Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematici aplicate
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0014	Optimizare vectorială	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
6	2+1+0+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
POPOVICI Nicolae	Dr. 	Conf.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unor concepte şi rezultate fundamentale din teoria optimizării vectoriale şi aplicarea acestora în studiul unor clase speciale de probleme de optimizare multicriterială.	

IV. Conţinutul disciplinei
- Elemente de analiză convexă pe spaţii liniare parţial ordonate în raport cu un con convex; dualul unui con convex; mulţimi con-convexe,  mulţimi simplu- sau complet-umbrite în raport cu un con; funcţii vectoriale con-convexe; funcţii vectoriale con-cvasiconvexe. 
- Formularea problemelor de optimizare vectorială; concepte de optimalitate a soluţiilor: eficienţă tare, slabă, proprie. 
- Scalarizarea problemelor de optimizare vectorială cu funcţii de scop con-convexe sau con-cvasiconvexe. 
- Condiţii necesare şi/sau suficiente pentru eficienţa soluţiilor problemelor de optimizare vectorială. 
- Structura geometrică şi topologică a mulţimilor eficiente; existenţa soluţiilor eficiente; conexitatea şi contractibilitatea mulţimilor eficiente; aproximarea soluţiilor eficiente. 
- Aplicaţii în studiul problemelor de optimizare multicriterială; probleme de cea mai buna aproximare în sens vectorial.	

V. Bibliografie
1. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Convexity and Optimization. An Introduction, EFES, Cluj-Napoca, 2006. 
2. EHRGOT, M.: Multicriteria Optimization. Springer, Berlin Heidelberg New York, 2005.
3. GOEPFERT, A., RIAHI, H., TAMMER, C., ZALINESCU, C.: Variational Methods in Partially Ordered Spaces. Springer-Verlag, New York, 2003.
4. JAHN, J.: Vector Optimization. Theory, Applications, and Extensions. Springer, Berlin, 2004.
5. LUC, D.T.: Theory of Vector Optimization. Springer Verlag, Berlin, 1989.
6. POPOVICI, N.: Optimizare vectoriala, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2005.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [3 - 6])
1.	Introducere în domeniul optimizării vectoriale; scurt istoric al teoriei optimizării multicriteriale şi al evoluţiei acesteia spre optimizarea vectorială, stadiul actual al cercetărilor în acest domeniu şi perspectivele de dezvoltare ale optimizării vectoriale. Relaţii de preordine; elemente maximale ale unei mulţimi în raport cu o relaţie de preferinţă indusă de o funcţie de scop; formularea generală a problemelor de optimizare. Relaţii de preordine liniare (compatibile cu operaţiile de adunare a vectorilor şi de înmulţire a vectorilor cu scalari).
2.	Conuri (convexe, ascuţite, generative, total-generative) şi caracterizări ale acestora; legătura dintre relaţiile de preordine liniare şi conurile convexe. Proprietăţi topologice ale conurilor; interiorul relativ şi aderenţa unui con convex; conuri închise; conuri cu interior nevid; conul polar al unei mulţimi; proprietăţi ale conului polar al unui con convex închis; conuri poliedrale.
3.	Concepte de eficienţă în optimizarea vectorială; puncte eficiente şi puncte slab-eficiente ale unei mulţimi în raport cu un con convex; soluţii eficiente şi soluţii slab-eficiente ale problemelor de optimizare vectorială cu funcţii de scop vectoriale (univoce sau multivoce). 
4.	Funcţii scalare (strict) monotone în raport cu o relaţie de preordine şi legătura dintre punctele de extrem ale unor astfel de funcţii şi punctele maximale ale unei mulţimi în raport cu relaţia de preordine considerată; monotonia (strictă) a funcţionalelor liniare şi a unor funcţii de tip distanţă; secţiuni conice ale unei mulţimi; existenţa punctelor eficiente şi a celor slab-eficiente. 
5.	Condiţii suficiente de eficienţă şi slab-eficienţă a punctelor unei mulţimi în raport cu un con convex;  mulţimi con-convexe; condiţii necesare pentru slab-eficienţa punctelor unei mulţimi con-convexe. Puncte propriu-eficiente.
6.	Funcţii con-convexe; caracterizări ale funcţiilor con-convexe (de tip Jensen; prin intermediul epigraficului generalizat; prin intermediul conului polar); proprietatea funcţiilor con-convexe de a transforma mulţimile convexe în mulţimi con-convexe.
7.	Funcţii con-cvasiconvexe; caracterizări ale funcţiilor con-cvasiconvexe (de tip Jensen; prin intermediul mulţimilor de nivel generalizate; prin intermediul direcţiilor extremale ale conului polar); legătura dintre con-convexitate şi con-cvasiconvexitate.
8.	Funcţii explicit con-cvasiconvexe şi funcţii lexicografic cvasiconvexe; caracterizări şi proprietăţi fundamentale ale acestor tipuri de funcţii; legătura dintre explicit con-convexitate, lexicografic cvasiconvexitate şi cvasiconvexitatea în raport cu anumite conuri.
9.	Metode de scalarizare a problemelor de optimizare vectorială; metoda coeficienţilor de importanţă (pentru scalarizarea problemelor de optimizare multicriteriale cu funcţii de scop convexe); metode parametrice (pentru scalarizarea problemelor de optimizare bicriteriale cu funcţii de scop cvasiconvexe, explicit cvasiconvexe, respectiv explicit cvasiafine).
10.	Structura geometrică şi topologică a frontierei unei mulţimi închise şi radiante în raport cu un con convex având interiorul nevid (omeomorfismul lui Bonnisseau-Cornet). Mulţimi simplu-umbrite şi mulţimi complet-umbrite în raport cu un con convex; caracterizări ale acestor tipuri de mulţimi; rolul acestora în studiul conexităţii şi a contractibilităţii mulţimii punctelor eficiente. 
11.	Reducerea numărului de criterii în optimizarea multicriterială; rolul lemei lui Helly în reducerea numărului de criterii în cazul problemelor de optimizare multicriterială cu funcţii de scop cvasiconvexe, respectiv convexe; reductibilitatea Pareto a problemelor de optimizare multicriteriterială cu funcţii de scop explicit cvasiconvexe sau lexicografic cvasiconvexe.
12.	Aproximarea punctelor (slab-)eficiente şi aplicaţii în rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare multicriterială; puncte aproximativ eficiente; şiruri eficiente şi legătura acestora cu şirurile minimizante asociate unor funcţii de scalarizare.

