Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0008	Operations Research	

Semester	Stunden: V+S+L	Kategorie	Status	
6	2+2+0	Grundvorlesung	Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
BRECKNER Brigitte Erika	Dr.	Dozent	Analysis und Optimierung	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
     Die Vorlesung bietet eine Einführung in das Operations Research mit Schwerpunkt im Studium der (linearen und nichtlinearen) Optimierungsaufgaben. 	

IV. Inhalte der Disziplin
1.	Grundbegriffe des Operations Research. Mathematische Modellbildung. 
2.	Lineare Optimierung im Rn (Polyeder; der Begriff der linearen Optimierungsaufgabe; die graphische Methode zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben im  R2; Alternativsätze für lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme; lineare Optimierungsaufgaben in kanonischer Form; der Simplex-Algorithmus zur Lösung der linearen Optimierungsaufgaben in kanonischer Form; die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben; Spieltheorie).
3.	Konvexe Analysis im n-dimensionalen euklidischen Raum (konvexe Mengen; Kegel; Extremalpunkte konvexer Mengen; Extremalpunkte und Seiten von Polyedern; die Trennung der konvexen Mengen durch Hyperbenen; konvexe Funktionen; Eigenschaften konvexer Funktionen; spezielle Klassen von konvexen  Funktionen).
4.	Nichtlineare Optimierung im Rn (Minimalstellen konvexer Funktionen; das Problem der  
      Bestapproximation).	

V. Pflichtliteratur
1. BORGWARDT, K. H.: Optimierung, Operations Research, Spieltheorie. Birkhaeuser, Basel, 2001.
2. BRECKNER, B.E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere in optimizarea liniara. EFES, Cluj-Napoca, 2007.
3. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in Rn. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003.
4.  BRECKNER, B.E.,  POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operationala. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
5. BRECKNER, W.W.: Cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai", Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1981.
6. BRECKNER, W.W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operationala. Universitatea "Babes-Bolyai, Fac. de Matematica, Cluj-Napoca, 1983.
7. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einfuehrung in Operations Research.  Springer-Verlag, Berlin, 2005..
8. DOMSCHKE, W., DREXL, A., KLEIN, R., SCHOLL, A., VOSS, S.: Uebungen und Fallbeispiele zum Operations Research. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
Vorlesungen: Als begleitende Literatur werden hauptsächlich [2] und [5] verwendet.

1.	Einführung in das Operations Research. (Grundlegende Begriffe im Operations Research; die Etappen eines Planungsprozesses im Operations Research; mathematische Modelle:  Beispiele für konkrete Probleme aus der Praxis, die zu Optimierungsaufgaben führen;  die wichtigsten Kapitel des Operations Research).
2.	Lineare Optimierung im Rn (Definition der Optimierungsaufgaben im Rn; Hyperebenen, Halbräume und Polyeder im Rn; Definition der linearen Optimierungsaufgaben im Rn; die graphische Methode zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben im R2).
3.	Konvexe Analysis im n-dimensionalen euklidischen Raum (konvexe Mengen; konvexe Hülle; Kegel; Rezessionskegel einer Menge; der Darstellungssatz für Polyeder und seine Folgerungen für das Studium linearer Optimierungsaufgaben: die Charakterisierung der Lösbarkeit/Unlösbarkeit  linearer Optimierungsaufgaben).
4.	Konvexe Analysis im n-dimensionalen euklidischen Raum (Extremalpunkte konvexer Mengen und deren Charakterisierung; Charakterisierung der Extremalpunkte der Polyeder;  Charakterisierung der spitzen Polyeder; Seiten der Polyeder, Beschreibung der Lösungsmenge einer linearen Optimierungsaufgabe;  Beweis der Existenz einer Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe,  die gleichzeitig auch  ein Extremalpunkt des Zulässigkeitsbereiches der betreffenden Aufgabe ist) .  
5.	Lineare Optimierung im Rn (lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme: die Alternativsätze von Farkas, Motzkin, Gordan und Gale; Definition der linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form; Charakterisierung der Lösung einer linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form).
6.	Lineare Optimierung im Rn (die theoretische Grundlage für den Simplex-Algorithmus zur Lösung  linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form: die Optimalitätsbeding, die Unbeschränktsheitsbedingung, die Begründung des Iterationsschrittes im Simplex- Algorithmus; Aufzählung der einzelnen Iterationsschritte des Simplex-Algorithmus).
7.	Lineare Optimierung im Rn (die Endlichkeit des Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form; Methoden zur Gewährleistung der Endlichkeit des Simplex-Algorithmus; ein kurzer geschichtlicher Überblick zum Simplex-Algorithmus; die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben: das Bestimmen des Dualproblems einer linearen Optimierungsaufgabe; das Dualproblem einer linearen Optimierungsaufgabe in kanonischer Form) .
8.	Lineare Optimierung im  Rn (die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben: der schwache und  der starke  Dualitätssatz).  Konvexe Analysis im Rn (die Trennung der konvexen Mengen durch Hyperebenen). 
9.	Konvexe Analysis im  Rn (konvexe Funktionen: Definition, Beispiele, Eigenschaften, die Ungleichung von Jensen, die Stetigkeit konvexer Funktionen).
10.	 Konvexe Analysis im  Rn (die Differenzierbarkeit konvexer Funktionen und die Charakterisierung konvexer Funktionen  mit Hilfe von  Ungleichungen).
11.	Konvexe Analysis im  Rn (spezielle Klassen von konvexen Funktionen: streng konvexe Funktionen und affine Funktionen).  Nichtlineare Optimierung im  Rn (Minimalstellen konvexer Funktionen: Eigenschaften dieser Punkte).
12.	 Nichtlineare Optimierung im  Rn (Charakterisierungen der Minimalstellen konvexer Funktionen; das Problem der Bestapproximation als nichtlineares Optimierungsproblem: hinreichende  Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit der Bestapproximation, Charakterisierung der Bestapproximation). Wiederholung des gesamten Stoffes. 

