Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematica
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA1004	Capitole speciale de analiză complexă	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
2	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
KOHR Gabriela	Dr.	Prof.	Teoria Funcţiilor	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
• Însuşirea şi aprofundarea unor noţiuni şi rezultate fundamentale din teoria funcţiilor de o variabilã 
complexã, precum şi prezentarea unor aplicaţii ale acestei teorii.
• Crearea de condiţii permisive studiului individual al studentului.
• Implicarea studenţilor în activitatea de cercetare ştiinţifică.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Teoria indexului. Ramuri uniforme. Aplicaţii. 
2. Studiul funcţiilor meromorfe cu ajutorul teoriei reziduurilor. 
3. Mulţimi de funcţii olomorfe. Normalitate şi compactitate în spaţiul funcţiilor olomorfe.
4. Funcţii univalente. Clasa S. Proprietãţi generale.
5. Reprezentarea conformă. Aplicaţii. 
6. Descompunerea funcţiilor intregi. Produse de factori canonici. Descompunerea funcţiilor 
meromorfe. Aplicaţii.  
7. Funcţii armonice şi funcţii subarmonice. Proprietãţi generale.	

V. Bibliografie
1. Kohr, G., Mocanu, P.T., Capitole Speciale de Analizã Complexã, Presa Universitarã Clujeanã, Cluj-
Napoca, 2005. 
2. Hamburg, P., Mocanu, P.T., Negoescu, N., Analiză Matematică (Funcţii complexe), Editura 
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.
3. Gaşpar, D., Suciu, N., Analiză Complexă, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1999.
4. Krantz, S., Handbook of Complex Variables, Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin, 1999.
5. Conway, J.B., Functions of One Complex Variable, vol. I, Graduate Texts in Mathematics, 159, 
Springer Verlag, New York, 1996.
6. Stein, E.M., Shakarchi, R., Complex Analysis, Princeton University Press, 2003. 
7. Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3nd ed., Mc. Graw-Hill, 1987.
8. Mayer, O., Teoria Funcţiilor de o Variabilă Complexă, Editura Academiei Române, Bucureşti, 
1981. 
9. Narasimhan, R., Nievergelt, Complex Analysis in One Variable, Second Edition, Birkhäuser, 1985. 
10. Popa, E., Introducere în Teoria Funcţiilor de o Variabilã Complexã, Editura Univ. A.I. Cuza, Iaşi, 
2001.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs.

Sãpt. 1. 
Ramuri uniforme. Teoremele ramurilor uniforme pentru aplicaţiile multivoce logaritm şi putere. 
Exemple de ramuri uniforme. Aplicaţii.
[1, Cap. 2], [2, Cap. 3], [3, Cap. 3], [1-Bibliografie supl., Cap. 1].

Sãpt. 2. 
Index. Proprietãţi generale. Teorema indexului. Formulele lui Cauchy pentru contururi. 
[1, Cap. 2], [2, Cap. 3], [3, Cap. 5], [4, Cap. 4], [9, cap. 3]. 

Sãpt. 3. 
Zerourile şi polii funcţiilor meromorfe. Teorema lui Cauchy relativã la zerourile şi polii funcţiilor meromorfe. Principiul variaţiei argumentului. Teorema lui Rouché. Aplicaţii: Teorema de invarianţã a domeniului şi Teorema lui Hurwitz.
[1, Cap. 2], [2, Cap. 5], [3, Cap. 4], [4, Cap. 5], [9, Cap. 3], [10, Cap. 6].

Sãpt. 4.
Structura topologicã şi metricã a spaţiului H(Ω). 
[1, Cap. Cap. 3], [3, Cap. 6], [5, Cap. 7]. 

Sãpt .5.
Mulţimi de funcţii olomorfe. Teoremele lui Montel şi Vitali. Aplicaţii.
[1, Cap. 3], [2, Cap. 6], [3, Cap. 6], [9, Cap. 1], [1-Bibliografie supl., Cap. 2]. 

Sãpt. 6. 
Funcţii univalente. Noţiuni şi rezultate generale. Aplicaţii.
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6], [3, Cap. 6]. 

