Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematici aplicate
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0009	Optimizare neliniară	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
6	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
MURESAN Marian	Dr.	Prof.	Analiză şi Optimizare	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Studiul teoretic al problemelor de optimizare neliniară cu sau fără restricţii şi familiarizarea studenţilor cu anumite metode numerice de rezolvare a unor probleme de programare neliniară, care apar în matematica aplicată.	

IV. Conţinutul disciplinei
 Elemente de analiză convexă pe spaţiul euclidian n-dimensional; proprietăţi ale punctelor de minim ale funcţiilor convexe şi generalizat convexe. Probleme de optimizare cu restricţii. Condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim. Teoreme de punct şa. Dualitatea problemelor de optimizare. 
 Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare neliniara: metode de localizare a punctelor de optim ale functiilor de o variabila reala, metode de coborare pentru probleme de optimizare fara restrictii, metoda functiilor de penalizare si metoda functiilor bariera pentru problemele de optimizare cu restrictii, alte metode specifice unor clase speciale de probleme de optimizare.	

V. Bibliografie
1. BOYD, S., VANDENBERGHE, L.: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
2. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in R^n. Casa Cartii de Stiinta,Cluj-Napoca, 2003.
3. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operaţională. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
4. BRECKNER, W. W.: Cercetare operaţională. Lito. Univ. "Babes-Bolyai", Cluj, 1981.
5. BRECKNER, W. W., Duca, D.: Culegere de probleme de cercetare operaţională. Lito. Univ. 
    "Babeş-Bolyai", Cluj, 1983.
6. JAHN, J.: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, Berlin, 1994.
7. MURESAN, M.: Optimizare neliniara, in preparare.
8. ROCKAFELLAR, R. T.: Fundamentals of Optimization, University of Washington, Seattle, WA, 2007
9. ŞTEFĂNESCU, A., ZIDĂROIU, C.: Cercetări operaţionale. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [4] şi [1])

1.  Introducere în domeniul optimizării neliniare; formularea generală a problemelor de optimizare;  caracterizarea soluţiilor optime prin intermediul mulţimilor de nivel; existenţa soluţiilor optime în ipoteze de semicontinuitate sau coercivitate a funcţiei de scop; unicitatea soluţiilor optime. 
2.  Funcţii (strict) convexe; caracterizarea funcţiilor convexe cu ajutorul epigraficului şi a epigraficului strict; teorema lui Jensen de caracterizare a funcţiilor (strict) convexe; proprietăţi ale mulţimilor de nivel ale funcţiilor convexe. 
3.  Continuitatea, derivabilitatea (laterală) după direcţii, subdiferenţiabilitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor convexe.
4.  Caracterizări ale convexităţii funcţiilor diferenţiabile şi a celor de două ori diferenţiabile; clase speciale de funcţii generalizat convexe: funcţii cvasiconvexe, funcţii pseudoconvexe.     
5.  Proprietăţi ale punctelor de optim ale funcţiilor convexe şi a celor generalizat convexe.     
6.  Teoreme de alternativă pentru sisteme de inecuaţii şi ecuaţii, definite prin intermediul unor funcţii convexe, respectiv afine; puncte şa ale funcţiilor concav-convexe.
7.  Probleme de optimizare cu restricţii; condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim de ordinul I. 
8.  Condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim de ordinul al II-lea.
9.  Probleme de optimizare convexă cu restricţii; condiţii necesare şi condiţii suficiente de optim în ipoteze de diferenţiabilitate sau în lipsa acestora.
10. Teoreme de punct şa pentru soluţiile optime ale problemelor de optimizare convexă cu restricţii.
11. Dualitatea problemelor de optimizare cu restricţii.
12. Metode numerice de rezolvare a unor probleme de optimizare cu sau fără restricţii; metode de optimizare unidimensională, metode de coborâre, metoda hiperplanelor de secţiune.  
13. Funcţii pseudolineare şi funcţii fracţionar-liniare; metode de rezolvare a problemelor de optimizare fracţionar-liniară.
14. Funcţii pătratice; metode de rezolvare a problemelor de optimizare pătratică.

Seminarii: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [3] şi [5])

1.  Exerciţii privind interpretarea geometrică a mulţimilor de nivel ale unor funcţii neliniare; rezolvarea geometrică a unor probleme de optimizare neliniară.   
2.  Stabilirea convexităţii unor funcţii concrete; exerciţii privind operaţiile care păstrează convexitatea funcţiilor. 
3.  Problema celei mai bune aproximări; existenţa şi unicitatea elementelor de cea mai bună aproximare şi caracterizarea acestora.  
4.  Studiul unor probleme de gestiune a stocurilor; determinarea strategiilor optime de gestiune.
5.  Exerciţii privind diferite clase de funcţii generalizat convexe. 
6.  Studiul unor probleme de locaţie de tip Fermat-Weber.
7.  Rezolvarea unor probleme de optimizare pe baza diferitelor condiţii necesare şi suficiente de optim de ordinul I sau de ordinul al II-lea.   
8.  Determinarea soluţiilor optime ale unor probleme de optimizare convexă cu restricţii pe baza teoremelor de punct şa.   
9.  Determinarea soluţiilor optime ale unor probleme de optimizare convexă cu restricţii pe baza teoremelor de dualitate.    
10. Rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare neliniară unidimensională.  
11. Rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare convexă fără restricţii. 
12. Rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare convexă cu restricţii.
13. Rezolvarea numerică a unor problemelor de optimizare fracţionar-liniară.
14. Rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare pătratică.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, demonstraţia didactică, problematizarea, exerciţiul, învăţarea prin descoperire. 	

VIII. Evaluare
Lucrare de control (40% din nota finală),  examen scris şi oral (60% din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. BOYD, S., VANDENBERGHE, L.: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 
2. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Convexity and Optimization : An Introduction. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
3. JAHN, J.: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. Springer, Berlin, 1994. 	

	        Decan,								Sef de catedra,

	Prof. dr. Leon  Tambulea					    Prof. dr. Stefan Cobzas	

		Data,								Titular curs,

    	      06.03.2009						Prof. Dr. MURESAN Marian