catedră,                                                               Titular curs,
             Prof. Dr. AGRATINI Octavian	                            Prof. Dr.  AGRATINI Octavian