Sãpt. 7.
Clasa S. Teoremele de acoperire şi deformare. Compactitatea clasei S. Teorema lui Bieberbach pentru coeficientul a_2. 
[1, Cap. 4], [7-Bibliografie supl., Cap. 1], [1-Bibliografie supl., Cap. 2]. 
Sãpt. 8. 
Reprezentarea conformã. Teorema lui Riemann. Raza conformã a domeniilor simplu conexe în C. Corespondenţa frontierelor. 
[1, Cap. 5], [2, Cap. 6], [3, Cap. 6], [4, Cap. 6], [10, Cap. 7], [8-Bibliografie supl., Cap. 7]. 

Sãpt. 9.
Automorfisele conforme ale discului unitate, semiplanului superior, planului complex C şi a planului complex extins C∞. Automorfisme conforme ale coroanelor circulare. 
[1, Cap. 5], [2, Cap. 6], [3, Cap. 6], [9, Cap. 7]. 

Sãpt. 10. 
Descompunerea funcţiilor meromorfe în serie Mittag-Leffler. Teorema lui Mittag-Leffler. Aplicaţii.
[1, Cap. 7], [9, Cap. 6], [1-Bibliografie supl, Cap. 3], [5, Cap. 8].

Sãpt .11. 
Produse infinite de numere complexe. Descompunerea funcţiilor întregi în produse de factori canonici. 
Teorema lui Weierstrass. Domenii de olomorfie.  
[1, Cap. 7], [3, Cap. 7], [5, Cap. 7], [10, Cap. 8], [1-Bibliografie supl., Cap. 4]. 

Sãpt. 12. 
Funcţii armonice. Proprietãţi generale. Principiul extremului pentru funcţii armonice. Formula integralã a lui Poisson şi Teorema lui Harnack. 
[1, Cap. 6], [3, Cap. 7], [9, Cap. 10], [1-Bibliografie supl., Cap. 4]. 

Sãpt. 13. 
Proprietatea valorii medii pentru funcţii armonice. Principiul simetriei lui Schwarz. Formula lui Poisson pentru funcţii olomorfe cu partea realã pozitivã.
[1, Cap. 6], [3, Cap. 7], [5, Cap. 10], [9, Cap. 10], [1-Bibliografie supl., Cap. 4]. 

Sãpt. 14.   
Funcţii subarmonice. Proprietãţi generale. Principiul maximului pentru funcţii subarmonice.  Proprietatea subvalorii medii pentru funcţii subarmonice. 
[1, Cap. 6], [5, Cap. 10], [9, Cap. 11], [1-Bibliografie supl., Cap. 4]. 

Seminar.

Sãpt. 1.
Aplicaţii ale teoremei reziduurilor.
[1, Cap. 2], [2, Cap. 5], [9, Cap. 3], [10, Cap. 5], [1-Bibliografie supl., Cap. 2],  [2-Bibliografie supl., Cap, 16].

Sãpt. 2. 
Calculul unor integrale reale definite cu ajutorul reziduurilor.
[2, Cap. 3], [4, Cap. 4], [10, Cap. 5], [1-Bibliografie supl., Cap. 2], [2-Bibliografie supl, Cap, 20]. 

Sãpt. 3.
Aplicaţii ale teoremei lui Cauchy relativã la zerourile şi polii funcţiilor meromorfe. 
[1, Cap. 2], [4, Cap. 5], [2-Bibliografie supl., Cap. 16], [9, Cap. 3], [10, Cap. 6].

Sãpt. 4. 
Aplicaţii ale teoremei lui Rouché la determinarea numãrului rãdãcinilor unor ecuaţii algebrice.
[1, Cap. 2], [2, Cap. 5], [2-Bibliografie supl., Cap. 16], [9, Cap. 5-Exerciţii], [10, Cap. 6].

Sãpt. 5. 
Aplicaţii ale teoremelor lui Montel şi Vitali. Compactitatea clasei lui Carathéodory. Probleme extremale.
[1, Cap. 3], [7-Bibliografie supl., Cap. 3].

Sãpt. 6.
Condiţii suficiente de univalenţã. Exemple de funcţii univalente. 
[1, Cap. 4], [2, Cap. 6], [2-Bibliografie supl. Cap. 18]. 

