Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale

Codul	Disciplina	
MMA0007	Analiză funcţională	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
5	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate

Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
BRECKNER Wolfgang	Dr.	Prof.	Analiză şi Optimizare	*			
TRIF Tiberiu	Dr.	Conf.	Analiză şi Optimizare		*		

Cadre didactice asociate

Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	
                    ―							

III. Obiectivele disciplinei

Prezentarea noţiunilor şi rezultatelor fundamentale ale analizei funcţionale.	

IV. Conţinutul disciplinei

1. Complemente de teoria spaţiilor liniare: Spaţii liniare, subspaţii liniare, învelitoare liniară. Operatori
     liniari. Funcţionale liniare, legătura dintre funcţionalele complex-liniare şi cele real-liniare. Funcţii
     subliniare, seminorme şi norme. Prelungirea funcţionalelor liniare.
2. Spaţii liniare topologice: Noţiunea de spaţiu liniar topologic. Spaţii multiseminormate. Spaţii normate. Şiruri mărginite de puncte ale unui spaţiu normat. Mulţimi compacte în spaţii normate. Spaţii normate complete. Spaţiile normate B(T, K), CB(T, K), C(T, K), l∞, c, co, lp. Familii sumabile de puncte ale unui spaţiu normat.
3. Spaţii prehilbertiene: Noţiunea de spaţiu prehilbertian. Spaţii Hilbert. Ortogonalitate. Puncte de cea
    mai bună aproximare, descompunerea ortogonală a unui spaţiu prehilbertian, descompunerea
    ortogonală a unui spaţiu Hilbert. Familii ortonormale, baze ortonormale.  
4. Operatori liniari continui. Caracterizări ale continuităţii operatorilor liniari între spaţii multiseminormate. Teorema asupra operatorului deschis. Teorema asupra graficului închis.Spaţiul normat al operatorilor liniari continui între spaţii normate. Principiul condensării singularităţilor, principiul mărginirii uniforme. Convergenţa punctuală a şirurilor de operatori liniari continui. Rezolvarea ecuaţiilor liniare prin metoda aproximaţiilor succesive. Izomorfisme topologice între spaţii normate.
5. Funcţionale liniare continue: Funcţionale liniare continue pe spaţii multiseminormate. Funcţionale liniare continue pe spaţii normate, teoremele de prelungire ale lui Hahn. Forma generală a funcţionalelor liniare continue pe spaţiile normate lp, c, co. Spaţii normate reflexive. Dualul algebrico-topologic al unui spaţiu Hilbert.	

V. Bibliografie

1. CONWAY J. B.: A Course in Functional Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, New-York –
    Berlin – Heidelberg, 1990
2. HEUSER H.: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart,
    1992
3. KANTOROVICI L.V., AKILOV G. P.: Analiză funcţională. Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, 
    Bucureşti, 1986
4. MATHIEU M.: Funktionalanalysis. Ein Arbeitsbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg – 
    Berlin, 1998
5. MUNTEAN I.: Analiză funcţională. Universitatea "Babeş-Bolyai", Cluj-Napoca, 1993
6. POPA E.: Culegere de probleme de analiză funcţională. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 
    1981
7. PRECUPANU T.: Analiză funcţională pe spaţii liniare normate. Editura Universităţii „Alexandru Ioan Cuza”, Iaşi, 2005
8. WERNER D.: Funktionalanalysis.  Vierte, überarbeitete Auflage.  Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2002	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni

