Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică Didactică
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1016	Teme de analiză matematică I (pentru perfecţionarea profesorilor)	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
1	2+2+0	Specialitate	Obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
Prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
POPOVICI Nicolae	Dr.	Conf.	Analiză şi Optimizare	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unor teme speciale referitoare la şirurile şi seriile de numere reale, precum şi la unele clase importante de funcţii care apar în analiza matematică.	

IV. Conţinutul disciplinei
- Şiruri: limitele inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe axa reală completată si legătura lor cu existenţa limitei, mulţimea punctelor limită ale unui şir, teoremele lui Kronecker şi Dirichlet privind aproximarea numerelor reale prin numere raţionale; şiruri definite prin recurenţe liniare sau neliniare; teorema lui Toeplitz şi aplicaţii ale acesteia (teoremele lui Stolz-Cesaro şi Cauchy).
- Serii de numere reale: teoremele lui Cauchy şi Riemann referitoare la permutarea termenilor unei serii absolut convergente, respectiv semiconvergente; teoremele lui Abel, Cauchy şi Mertens cu privire la produsul a doua serii.
- Funcţii semicontinue: caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea.
- Funcţii uniform continue între spaţii normate: caracterizarea continuităţii uniforme cu ajutorul şirurilor, legătura funcţiilor uniform continue cu alte clase importante de funcţii (funcţii Lipschitz continue şi funcţii Hölder continue).
- Functii cu proprietatea lui Darboux şi funcţii primitivabile. Funcţii riglate.
- Funcţii convexe de una sau mai multe variabile: caracterizări ale funcţiilor convexe şi proprietăţi de regularitate ale acestora; generalizari ale notiunii de convexitate; stabilirea unor inegalitati remarcabile.	

V. Bibliografie
1. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Probleme de analiză convexă în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.
2. BRECKNER W., TRIF T.: Convex Functions and Related Functional Equations. Selected Topics. Presa Universitară Clujeană, 2008.
3. COBZAŞ, Şt.: Analiză matematică (Calcul diferenţial). Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997.
4. MEGAN, M.: Bazele analizei matematice. Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998.
5. NICULESCU, C.P., PERSSON L.-E.: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach. Springer, 2006.
6. ROBERTS, A.W., VARBERG, D.E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.
7. RUDIN, W.: Principles of Mathematical Analysis. 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964.
8. SIREŢCHI, GH.: Calcul diferenţial şi integral. Vol. 1: Noţiuni fundamentale. Vol. 2: Exerciţii, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.
9. TRIF, T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Şiruri pe axa reală completată: definiţia limitelor inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe axa reală completată, caracterizări ale acestora, legătura limitelor inferioară şi superioară cu existenţa limitei, mulţimea punctelor limită ale unui şir.
Cursul 2. Şiruri recurente: soluţia generală a recurenţei liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi, soluţia generală a recurenţei liniare de ordinul întâi cu coeficienţi variabili, studiul unor clase speciale de recurenţe neliniare.
Cursul 3. Teorema lui Toeplitz şi aplicaţii ale acesteia (teoremele lui Stolz-Cesaro şi Cauchy).
Cursurile 4 şi 5. Teme speciale referitoare la seriile de numere reale: teoremele lui Cauchy şi Riemann referitoare la permutarea termenilor unei serii absolut convergente, respectiv semiconvergente; teoremele lui Abel, Cauchy şi Mertens cu privire la produsul a două serii.
Cursul 6. Funcţii semicontinue: definiţia funcţiilor inferior şi superior semicontinue, caracterizarea semicontinuităţii cu ajutorul şirurilor, limitele inferioară şi superioară ale unei funcţii într-un punct şi legătura lor cu semicontinuitatea.
Cursul 7. Funcţii uniform continue între spaţii normate: definiţia funcţiilor uniform continue, caracterizarea continuităţii uniforme cu ajutorul şirurilor, legătura funcţiilor uniform continue cu alte clase importante de funcţii (funcţii Lipschitz, funcţii Hölder), operaţii cu funcţii uniform continue.
Cursul 8. Funcţii cu proprietatea lui Darboux şi funcţii primitivabile.
Cursul 9. Funcţii riglate: clase de funcţii riglate (funcţii continue, monotone, cu variaţie mărginită), mărginirea funcţiilor riglate şi mulţimea punctelor lor de discontinuitate (teorema lui Froda).
Cursul 10. Funcţii convexe de o variabilă reală: definiţia modernă a convexităţii, caracterizări ale funcţiilor convexe şi proprietăţi de regularitate ale acestora (derivabilitate laterală, continuitate, lipschitzianeitate).
Cursul 11. Caracterizarea funcţiilor convexe de o variabilă folosind existenţa dreptei suport, derivatele laterale de ordinul întâi şi derivata a doua.
Cursurile 12 şi 13. Funcţii convexe de mai multe variabile reale: caracterizarea acestora cu ajutorul epigraficului şi a subgradienţilor; legătura dintre diferenţiabilitatea funcţiilor convexe şi derivabilitatea lor laterală, caracterizări ale funcţiilor convexe diferenţiabile şi respectiv de două ori diferenţiabile.
Cursul 14. Extinderi ale noţiunii de funcţie convexă; clase speciale de funcţii generalizat convexe.

Seminarul 1. Determinarea punctelor limită şi studiul convergenţei unor şiruri de numere reale.
Seminarul 2. Teoremele lui Kronecker şi Jacobi, exemple de şiruri având mulţimea punctelor limită un interval.
Seminarul 3. Studiul unor şiruri definite prin recurenţe liniare sau neliniare.
Seminarul 4. Aplicaţii ale teoremelor lui Toeplitz şi Stolz-Cesaro.
Seminarul 5. Studiul unor serii particulare de numere reale.
Seminarul 6. Formula lui Wallis şi formula lui Stirling.
Seminarul 7. Studiul semicontinuităţii unor funcţii; condiţii suficiente de continuitate a unor funcţii semicontinue.
Seminarul 8. Studiul uniform continuităţii unor funcţii.
Seminarul 9. Integrabilitatea Riemann a funcţiilor riglate; recapitularea unor criterii de integrabilitate Riemann.
Seminariile 10 şi 11. Studiul convexităţii unor funcţii reale de o variablă reală şi a unor funcţii reale de mai multe variabile reale.
Seminariile 12 şi 13. Stabilirea unor inegalităţi utilizând convexitatea unor funcţii. Medii şi inegalităţi între ele.
Seminarul 14. Studiul unor clase speciale de funcţii generalizat convexe.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Evaluare continuă (20% din nota finală), examen scris şi oral (80% din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. BORWEIN, J.M., LEWIS, A.S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer, 2000.
2. BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
3. RĂDULESCU S., RĂDULESCU M.: Teoreme şi probleme de analiză matematică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.	

	Data,							Titular curs,
02.03.2009						Conf. dr. POPOVICI Nicolae

	Decan,							Şef de catedră,
	Prof. univ. dr. ŢÂMBULEA Leon			Prof. univ. dr. COBZAŞ Ştefan