Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMC0001	KOMPLEX ANALIZÍS	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
3	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr. 	Prof.	Teoria Funcţiilor	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja alapismeretek elsajátítása az egyváltozós komplex függvények elméletében, ugyanakkor ezen elméleti tudnivalók egyes alkalmazásainak bemutatása. A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
(a) a komplex sík topológiájához kapcsolódó alapfogalmak ismerete
(b) a holomorf függvények elméletének megértése, a komplex integrálok és a holomorf függvények hatványsorba való fejtésének ismerete
(c) ismerje a komplex integrálok kiszámítását, és ezeket alkalmazza valós integrálok kiszámításánál és valós analízisben
(d) a komplex analízis egyes sajátos módszereinek elsajátítása, a matematika más szakterületein való alkalmazási lehetőségekkel, illetve fizikában és technikában.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Komplex számok. A kiterjesztett komplex számsík. A sztereografikus projekció. (1 előadás)
2. Holomorf függvények. Komplex függvény deriváltja. Cauchy-Riemann feltételek. A derivált geometriai interpretációja. Egész függvények. A lineáris törttranszformáció. Alkalmazások. (3 előadás)
3. Komplex függvények integrálása. Cauchy integrál. Cauchy integráltétele. Cauchy képletei. (3 előadás)
4. Holomorf függvényekből alkotott sorozatok és sorok. Holomorf függvényekből alkotott sorozatok. Weierstrass tétele. Hatványsorok. Holomorf függvények analitikussága. Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele. Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Laurent-sorok. Szinguláris pontok. Meromorf függvények. (4 előadás)
5. A reziduumok tétele. Alkalmazások. (3 előadás)	

V. Könyvészet
1. Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004.
2. Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002.
3. Hamburg, Petre – Mocanu, Petru – Negoescu, Nicolae : Analiză matematică (Funcţii complexe), Bucureşti: Editura Didactică şi Pedagogică, 1982.
4. Mocanu, Petru : Funcţii complexe, Cluj-Napoca, Lit. Univ. Cluj, 1972.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. előadás
Komplex számok. A komplex számtest, a komplex sík. A komplex sík metrikus-topológikus szerkezete. Komplex függvény, határérték, folytonosság. A kiterjesztett komplex számsík. A sztereografikus projekció.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 1-14 oldal

1. szeminárium
Komplex számok. Komplex függvény, határérték, folytonosság.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 1-29 oldal

2-dik előadás
Holomorf függvények. Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény R-differenciálja. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 23-32 oldal

2-dik szeminárium
Valós változójú komplex függvények deriválása. Komplex függvény deriváltja: Cauchy-Riemann feltételek.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 29-40 oldal

3-dik előadás
Holomorf függvények. A derivált geometriai interpretációja. Egész függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 33-44 oldal

3-dik szeminárium
Egész függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 40-56 oldal

4-dik előadás
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 44-56 oldal

4-dik szeminárium
A lineáris törttranszformáció. Többértékű függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 57-79 oldal

5-dik előadás
Komplex függvények integrálása. Az utak homotópikus elmélete.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 65-73 oldal

5-dik szeminárium
Komplex függvények integrálása.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 79-95 oldal

6-dik előadás
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 81-94 oldal

6-dik szeminárium
A komplex integrál. Cauchy integráltétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 96-116 oldal

7-dik előadás
Cauchy képletei a korongra. A Cauchy képletei néhány következménye.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 94-108 oldal

7-dik szeminárium
Cauchy képletei a korongra. Alkalmazások.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 116-132 oldal

8-dik előadás
Holomorf függvényekből alkotott sorozatok: Weierstrass tétele. Függvénysorok. Hatványsorok.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 121-129 oldal

8-dik szeminárium
Hatványsorok.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 133-157 oldal

9-dik előadás
Holomorf függvények analitikussága. Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 129-135 oldal

9-dik szeminárium
Holomorf függvények zérushelyei. A holomorf függvények identitási tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 180-190 oldal

10-dik előadás
Holomorf függvények modulusának maximuma tétele. Laurent-sorok.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 135-145 oldal

10-dik szeminárium
Laurent-sorok.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 157-174 oldal

11-dik előadás
Izolált szinguláris pontok. Meromorf függvények.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 145-154 oldal

11-dik szeminárium
Izolált szinguláris pontok.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 174-180 oldal

12-dik előadás
A reziduumok tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 163-167 oldal

12-dik szeminárium
A reziduumok tétele.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 191-228 oldal

13-dik előadás
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 167-174 oldal

13-dik szeminárium
A reziduumok tételének alkalmazása trigonometrikus és néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 228-246 oldal

14-dik előadás
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Németh, Sándor : Komplex Analízis, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2004, 174-182 oldal

14-dik szeminárium
A reziduumok tételének alkalmazása néhány improprius integrálok kiszámítására.
Könyvészet: Bulboacă, Teodor – Salamon, Júlia : Komplex Analízis II. Feladatok és megoldások, Kolozsvár, Ábel Kiadó, 2002, 246-262 oldal	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 9, 10, vagy 11-es változatait. Ez a program alkalmazható a konformis leképezések megjelenítésére, hatványsorokba való fejtésére, a reziduumok és a komplex integrálok kiszámítására.	

VIII. Értékelés
Az egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
(a) félévenként három felmérő dolgozat írása, az alábbiak szerint:
- az első felmérő az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a második felmérő a 2-dik, 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a harmadik felmérő a 4-dik és 5-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(b) írásbeli vizsga, a következő összetételben: 60% feladat megoldási készség és 40% elméleti ismeretek
(c) Szóbeli vizsga az elméleti ismeretekből.
A végső jegy az (a), (b) és (c) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.	

IX. Kiegészíto könyvészet
A következő könyvészeti anyag, megtalálható a Matematika - Informatika kar könyvtárában:
1. Călugăreanu, Gheorghe : Elemente de teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1963.
2. Conway, J. B. : Functions of one complex variable II, Graduate Texts in Mathematics, 159, New York, Springer Verlag, 1996.
3. Gaşpar, Dumitru – Suciu, Nicolae : Analiză complexă, Bucureşti, Editura Academiei Române, 1999.
5. Krantz, Steven : Handbook of complex variables, Boston, Basel, Berlin: Birkhauser Verlag, 1999.
6. Mayer, Octav : Teoria funcţiilor de o variabilă complexă (vol. I, II), Bucureşti, Editura Academiei Române, 1981-1990.
7. Mocanu, Petru – Kohr, Gabriela : Capitole speciale de analiză complexă, Cluj-Napoca, Presa Universitară Clujeană, 2005.
8. Stoilov, Simion : Teoria funcţiilor de o variabilă complexă (vol. I, II), Bucureşti, Editura Academiei Române, 1954-1958.	

	Dékán,						Tanszékvezeto,

	Dátum, 03.03.2009						Eloadás felelose,
								Prof. Dr. BULBOACA Teodor