Cursuri:
1. Complemente de teoria spaţiilor liniare (spaţii liniare, subspaţii liniare, învelitoarea liniară, operatori liniari, funcţionale liniare) [5, pag. 1-4, 8]
2. Complemente de teoria spaţiilor liniare (funcţii subliniare, seminorme şi norme, teorema lui Hahn – Banach pentru spaţii liniare reale) [5, pag. 26-30]
3. Spaţii liniare topologice (noţiunea de spaţiu liniar topologic, proprietăţi ale vecinătăţilor unui punct dintr-un spaţiu liniar topologic) [5, pag. 73-76]
4. Spaţii liniare topologice (spaţii multiseminormate, spaţii normate, şiruri mărginite de puncte ale unui spaţiu normat) [5, pag. 85]
5. Spaţii liniare topologice (caracterizări ale spaţiilor normate finit dimensionale cu ajutorul şirurilor mărginite, mulţimi compacte în spaţii normate, teorema lui Riesz de caracterizare a spaţiilor normate finit dimensionale) [5, pag. 97-99]
6. Spaţii liniare topologice (spaţii normate complete,  completitudinea subspaţiilor liniare finit dimensionale ale unui spaţiu normat, caracterizarea completitudinii unui spaţiu normat cu ajutorul seriilor, familii sumabile de puncte ale unui spaţiu normat) [2, pag. 175-176], [5, pag. 65-66] 
7. Spaţii prehilbertiene (produs scalar, noţiunea de spaţiu prehilbertian, spaţii Hilbert, ortogonalitate) [2, pag. 146-153], [5, pag. 132]
8. Spaţii prehilbertiene (puncte de cea mai bună aproximare, descompunerea ortogonală a unui spaţiu prehilbertian, descompunerea ortogonală a unui spaţiu Hilbert) [5, pag. 126-133]
9. Spaţii prehilbertiene (familii ortonormale, procedeul ortonormalizării lui Gram – Schmidt, calculul punctelor de cea mai bună aproximare, baze ortonormale) [5, pag. 134-148]
10. Operatori liniari continui ( caracterizări ale continuităţii operatorilor liniari între spaţii multiseminormate, caracterizări ale continuităţii operatorilor liniari între spaţii normate, teorema asupra operatorului deschis) [5, pag. 88-89, 238-242]
11. Operatori liniari continui (teorema asupra graficului închis, spaţiul normat al operatorilor liniari continui între spaţii normate, principiul condensării singularităţilor, principiul mărginirii uniforme) [5, pag. 200-204, 244-245]
12. Operatori liniari continui (convergenţa punctuală a şirurilor de operatori liniari continui între spaţii normate) [2, pag. 248]
13. Operatori liniari continui (rezolvarea ecuaţiilor liniare prin metoda aproximaţiilor succesive, seria lui C. Neumann asociată unui operator liniar continuu, teorema lui C. Neumann, izomorfisme topologice între spaţii normate) [5, pag. 253-254]
14. Funcţionale liniare continue (dualul algebrico-topologic al unui spaţiu normat, spaţii normate reflexive, dualul algebrico-topologic al unui spaţiu Hilbert) [2, pag. 183-184]

Seminarii:
1. Recapitularea unor noţiuni şi rezultate de topologie generală utilizate în analiza funcţională [2, pag. 341-346], [5, pag, 34-40]
2. Funcţii subliniare, seminorme şi norme (caracterizarea funcţiilor subliniare şi a seminormelor, exemple de funcţii subliniare şi seminorme, legătura dintre funcţionalele complex-liniare şi cele real-liniare, teorema lui Hahn – Banach pentru spaţii liniare complexe, teorema lui Bohnenblust – Sobczyk – Suhomlinov) [5, pag. 30-33] 
3. Spaţii normate (inegalităţile lui Young, Hölder şi Minkowski, norma ׀׀·׀׀p pe spaţiul liniar Km) [5, pag. 4-6]
4. Exemple de spaţii normate complete (B(T, K), CB(T, K), C(T, K)) [5, pag. 59-60, 63-64]
5. Exemple de spaţii normate complete (l∞, c, co) [5, pag. 60-62]
6. Exemple de spaţii normate complete (lp) [5, pag. 62-63]
7. Spaţii Baire [5, pag. 44-47]
8. Spaţii normate separabile [5, pag. 69-72]
9. Determinantul lui Gram [6, pag. 38, probl. A8]
10. Funcţionale liniare continue pe spaţii normate (caracterizarea continuităţii funcţionalelor liniare, teoremelede prelungire ale lui Hahn) [8, pag. 97-99]
11. Forma generală a funcţionalelor liniare continue pe spaţiul normat lp [8, pag. 59-60]
12. Forma generală a funcţionalelor liniare continue pe spaţiile normate c şi co [5, pag. 59-60]
13. Teorema lui Toeplitz de caracterizare a matricelor care generează metode permanente de sumare [2, pag. 266-268]
14. Divergenţa şirului operatorilor de interpolare ai lui Lagrange [5, pag. 206-208]	

VII. Metode didactice folosite

Prelegerea cu demonstraţii matematice, conversaţia, problematizarea, descoperirea.	

VIII. Evaluare

O lucrare de control la mijlocul semestrului şi un examen oral în sesiune. Numărul „2/10 ×  nota 
lucrare + 8/10 × nota examen”, rotunjit dacă nu este un număr întreg, va fi nota finală. Acei studenţi 
care doresc sa-şi îmbunătăţească această notă şi cei care nu s-au prezentat la examen, pot da un examen
oral în sesiunea de restanţe.	

IX. Bibliografie suplimentară

1. COSTARA C., POPA D.: Exercises in Functional Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht – Boston – London, 2003
2. DEUTSCH F.: Best Approximation in Inner Product Spaces. Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg, 2001
3. FLORESCU L. C.: Analiză matematică. Editura Universităţii “Al. I. Cuza”, Iaşi, 1999	

Data,	25.09.2008							Titular curs,
									Prof. dr. BRECKNER Wolfgang

DECAN								ŞEF DE CATEDRĂ
Prof. dr. ŢÂMBULEA Leon					Prof. dr. COBZAŞ Ştefan