Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA0007	Funkcionálanalizis	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
5	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
FINTA Zoltán	Dr. 	Conf. Univ.	Analiză şi Optimizare	*	+		

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A funkcionálanalizis alapfogalmainak és alaptételeinek bemutatása.	

IV. A tantárgy tartalma
1.	Lineáris terek. Véges és végtelen dimenziós terek. Affin halmazok, konvex  halmazok. Lineáris operátorok, lineáris funkcionálok, szublineáris funkcionálok, a Minkowski-féle funkcionál, félnormák, normák. Hipersikok.
2.	Banach-terek. Normált tereken értelmezett folytonos lineáris funkcionálok és operátorok. Lipschitz-tulajdonság. Kompakt  halmazok normált terekben. Véges dimenziós Banach-terek jellemzése kompaktsággal. Egyenletesen folytonos operátorok. Sorok normált terekben. Duális terek. 
3.	Zárt hipesikok és félterek. A Hahn-Banach-féle tétel. Hahn-féle tételek. Diszjunkt  konvex halmazok szétválasztása hipersikokkal. Alkalmazások az optimalizálás elméletében.  
4.	Hilbert-terek. Schwarz-féle egyenlőtlenség. Ortogonalitás. Bilineáris és másodfokú funkcionálokra vonatkozó  minimum-feladatok. Legjobb megközelités és ortogonális felbontás Hilbert-terekben. Hilbert-tér duálisának Riesz-féle jellemzése. Ortonormált rendszerek és Fourier-sorok.
5.	Gyenge konvergencia. Reflexiv Banach-terek. Lp-terek. Relexiv Banach-térben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorozata.  Weierstrass existencia-tételének általánositása. Alkalmazások sajátérték-feladatokra.
6.	Általánositott deriváltak. Szoboljev-terek. Poincaré-egyenlőtlenség. A Dirichlet-féle elv. Variációs egyenlőségek és a parciális differenciálegyenletek gyenge  megoldásának fogalma.  
7.	A lineáris funkcionálanalizis alapelvei. Baire tétele. Az egyenletes korlátosság, a nyilt leképezés és a zárt grafikon tétele. Folytonos lineáris operátorsorozat korlátozottsága és pontonkénti konvergenciája közöti kapcsolat Banach-terekben. Lineáris egyenletek közelitő megoldásának módszerei.      	

V. Könyvészet
1. HEUSER H.: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart, 1992
2. KANTOROVICI L.V., AKILOV G. P.: Analiza functionala. Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986
3. MATHIEU M.: Funktionalanalysis. Ein Arbeitsbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, 1998
4. MUNTEAN I.: Analiza functionala. Universitatea "Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1993
5. POPA E.: Culegere de probleme de analiza functionala. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981
6. RIESZ F., SZOKEFALVI-NAGY B.: Funkcionalanlizis, Tankonyvkiado, Budapest, 1988
7. WERNER D.: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1995
8. ZEIDLER, E.: Applied Functional Analysis. Main Principles and Their Applications. Springer-Verlag, New-Zork, 1995. . Euklidészi terek. Euklidészi terek. Euklidészi terek	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája

Előadások:

1.	Lineáris terek. Véges és végtelen dimenziós terek. Affin halmazok, konvex  halmazok. Lineáris operátorok, lineáris funkcionálok. Szublineáris funkcionálok,  félnormák, normák. Hipersikok.
2.	Banach-terek. Normált tereken értelmezett folytonos lineáris funkcionálok és operátorok. Lipschitz-tulajdonság. Kompakt  halmazok normált terekben.
3.	Véges dimenziós Banach-terek jellemzése kompaktsággal. Egyenletesen folytonos operátorok. Sorok normált terekben. Duális terek. 
4.	Zárt hipesikok és félterek. A Hahn-Banach-féle tétel. Hahn-féle tételek. 
5.	A Minkowski-féle funkcionál. Diszjunkt  konvex halmazok szétválasztása hipersikokkal. Alkalmazások az optimalizálás elméletében.  
6.	Hilbert-terek. Schwarz-féle egyenlőtlenség. Ortogonalitás. Bilineáris és másodfokú funkcionálokra vonatkozó  minimum-feladatok. Legjobb megközelités és ortogonális felbontás Hilbert-terekben. 
7.	Hilbert-tér duálisának Riesz-féle jellemzése. Ortonormált rendszerek és Fourier-sorok.
8.	Gyenge konvergencia. Reflexiv Banach-terek. Lp-terek. Relexiv Banach-térben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorozata.  
9.	Weierstrass existencia-tételének általánositása. Alkalmazások sajátérték-feladatokra.
10.	Általánositott deriváltak. Szoboljev-terek. Poincaré-egyenlőtlenség.
11.	 A Dirichlet-féle elv. Variációs egyenlőségek és a parciális differenciálegyenletek gyenge  megoldásának fogalma.  
12.	A lineáris funkcionálanalizis alapelvei. Baire tétele.Az egyenletes korlátosság, a nyilt leképezés és a zárt grafikon tétele. 
13.	 Folytonos lineáris operátorsorozat korlátozottsága és pontonkénti konvergenciája közöti kapcsolat Banach-terekben. A funkcionálanalizis alapelveinek alkalmazásai.  
14.	Lineáris egyenletek közelitő megoldásának módszerei.      

    Szeminárium:

1.	Véges dimenziós normált terek, példák. Ekvivalens normák. A Cauchy-Bunjakovsykij-féle egyenlőtlenség.  Euklidészi terek tulajdonságai.
2.	Standard végtelen dimenziós Banach-terek, példák, speciális tulajdonságok.
3.	Lineáris programozás és a dualitás elve.
4.	Farkas Gyula tétele és annak alkalmazása az optimalizálás elméletében.
5.	Antagonisztikuis játékok, inimax-tételek.
6.	Klasszikus és általánositott Fourier-sorok. 
7.	Ortogonális polinomok.
8.	Kompakt intervallumon folytonos függvények terének duálisa. Nyomaték-feladatok.
9.	Legjobb megközelitési feladatok véges dimenziós terekben.
10.	Sajátérték-feladatok Hilbert terkben. A spektrum fogalma.
11.	Variációszámitási feladatok. Weierstrass ellenpéldája.
12.	Folytonos, sehol sem deriválható függvények.
13.	Közelitő kubatúra-képletek konvergenciája.
14.	A szukcessziv approximáció módszere.  	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
Előadás, példák bemutatása, feladatok megoldása a hallgaták bekapcsolódásával.	

VIII. Értékelés
O Szemeszterközi ellenőrző dolgozat és szóbeli vizsga a szemeszter végén. Évközi szereplés (2o %) , ellenőrző dolgozat (3o %), vizsgán nyújtott teljesitmény (5o %). 	

IX. Kiegészíto könyvészet

	Dékán,						Tanszékvezető,
            Prof.  Univ. Dr. TAMBULEA Leon                        Prof. Univ.  Dr. COBZAS Stefan   
	
            Dátum,						Előadás felelőse,
           2008.09.30.						Conf. Univ. Dr. FINTA Zoltán