Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematică Computaţională - în limba maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMC0002	Teoria geometrică a funcţiilor analitice	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
5	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
BULBOACA Teodor	Dr.	Prof.	Teoria Funcţiilor	*	*		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	C	S	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja mélyebb ismeretek elsajátítása az egyváltozós komplex függvények elméletében, 
fontosabb egyrétű függvényosztályok bemutatásával, amelyeket nevezetes mértani tulajdonságokra alapozva értelmezünk. Ezen ismeretek alkalmazása a konformis leképezések témakörében.
A tantárgy tanulása során elsajátítandó készségek:
(a) a mértani tulajdonságok alapján értelmezett analitikus függvényosztályok ismeretének szükségessége és fontossága
(b) tudja meghatározni, hogy egy bizonyos függvény melyik alosztályhoz tartozik, ismerje a deformáció, a csillagszerűségi és konvexitási sugár kiszámítási eljárását
(c) a differenciál alárendelések elméletének ismerete, illetve a komplex síkbeli difeomorfizmus elégséges feltételeit tudja meghatározni
(d) annak felfedezése, hogy különleges módszerekkel nehéz feladatok is könnyen megoldhatóak.	

IV. A tantárgy tartalma
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Egyrétű függvények. Klasszikus eredmények. (6 óra elöadás + 6 óra szeminárium)
- A terület tétele. Lefedési tétel az S függvényosztályra nézve (Koebe, Bieberbach). Lefedési tétel a  függvényosztályra nézve.
- Deformáció tétel (Koebe, Bieberbach). Az S függvényosztály kompaktsága. Bieberbach sejtése.

2. Analitikus függvények pozitív valós résszel. Alárendelés. (6 óra elöadás + 4 óra szeminárium + 2 óra felmérő)
- Integrál reprezentáció. Herglotz képlete. Herglotz tételei.
- Stiltjes integrálreprezentációk. Carathéodory tétele.
- Korlátozási tételek olyan holomorf függvényekre, amelyeknek valós részük pozitív.
- Alárendelések; Lindelöf alárendelési elve. Sakaguchi-féle lemma.

3. Speciális egyrétű függvényosztályok. (12 óra elöadás + 12 óra szeminárium)
- Csillagszerű függvények. Csillagszerűségi sugár. Korlátozási tétel az -ban levő függvények együtthatóira nézve. Az  függvényhalmaz struktúraképlete.
- Konvex függvények. Alexander dualitás-tétele. A K osztály kompaktsága. Konvexitási sugár.
- Alfa-konvex függvények. Az alpha-konvex függvények csillagszerűségi tétele. Dualitási tétel az alpha-konvex függvényekre nézve. Alpha-konvexitási sugár. Korlátozási tételek (Miller).
- Majdnemkonvex függvények. Noshiro, Warschawski és Wolff egyrétűségi kritériuma. Ozaki és Kaplan egyrétűségi kritériuma. A majdnemkonvex függvényosztály jellemzési tétele (Kaplan). Kívülről elérhető lineáris tartományok.
- Tipikusan valós függvények. A tipikusan valós függvényosztály jellemzési tétele. Dualitás-tétel. Korlátozási tétel az  osztályban levő függvények együtthatóira vonatkozóan. Következmény (Aksentiev). Egyrétűségi feltételek meromorf függvények esetében. Aksentiev tétele. Csillagszerűségi és konvexitási feltételek meromorf függvények esetében.

4. Diffeomorfizmus feltételek a komplex síkban. (4 óra elöadás + 2 óra szeminárium+ 2 óra felmérő)
-  osztályú, általánosított spirális függvények. Általános tételek, sajátos esetek.
- Nemanalitikus alfa-konvex függvények. Segédtételek. Nemanalitikus alpha-konvex függvények csillagszerűségi tétele. Példák.
-  osztályú függvények és refrakció elve.	

V. Könyvészet
1. Bulboacă, Teodor – Mocanu, Petru : Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Editura Abel, Cluj-Napoca, 2003.
2. Mocanu, Petru – Bulboacă, Teodor – Sălăgean, Gr. Ştefan : Teoria geometrică a funcţiilor univalente, ediţia a II-a, Editura „Casa Cărţii de Ştiinţă”, Cluj-Napoca, 2006.	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
A tantárgy keretein belül tárgyalt témakörök:
1. Egyrétű függvények. Klasszikus eredmények. (6 óra elöadás + 6 óra szeminárium)
- A terület tétele. Lefedési tétel az S függvényosztályra nézve (Koebe, Bieberbach). Lefedési tétel a  függvényosztályra nézve.
- Deformáció tétel (Koebe, Bieberbach). Az S függvényosztály kompaktsága. Bieberbach sejtése.

