Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1009	Funcţii complexe de mai multe variabile	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
4	2+2+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
KOHR Gabriela	Dr.	Prof.	Teoria Funcţiilor	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
• Introducerea şi aprofundarea unor rezultate fundamentale din teoria funcţiilor de mai multe variabile 
complexe. Introducerea în anumite capitole speciale din teoria geometricã a  funcţiilor de mai multe 
variabile complexe.  
• Crearea de condiţii permisive studiului individual al studentului.
• Implicarea studenţilor în activitatea de cercetare ştiinţifică. 	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. Proprietãţi generale.
2. Aplicaţii olomorfe. Proprietãţi generale. Aplicaţii local biolomorfe şi aplicaţii biolomorfe. 
Automorfisme ale domeniilor mãrginite în Cⁿ.
3. Funcţii pluriarmonice şi funcţii plurisubarmonice.
4. Prelungire olomorfã. Domenii de olomorfie. Olomorf convexitate. Proprietãţi generale.
5. Domenii pseudoconvexe. Pseudoconvexitate în sens Hartogs. Pseudoconvexitate în sens Levi. 
Proprietãţi generale. 
6. Subclase speciale de aplicaţii biolomorfe pe bila unitate în spaţiul n-dimensional complex: aplicaţii 
stelate, aplicaţii convexe şi aplicaţii care admit reprezentare parametricã. 
7. Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã în Cⁿ. Ecuatia generalizata Loewner 
pe bila unitate. Aplicaţii.	

V. Bibliografie
1. Kohr, G., Basic Topics in Holomorphic Functions of Several Complex Variables, Cluj University 
Press, Cluj-Napoca, 2003.
2. Graham, I., Kohr, G., Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions, Marcel 
Dekker Inc, New York, 2003.
3. Scheidemann, V., Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Birkhäuser Verlag, Basel-
Boston-Berlin, 2005.
4. Gunning, R.C., Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol.I. Function Theory, 
Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey, CA, 1990.
5. Hörmander, L., An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Second Edition. North-
Holland Publ. Co., Amsterdam-London, 1973.
6. Chabat, B., Introduction à l’Analyse Complexe, vol. II, Edition MIR, Moscou, 1990. 
7. Krantz, S.G., Function Theory of Several Complex Variables, Reprint of the 1992 Edition, AMS 
Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 2001. 
8. Narasimhan, R., Several Complex Variables, The University of Chicago Press, Chicago, 1971.
9. Range, M., Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables 
Springer-Verlag, New York, 1986.
10. Rudin, W., Function Theory in the Unit Ball of Cⁿ, Springer-Verlag, New York, 1980.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs.
Sãpt. 1. 
Spaţiul Euclidean complex. Funcţii olomorfe. Definiţii echivalente ale noţiunii de olomorfie. Condiţiile Cauchy-Riemann generalizate. Reprezentarea integralã a funcţiilor olomorfe pe polidisc. Serii de puteri.  
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [4, Cap. A, B], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1]. 

Sãpt. 2.
Teorema maximului modulului. Frontiera Shilov. Lema lui Schwarz. Teorema identitãţii funcţiilor olomorfe. Teorema de conservare a domeniului. Alte proprietãţi ale funcţiilor olomorfe. 
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [4, Cap. A], [6, Cap. 1], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1], [5-Bibliografie supl., Cap. 1].

Sãpt. 3.
Şiruri şi serii de funcţii olomorfe. Convergenţa uniformã pe compacte. Teoremele lui Weierstrass, Montel, Vitali şi Hurwitz. Mulţimi de unicitate pentru funcţii olomorfe. Exemple. Structura topologicã şi metricã a spaţiului H(Ω).  
[1, Cap. 1], [3, Cap. 1], [8, Cap. 1], [9, Cap. 1], [5-Bibliografie supl., Cap. 1].

Sãpt. 4. 
Aplicaţii olomorfe. Proprietãţi generale. Principiul maximului pentru aplicaţii olomorfe. Aplicaţii local biolomorfe şi aplicaţii biolomorfe. Echivalenţa dintre noţiunile de univalenţã şi biolomorfie în Cⁿ.  
[1, Cap. 2], [3, Cap. 3], [9, Cap. 1], [7, Cap. 11]. 