Sãpt. 7. 
Exemple de funcţii din clasa S. Aplicaţii ale teoremei de deformare. Metrica hiperbolicã pe discul unitate. Aplicaţii la obţinerea unei condiţii necesare şi suficiente de univalenţã pe discul unitate.
[1, Cap. 4], [7-Bibliografie supl., Cap. 1], [1-Bibliografie supl., Cap. 2], [2, Cap. 7]. 

Sãpt. 8. 
Exemple de reprezentãri conforme ale unor domenii simplu conexe în C. 
[1, Cap. 5], [2, Cap. 6], [3, Cap. 6], [10, Cap. 7], [2-Bibliografie supl., Cap. 19]. 

Sãpt. 9. 
Automorfisme ale unor domenii simplu conexe în C. 
[1, Cap. 5], [8-Bibliografie supl. Cap. 8]. 

Sãpt. 10. 
Dezvoltãri în serie Mittag-Leffler. 
[1, Cap. 7], [5, Cap. 8], [10, Cap. 8], [1-Bibliografie supl. Cap. 3].

Sãpt. 11. 
Descompuneri în produse de factori canonici. 
[1, Cap. 7], [5, Cap. 7], [10, Cap. 8], [1-Bibliografie supl. Cap. 4]. 

Sãpt. 12. 
Aplicaţii ale noţiunii de funcţie armonicã. Exemple de funcţii armonice. 
[1, Cap. 6], [3, Cap. 7], [5, Cap. 10], [9, Cap. 10], [1-Bibliografie supl. Cap. 4], [2-Bibliografie supl., Cap. 8].

Sãpt. 13. 
Funcţii armonice pe domenii simplu conexe în C. 
[1, Cap. 6], [3, Cap. 7], [9, Cap. 10], [1-Bibliografie supl. Cap. 4], [2-Bibliografie supl., Cap. 8].

Sãpt. 14. 
Aplicaţii ale noţiunii de funcţie subarmonicã. Exemple de funcţii subarmonice. 
[1, Cap. 6], [5, Cap. 10], [1-Bibliografie supl. Cap. 4]. 

VII. Metode didactice folosite
• Prelegerea interactivã, modelarea, demonstraţia, conversaţia. Prezentarea de explicaţii alternative. 
• Exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse. 
•Lansarea unor teme ca aplicaţii ale rezultatelor teoretice expuse şi prezentarea lor la seminar. 
• Rãspunsuri directe la întrebãrile studenţilor.	

VIII. Evaluare
Nota finalã se constituie din: 
• Examen oral la final de semestru: 70%
• Evaluarea temelor/referatelor din timpul semestrului şi participarea activã la seminar: 30%  
Sunt valabile regulamentele oficiale ale universitãţii privind prezenţa studenţilor la activitãţile 
didactice.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Berenstein, C.A., Gay, R., Complex Variables: An Introduction, Springer-Verlag New York, 1991. 
2. Ceauşu, T., Suciu, N., Funcţii Complexe. Probleme şi Exerciţii, Editura Mirton, Timişoara, 2001.
3. Ahlfors, L.V., Complex Analysis, 3rd. ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1979.
4. Gamelin, T.W., Complex Analysis, Springer-Verlag Berlin, New York, 2001. 
5. Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, I-III, Wiley Classical Library, J. Wiley & Sons, New York, 1993.
6. Bulboacã, T., Németh, S., Komplex Analizis, Editura Abel (Erdely Tankönyvtanács), Cluj-Napoca, 
2004.
7. Mocanu, P.T., Bulboacã, T., Sãlãgean, G., Teoria Geometricã a Funcţiilor Univalente, Casa Cãrţii de Ştiinţã, Cluj-Napoca, 1999. 
8. Remmert, R., Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, New York, 1991. 
9. Mocanu, G., Stoian, G., Vişinescu, E., Teoria Funcţiilor de o Variabilã Complexã. Culegere de Probleme, Editura Didacticã şi Pedagogicã, 1970.    
10. Moscowitz, A Course in Complex Analysis in One Variable, World Scientific Publ., Singapore, 
2002.	

	       Decan,                                                                                             Şef de catedrã, 
  Prof. Dr. Leon Ţâmbulea                                                                         Prof. Dr. G. Sãlãgean
                                                              						    	
Data,	3 Martie 2009						  Titular curs, Prof. Dr. KOHR Gabriela