Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0008	Cercetare operaţională	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
6	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
LUPSA Liana	Dr. 	Prof.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unei introduceri in problematica cercetarii operationale si a unor metode de rezolvare matematica a anumitor clase de probleme de optimizare.	

IV. Conţinutul disciplinei
Problematica cercetarii operationale; Modele interdisciplinare. Elemente de analiza convexa in spatiul euclidian n-dimensional; multimi convexe; conuri convexe; teoreme de alternativa; caracterizari ale functiilor convexe si generalizat convexe. Probleme de optimizare cu sau fara restrictii; proprietati ale punctelor de minim ale functiilor convexe; conditii necesare si conditii suficiente de optimalitate; teoreme de punct-sa; teoreme de dualitate. Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare liniara si neliniara: metoda Simplex, metoda hiperplanelor de sectiune, metoda functiilor de penalizare si metoda functiilor-bariera. Elemente de teoria jocurilor; rezolvarea jocurilor matriceale prin reducere la probleme de optimizare liniara.

V. Bibliografie
1. BLAGA, L., LUPSA, L.: Elemente de programare liniara. Risoprint, Cluj-Napoca, 2003.
2. BLAGA, L., LUPSA, L.: Cercetare operationala. Argonaut, Cluj-Napoca, 2006.
3. BRECKNER, B.E.: De la poliedre la jocuri matriceale. O introducere in optimizarea liniara. EFES, Cluj-Napoca, 2007.
4. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de analiza convexa in R^n. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2003.
5. BRECKNER, B.E., POPOVICI, N.: Probleme de cercetare operaţională, EFES, Cluj-Napoca, 2006.
6. BRECKNER, W.W.: Cercetare operationala. Cluj-Napoca, Universitatea $Babes-Bolyai$, Fac. de Matematica, 1981.
7. BRECKNER, W.W., DUCA, D.: Culegere de probleme de cercetare operationala. Cluj-Napoca, Universitatea, Fac. de Matematica, 1983.
8. DOMSCHKE, W., DREXL, A.: Einfuhrung in Operations Research. 3. Aufl. Berlin, Springer-Verlag, 1995.
9. DOMSCHKE, W., DREXL, A., SCHILDT, B., SCHOLL, A., VOSS, S.: Uebungsbuch Operations Research. 2. Aufl. Berlin, Springer-Verlag, 1997.
10. PREKOPA, A.: Linearis programozas. Bolyai Tarsulat, Budapest, 1968.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
1.	Introducere în tematica cercetării operaţionale: 
•	scurt istoric, 
•	noţiuni de bază în cercetarea operatională; 
•	modele matematice: exemple de probleme concrete generate de practică, ce conduc la probleme de optimizare; 
•	prezentarea principalelor capitole ale cercetării operaţionale.
2.	Elemente de analiză convexă în spatiul euclidian n-dimensional:
•	mulţimi afine, hiperplane;
•	distanţa ponderată de la un punct la un hiperplan;
•	poliedre, enunţul teoremei de caracterizare a poliedrelor, 
•	mulţimi convexe; învelitoare convexă; enunţul teoremei de separare a mulţimilor convexe prin hiperplane.
3.	Elemente de analiza convexă în spatiul euclidian n-dimensional:
•	puncte extremale ale unei mulţimi convexe şi caracterizări ale acestora; 
•	caracterizarea punctelor extremale ale poliedrelor; 
•	metodă de găsire a unui punct extremal al unui poliedru;
•	funcţii liniare şi funcţii afine;
•	relaţia existentă între punctele de optim (minim sau maxim) ale unei funcţii afine relativ la un poliedru mărginit şi vârfurile poliedrului. 
4.	Optimizare liniară in Rn 
•	definirea problemei de optimizare în Rn, elementele unei probleme de optimizare: funcţie scop, soluţie admisibilă, mulţime a soluţiilor admisibile, soluţie optimă, mulţime a soluţiilor optime;
•	cazul particular al problemei de optimizare liniară;
•	o interpretare economică a problemei de optimizare liniară;
•	interpretarea geometrică a problemei de optimizare liniară;
•	consecinţele teoremei de reprezentare a poliedrelor pentru studiul problemelor de optimizare liniară: caracterizarea existenţei/inexistenţei soluţiilor unei probleme de optimizare liniară;
•	forma standard, forma canonica, forma semicanonică, legătura dintre ele; 
•	tabel simplex ataşat unei probleme de optimizare liniară; 
•	baza teoretică a algoritmului simplex pentru determinarea unei soluţii admisibile de bază pentru o problemă de optimizare liniară dată în formă canonică.
5.	Optimizare liniară în Rn:
•	baza teoretică a algoritmului simplex pentru rezolvarea problemelor de optimizare liniară date în forma canonică: condiţia de optim, conditia de nemărginire a funcţiei de scop, justificarea pasului de iteraţie în algoritmul simplex; prezentarea instrucţiunilor algoritmului simplex; 
•	existenţa ciclării şi prezentarea unui mod de evitare a ei; 
•	reducerea rezolvării unei probleme de optimizare liniară dată în formă semicanonică la rezolvarea unei probleme de optimizare liniară dată în formă canonică.
6.	Optimizare liniară în Rn : 
•	sisteme de ecuaţii şi inecuaţii liniare, teoreme de alternativă;
•	probleme de optimizare liniară duale;
•	teorema slabă de dualitate, teorema tare de dualitate, teorema ecarturilor complementare;
•	prezentarea algoritmul simplex dual. 
7.	Probleme de transport:
•	Formularea problemei de transport;
•	Metode de determinare a unui plan de transport iniţial;
•	Metoda planului potenţial pentru determinarea unui plan optim de transport.
8.	Optimizare neliniară în Rn: 
•	puncte şa ale funcţiilor concav-convexe; 
•	teoreme de mini-max ale funcţiilor concav-convexe; 
•	teorema lui J.v. Neumann.
9.	Elemente de teoria jocurilor: 
•	noţiuni introductive, 
•	conceptul de joc matriceal
•	valoarea inferioară, valoarea superioară a unui joc matriceal;
•	punct şa a unui joc matriceal;
•	strategii optime într-un joc matriceal
•	rezolvarea jocurilor matriceale prin reducere la probleme de optimizare liniară.
10.	Optimizare neliniară în  Rn 
•	funcţii convexe: definiţie, exemple, proprietăţi imediate, enunţul teoremelor relative la continuitatea şi diferenţiabilitatea funcţiilor convexe; 
•	caracterizări ale funcţiilor convexe cu ajutorul unor inegalităţi diferenţiale; 
•	puncte de minim ale funcţiilor convexe: proprietăţi şi caracterizări ale acestor puncte;
•	funcţii strict convexe
11.	Optimizare neliniară în  Rn :
•	probleme de optimizare cu restrictii;
•	stabilirea unor conditii necesare pentru existenta solutiilor optime ale problemelor de optimizare convexa cu restrictii
•	stabilirea unor conditii suficiente pentru existenta solutiilor optime ale problemelor de optimizare convexa cu restrictii.
12.	Optimizare neliniara in Rn
•	construirea dualei unei probleme de optimizare cu funcţie scop diferenţiabila şi restrictii diferentiabile;
•	teoreme de dualitate pentru cazul probleme de optimizare cu funcţie scop diferenţiabila şi restrictii diferentiabile;
•	cazuri particulare.