Sãpt. 5. 
Neechivalenţa biolomorfã dintre bila unitate euclidianã şi polidiscul unitate în Cⁿ, n≥2. Teoremele de unicitate ale lui Cartan. Exemplul lui Fatou.  
[1, Cap. 2], [3, Cap. 3], [8, Cap. 5], [6, Cap. 1], [9, Cap. 2].
Sãpt. 6. 
Automorfismele bilei unitate euclidiene. Automorfismele polidiscului unitate. 
[1, Cap. 2], [8, Cap. 5], [7, Cap. 11], [3, Cap. 3], [10, Cap. 2]. 

Sãpt. 7.
Domenii de olomorfie. Proprietãţi generale. Olomorf convexitate. Echivalenţa dintre cele douã noţiuni. 
[1, Cap. 3], [3, Cap. 7], [4, Cap. G], [6, Cap. 3], [8, Cap. 7], [9, Cap. 2], [5-Bibliografie supl., Cap. 2].

Sãpt. 8. 
Domenii pseudoconvexe. Pseudoconvexitate în sens Hartogs. Proprietãţi generale.
[1, Cap. 3], [4, Cap. M], [6, Cap. 3], [7, Cap. 3], [9, Cap. 2].

Sãpt. 9. 
Pseudoconvexitate în sens Levi. Proprietãţi generale.  
[1, Cap. 3], [4, Cap. R], [6, Cap. 3], [9, Cap. 2], [7, Cap. 3], [5-Bibliografie supl., Cap. 3]. 

Sãpt. 10.
Generalizarea clasei lui Carathéodory la cazul n-dimensional complex. Compactitatea clasei M. Subordonare. Aplicaţii ale principiului subordonãrii. 
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6].  

Sãpt. 11.
Aplicaţii stelate. Caracterizare analiticã pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate. Teoreme de deformare şi acoperire. Estimãri ale coeficienţilor. Exemple de aplicaţii stelate pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6,7], [2-Bibliografie supl., Cap. 3,4], [4-Bibliografie supl., Cap. 1, 3, 6]. 

Sãpt. 12. 
Aplicaţii convexe. Caracterizare analiticã pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate. Teoreme de deformare şi acoperire. Estimãri ale coeficienţilor. Exemple de aplicaţii convexe pe bila unitate euclidianã şi pe polidiscul unitate.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6,7], [2-Bibliografie supl., Cap. 3,4], [4-Bibliografie supl., Cap. 2, 4, 6]. 

Sãpt. 13. 
Introducere în teoria lanţurilor de subordonare diferenţialã în Cⁿ. Ecuaţia diferenţialã Loewner generalizatã pe bila unitate în Cⁿ. Aplicaţii.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 8, 11], [3-Bibliografie supl., Cap. 2]. 

Sãpt. 14. 
Aplicaţii biolomorfe care au reprezentare parametricã pe bila unitate în Cⁿ. Scufundarea aplicaţiilor care au reprezentare parametricã în lanţuri de subordonare diferenţialã. Exemple.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 8, 11], [3-Bibliografie supl., Cap. 2]. 

Seminar.
Sãpt 1.
Proprietãţi generale ale funcţiilor olomorfe de mai multe variabile complexe. Aplicaţii ale formulelor lui Cauchy pe polidisc. 
[1, Cap. 1], [4, Cap. A], [6, Cap. 1], [9, Cap. 1]. 

Sãpt. 2.
Aplicaţii ale teoremei maximului modulului şi lemei lui Schwarz pentru funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. Frontierele Shilov ale bilei unitate euclidiene şi polidiscului unitate.  
[1, Cap. 1], [4, Cap. A], [6, Cap. 1], [9, Cap. 1]. 

Sãpt. 3.
Funcţii armonice şi funcţii pluriarmonice. Proprietãţi generale. 
[8, Cap. 3], [4, Cap. K], [7, Cap. 2], [4, Cap. 3].

Sãpt. 4.
Funcţii subarmonice şi funcţii plurisubarmonice. Proprietãţi generale. 
[1, Cap. 3], [4, Cap. J, K,Q], [7, Cap. 2], [8, Cap. 3], [9, Cap. 2]. 

Sãpt. 5.
Teoremele lui Hartogs şi Forelli. Aplicaţii. 
[1, Cap. 1], [5, Cap. 1], [6, Cap. 1]. 

Sãpt. 6. 
Automorfisme ale domeniilor mãrginite în Cⁿ.  
[1, Cap. 2], [8, Cap. 5], [6, Cap. 1]. 