Übungen: Inhaltlich sind die Übungen auf die Vorlesungen abgestimmt und bezwecken das Vertiefen des in der Vorlesung behandelten Stoffes durch das Lösen von Aufgaben in Gruppenübungen (die Aufgaben werden hauptsächlich aus [4] und [6] ausgesucht)

         1.  Bestimmen mathematischer Modelle.
2.	Aufgaben zu Polydern bzw. zur graphischen Methode zur Lösung linear Optimierungsaufgaben im R2. 
3.	Lösen von Aufgaben zu konvexen Mengen, sowie zur Charakterisierung der Lösbarkeit linearer Optimierungsaufgaben.
4.	Lösen von Aufgaben zu Extremalpunkten konvexer Mengen (und Polyeder). 
5.	Lösen von Aufgaben zu den Eigenschaften der Lösungsmenge einer linearen Optimierungsaufgabe und zu den Alternativsätzen von Farkas, Motzkin, Gordan und Gale.
6.	Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form (Simplex-Tabellen, das Lösen von Aufgaben mit Hilfe dieses Verfahrens). 
7.	Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form (das Bestimmen der Lösung mit Hilfe der Eintragungen aus der letzten Simplex-Tabelle,  Lösen von Aufgaben).
8.	Der Simplex-Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsaufgaben in kanonischer Form und die Dualität der linearen Optimierungsaufgaben (das Lösen der Dualen einer linearen Optimierungsaufgaben in kanonischer Form mit Hilfe der Eintragungen aus der letzten Simplex-Tabelle).
9.	Grundbegriffe der Spieltheorie (einführende Begriffe, Matrixspiele: das Reduzierungsprinzip, die Klassifikation der Matrixspiele); das Bestimmen der Auszahlungsmatrix konkreter Matrixspiele.
10.	 Matrixspiele (Strategien bei Matrixspielen); es werden auch Aufgaben zu konvexen Funktionen gelöst.
11.	 Das Lösen der Matrixspiele (das Lösen der Matrixspiele mit Sattelpunkt; das Lösen der Matrixspiele ohne Sattelpunkt: der Fall, wenn der untere Spielwert positiv ist); es werden  auch Aufgaben zu konvexen Funktionen gelöst.
12.	 Das Lösen der Matrixspiele ohne Sattelpunkt: der Fall, wenn der untere Spielwert nicht positiv ist; es werden auch Aufgaben zu Minimalstellen konvexer Funktionen sowie zum Problem der Bestapproximation gelöst.	

VII. Unterrichtsmethoden
     Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Projekte, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen 	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
Die Endprüfung besteht aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil, wobei nur der schriftliche verpflichtend ist. Nimmt man auch an der mündlichen Prüfung teil, so ist die bei der Endprüfung erzielte Note das arithmetische Mittel der bei der schriftlichen und mündlichen Prüfung erworbenen Noten. Es wird vor allem die Fertigkeit geprüft, die in den  Vorlesungen und  Übungen erworbenen Kenntnisse  für das Lösen von Aufgaben (sowohl theoretischer, als auch rechnerischer Natur)  einzusetzen. Ausserdem muss Ende des Semesters  jeder Student ein Projekt abgeben. Das Thema des Projektes beinhaltet die Beschreibung  einer konkreten Optimierungsaufgabe (und ihres mathematischen Modells), die man aufgrund einer Recherche in der Wirtschaft (z.B. bei einer Firma) ausfindig gemacht hat. 
      
Die Gesamtnote für diese Disziplin wird nach der Formel G := (4x+ y)/5 berechnet, wobei x die in der Endprüfung und y die für das Projekt erzielten Noten bezeichnen.	

IX. Zusatzliteratur
1. BOYD, S., VANDENBERGHE, L.: Convex optimization. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 
2. BRECKNER, B.E.,  POPOVICI, N.: Convexity and Optimization. An Introduction. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
3. VANDERBEI, R. J.: Linear Programming. Foundations and extensions. International Series in Operations Research&Management Science 37, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2001.
4. Webster, R.: Convexity. Oxford University Press, New York, 1994.	

Dekan,                                                              Lehrstuhlleiter,
Prof. Dr. Tambulea Leon	                          Prof. Dr. Cobzas Stefan

Datum,				               Verantwortliche Lehrkraft,
4. März 2009					    Doz. Dr. BRECKNER Brigitte Erika