Seminarii: Conţinutul lor este legat de materia predată la curs si vizează aprofundarea acesteia prin rezolvare de exerciţii şi probleme.

      1.  Prezentarea unor modele matematice ataşate unor probleme concrete.
2.	Prezentarea metodei eliminării a lui Gauss-Jordan şi a aplicaţiilor acesteia la rezolvarea unor sisteme liniare de egalităţi.
3.	Determinarea, prin metoda grafică, a punctelor de optim ale unei funcţii liniare relativ la un poliedru din spaţiul R2
4.	Pas Gauss-Jordan modificat. Stabilirea existenţei soluţiilor admisibile ale unei probleme de optimizare liniară şi determinarea unei soluţii admisibile de bază.
5.	Rezolvare unor probleme de optimizare liniară cu ajutorul algoritmului simplex
6.	Rezolvare unor probleme de optimizare liniară, date sub formă generală, cu ajutorul algoritmului simplex.
7.	Construirea dualei unei probleme de optimizare liniară. Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară cu ajutorul algoritmului simplex dual. Determinarea naturii şi, în caz de existenţă, a soluţiei optime a problemei primale, dacă se cunoaşte natura dualei..
8.	Rezolvarea unor probleme de optimizare liniară în care coeficienţii funcţiei scop sau ai termenului liber al restricţiilor depind liniar de un parametru.
9.	Determinarea unor planuri de transport prin metoda colţului nord-vest şi prin metoda costului minim. 
10.	Rezolvarea unor probleme de transport.
11.	Prezentarea unor exemple de probleme din viaţa cotidiană a căror model matematic este un joc matriceal. Rezolvarea unor jocuri matriceale cu metoda grafică. 
12.	Rezolvarea unor jocuri matriceale prin reducere la rezolvarea unor probleme de optimizare duale.

	

VII. Metode didactice folosite
Expunere, prezentare, proiecte, exerciţii, studiu individual, lucru in echipa	

VIII. Evaluare
Evaluare continua (20% din nota finala), lucrare de control (30% din nota finala), examen scris si oral (50% din nota finala)	

IX. Bibliografie suplimentară

	Decan,							Sef de catedra,

	Data,							Titular curs,
  1 septembrie 2008					Prof. Dr.  LUPSA Liana