Sãpt. 7. 
Prelungire olomorfã. Teorema lui Hartogs. Singularitãţile funcţiilor olomorfe în Cⁿ, n≥2. Exemple. 
[1, Cap. 3], [3, Cap. 2, 4], [4, Cap. D], [5, Cap. 2], [6, Cap. 3], [8, Cap. 4]. 

Sãpt. 8. 
Teorema lui Hurwitz pentru aplicaţii biolomorfe. Convexitatea domeniilor mãrginite în Cⁿ cu frontiera de clasã C².   
[1, Apendix E], [8, Cap. 5], [7, Cap. 3]. 

Seminar 9. 
Domenii Reinhardt olomorf convexe. Exemple.
[3, Cap. 7], [7, Cap. 2].

Sãpt. 10. 
Soluţia problemei lui Levi pentru domenii tubulare. 
[1, Cap. 3], [7, Cap. 3], [5, Cap. 2]. 

Sãpt.11.
Cazul n-dimensional complex al lemei lui Jack-Miller-Mocanu. Aplicaţii în teoria subordonãrilor diferenţiale în Cⁿ. 
[2-Bibliografie supl., Cap. 2], [3-Bilbiografie supl., Cap.2].

Sãpt. 12. 
Condiţii suficiente de stelaritate pentru aplicaţii local biolomorfe. Operatorul lui Roper şi Suffridge. 
[2, Cap. 6, 11], [2-Bibliografie supl., Cap. 3].

Sãpt. 13. 
Condiţii suficiente de convexitate pentru aplicaţii local biolomorfe. Aplicaţii stelate de ordinul α pe bila unitate euclidianã. Legãtura dintre aplicaţiile convexe şi aplicaţiile stelate de ordinul ½. 
[2, Cap. 6], [2-Bibliografie supl., Cap. 3].

Sãpt. 14. 
Criterii de univalenţã obţinute prin metoda lanţurilor de subordonare diferenţialã. Caracterizarea stelariãţii şi a spiralitãţii de tipul α prin intermediul lanţurilor de subordonare diferenţialã. 
[2, Cap. 8], [3-Bibliografie supl., Cap. 3]. 	

VII. Metode didactice folosite
• Prelegerea interactivã, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative. 
• Exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse. 
•Lansarea unor teme ca aplicaţii ale rezultatelor teoretice expuse şi prezentarea lor la seminar. 
• Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor. 	

VIII. Evaluare
Nota finalã se constituie din: 
• Examen oral la final de semestru: 70%
• Evaluarea temelor/referatelor din timpul semestrului şi participarea activã la seminar: 30%  
Sunt valabile regulamentele oficiale ale universitãţii privind prezenţa studenţilor la activitãţile didactice. 	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Kaup, L., Kaup, B., Holomorphic Functions of Several Variables, Walter de Gruyter & Co., Berlin-
New York, 1983.
2. Kohr, G., Liczberski, P., Univalent Mappings of Several Complex Variables, Cluj University Press, 
Cluj-Napoca, 1998. 
3. Curt, P., Capitole Speciale de Teoria Geometricã a Funcţiilor de Mai Multe Variabile Complexe, Editura Albastrã, Cluj-Napoca, 2001.
4. Gong, S., Convex and Starlike Mappings in Several Complex Variables, Kluwer Acad. Publ., 
Dordrecht, 1998.
5. Della, Sala G., Saracco, A., Simioniuc, A., Tomassini, G., Lectures on Complex Analysis and 
Analytic Geometry, Lecture Notes. Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series), 3, Edizioni della 
Normale, Pisa, 2006.
6. D’Angelo, J.P., Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, Boca Raton, 1993. 
7. Grauert, H., Fritzsche, K., Several Complex Variables, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, 
Berlin, 1976. 
8. W. Ebeling, Functions of Several Complex Variables and Their Singularities, American Math. Soc. 
Providence, Rhode Island, 2007. 
9. Mujica, J., Complex Analysis in Banach Spaces. Holomorphic Functions and Domains of 
Holomorphy in Finite and Infinite Dimensions, North-Holland, Amsterdam, 1986. 
10. K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Spröβig, Holomorphic Functions in the Plane and n-Dimensional 
Space, Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2008.	

       Decan,                                                                                                        Şef de catedrã, 
 Prof. Dr. Leon Ţâmbulea                                                                         Prof. Dr. G. Sãlãgean
                                                              						    	
 Data, 3 Martie 2009						  Titular curs, Prof. Dr. KOHR Gabriela