Seminarii: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [1-2] şi [6])
1.	Exerciţii privind interpretarea geometrică a relaţiilor de preferinţă induse de funcţiile de scop ale unor probleme de optimizare multicriterială, cum ar fi: problemele de locaţie de tip Fermat-Weber, problemele de alocare a resurselor cu mai multe pieţe de desfacere a produselor, ş.a. 
2.	Studiul unor conuri convexe particulare în spaţiul euclidian n-dimensional: conuri poliedrale generate de submulţimi ale bazei canonice, conul lexicografic, conuri de tip Phelps; caracterizarea relaţiilor de preordine induse de aceste conuri. 
3.	Rezolvarea unor exerciţii în care intervin conceptele de con polar, bază a unui con convex, interior (relativ) şi aderenţă a unui con convex, feţe şi direcţii extremale ale conurilor convexe.
4.	Exerciţii privind interpretarea geometrică a noţiunilor de eficienţă şi eficienţă slabă în plan şi spaţiu. Determinarea (prin intermediul reprezentărilor geometrice) a soluţiilor eficiente, respectiv slab-eficiente, a unor probleme concrete de optimizare multicriterială.
5.	Studiul monotoniei  şi a monotoniei stricte a unor funcţii scalare concrete în raport cu anumite conuri date, determinarea punctelor de extrem ale acestor funcţii şi stabilirea naturii acestora (eficienţa sau slab-eficienţa).    
6.	Demonstrarea unor condiţii necesare şi/sau suficiente de eficienţă şi slab-eficienţă în lipsa ipotezelor de convexitate. Ilustrarea acestora prin exemple în planul euclidian. 
7.	Stabilirea unor proprietăţi ale funcţiilor con-convexe; reprezentarea geometrică a imaginii unor mulţimi convexe (poliedrale sau nepoliedrale) prin diferite funcţii con-convexe concrete şi identificarea punctelor (slab-; propriu-)eficiente ale acestor mulţimi.
8.	Reprezentarea geometrică a mulţimilor de nivel ale unor funcţii con-cvasiconvexe concrete, precum şi a imaginii unor mulţimi convexe prin aceste funcţii; identificarea punctelor (slab-; propriu-) eficiente ale acestor mulţimi.
9.	Rezolvarea unor exerciţii care evidenţiază proprietăţi specifice ale unor funcţii explicit cvasiconvexe, respectiv lexicografic convexe, cum ar fi funcţiile pseudolineare (în particular fracţionar-liniare).
10.	Rezolvarea geometrică a unor probleme de optimizare multicriterială prin aplicarea metodei coeficienţilor de importanţă şi a metodei parametrice.
11.	Aplicarea metodei coeficienţilor de importanţă pentru rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare liniară bicriterială prin intermediul algoritmului Simplex.  
12.	Aplicarea metodei parametrice pentru rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare bicriterială (fracţionar-)liniară prin intermediul algoritmului Simplex.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, demonstraţia didactică, problematizarea, exerciţiul, învăţarea prin descoperire.	

VIII. Evaluare
Evaluare continuă (20% din nota finală), examen scris şi oral (80% din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. HILLERMEIER, C.: Nonlinear Multiobjective Optimization: A Generalized Homotopy Approach. Birkhäuser Verlag, Basel - Boston - Berlin, 2001.
2. SAWARAGI, Y., NAKAYAMA, H., TANINO, T.: Theory of Multiobjective Optimization. Academic Press, New York, 1985.
3. YU, P.L.: Multiple criteria decision making: concepts, techniques and extensions. Plenum Press, New York - London, 1985.	

	Data,							Titular curs,
	02.03.09						Conf. Dr.  POPOVICI Nicolae

	Decan,							Şef de catedră,
	Prof. univ. dr. ŢÂMBULEA Leon			Prof. univ. dr. COBZAŞ Ştefan