2. Analitikus függvények pozitív valós résszel. Alárendelés. (6 óra elöadás + 4 óra szeminárium + 2 óra felmérő)
- Integrál reprezentáció. Herglotz képlete. Herglotz tételei.
- Stiltjes integrálreprezentációk. Carathéodory tétele.
- Korlátozási tételek olyan holomorf függvényekre, amelyeknek valós részük pozitív.
- Alárendelések; Lindelöf alárendelési elve. Sakaguchi-féle lemma.

3. Speciális egyrétű függvényosztályok. (12 óra elöadás + 12 óra szeminárium)
- Csillagszerű függvények. Csillagszerűségi sugár. Korlátozási tétel az -ban levő függvények együtthatóira nézve. Az  függvényhalmaz struktúraképlete.
- Konvex függvények. Alexander dualitás-tétele. A K osztály kompaktsága. Konvexitási sugár.
- Alfa-konvex függvények. Az alpha-konvex függvények csillagszerűségi tétele. Dualitási tétel az alpha-konvex függvényekre nézve. Alpha-konvexitási sugár. Korlátozási tételek (Miller).
- Majdnemkonvex függvények. Noshiro, Warschawski és Wolff egyrétűségi kritériuma. Ozaki és Kaplan egyrétűségi kritériuma. A majdnemkonvex függvényosztály jellemzési tétele (Kaplan). Kívülről elérhető lineáris tartományok.
- Tipikusan valós függvények. A tipikusan valós függvényosztály jellemzési tétele. Dualitás-tétel. Korlátozási tétel az  osztályban levő függvények együtthatóira vonatkozóan. Következmény (Aksentiev). Egyrétűségi feltételek meromorf függvények esetében. Aksentiev tétele. Csillagszerűségi és konvexitási feltételek meromorf függvények esetében.

4. Diffeomorfizmus feltételek a komplex síkban. (4 óra elöadás + 2 óra szeminárium+ 2 óra felmérő)
-  osztályú, általánosított spirális függvények. Általános tételek, sajátos esetek.
- Nemanalitikus alfa-konvex függvények. Segédtételek. Nemanalitikus alpha-konvex függvények csillagszerűségi tétele. Példák.
-  osztályú függvények és refrakció elve.	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Azon diákok, akik mélyebb ismereteket szeretnének szerezni egy hasznos matematikai software alkalmazásában, opcionálisan választhatják a MAPLE program 9, 10, vagy 11-es változatait. Ez a program alkalmazható a konformis leképezések megjelenítésére, kiemelve a tanulmányozott függvények mértani tulajdonságait.	

VIII. Értékelés
A egyetemisták értékelése az alábbi módon történik:
(a) félévenként két felmérő dolgozat írása, az alábbiak szerint:
- az első felmérő az 1. és 2-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
- a második felmérő a 3-dik és 4-dik fejezetbeli feladatokat foglalja magában
(b) írásbeli vizsga, a következő összetételben: 40% feladat megoldási készség és 60% elméleti ismeretek.
A végső jegy az (a) és (b) alpontoknál elért jegyek számtani középarányosa.

A szemináriumokon való jelenlét kötelező. A vizsgán való resztvétel feltétele az, hogy a diák a két felmérőből legalább egyen megjelenjen.
Az írásbeli dolgozatnál a diákok nem használhatnak semmiféle segédanyagot.
A felmérők eredményeinek közzététele a felmérő dolgozat megírásától számítva egy héten belül történik, a megfellebbezett felmérők újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik. Az írásbeli vizsga eredményét a dolgozatok kijavítása után ugyan azon a napon közöljük, a megfellebbezett dolgozat újraértékelése személyesen a diákkal közösen történik.
Észlelt kihágások esetén, az illető felmérő dolgozat nem érvényes. Az írásbeli vizsgán észlelt kihágások esetén, a vizsga nem érvényes.	

IX. Kiegészíto könyvészet
A következő könyvészeti anyag, megtalálható a Matematika - Informatika kar könyvtárában:
1. Bulboacă, Teodor : Differential subordinations and superordinations. New Results, Editura „Casa Cărţii de Ştiinţă”, Cluj-Napoca, 2005.
2. Goluzin, G. M. : Geometric theory of functions of a complex variable, Trans. Math. Mon., Amer. Math. Soc., 1969.
3. Goodman, A. W. : Univalent functions (vol. I, II), Mariner Publishing Co., Tampa, 1983.
4. Graham, Ian – Kohr, Gabriela : Geometric function theory in one and higher dimensions, M. Dekker, 2003.
5. Duren, P. L. : Univalent functions, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984.
6. Mocanu, Petru – Miller, S. Sanford : Differential Subordinations. Theory and Applications, M. Dekker, 2000.	

	Dátum, 03.03.2009					Eloadás felelose,
								Prof. Dr. BULBOACA Teodor