Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0005	Funcţii reale – Reelle Funktionen	

Semester	Stunden: C+S+L	Kategorie	Status	
4	2+2+0	Fachgebiet	Pflichtfach	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
NECHITA Veronica Oana	Dr.	Asist.	Teoria Funcţiilor	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
Grundkenntnisse der mengentheoretischen Topologie, der Maß- und Integrationstheorie und deren Anwendungen sollen vermittelt werden.	

IV. Inhalte der Disziplin
1. Topologie: Topologische Strukturen: Grundbegriffe und Beispiele. Punkte und Mengen in topologischen Räumen. Basis, Subbasis, erzeugte Topologie. Teilraum. Produkt zweier topologischer Räume. Konvergenz und Stetigkeit. Die Trennungseigenschaften T1 und T2. Pseudometrische Räume. Vollständige Räume. Kompakte Räume. Reguläre und normale topologische Räume. Zusammenhängende Räume. Die Topologie der erweiterten reellen Zahlengeraden.

2.  Maß- und Integrationstheorie: Algebren und  σ-Algebren. Maße. Äußere Maße und induziertes Maß. Das Lebesgue’sche Maß. Messbare Funktionen. Fast überall bestehende Eigenschaften. Integration nichtnegativer Treppenfunktionen. Das Lebesgue’sche Integral nichtnegativer messbarer Funktionen. Integrierbare Funktionen. Das Riemann-Integral und das Lebesgue-Integral.	

V. Pflichtliteratur
[1] V. ANISIU: Topologie şi teoria măsurii. Lito Cluj-Napoca, 1995.
[2] B.v. QUERENBURG: Mengentheoretische Topologie, 3. Auflage Springer, Berlin - Heidelberg, 2001.
[3] J. ELSTRODT: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin - Heidelberg, 1999.	

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
1. Vorlesung: Topologische Strukturen: Grundbegriffe und Beispiele. Punkte und Mengen in topologischen Räumen. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 1. Vorlesung. [1].

2. Vorlesung: Basis, Subbasis, erzeugte Topologie. Teilraum. Podukt zweier topologischen Räume. Konvergenz und Stetigkeit. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 2. Vorlesung. [1].

3. Vorlesung: Konvergenz und Stetigkeit. Die Trennungseigenschaften T1 und T2. Pseudometrische Räume. Vollständigkeitseigenschaft. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 3. Vorlesung. [1].

4. Vorlesung: Pseudometrische Räume. Vollständigkeitseigenschaft. Kompakte Räume.
    Seminar: Übungen zur 4. Vorlesung. [1].

5. Vorlesung: Kompakte Räume. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 5. Vorlesung. [1].

6. Vorlesung: Reguläre und normale topologische Räume. Zusammmenhängende Räume. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 6. Vorlesung. [1].

7. Vorlesung: Zusammmenhängende Räume. Die Topologie der erweiterten reellen Zahlengerade. [1],[2].
    Seminar: Übungen zur 7. Vorlesung. [1].

8. Vorlesung: Algebren und  σ-Algebren. Maße. Äußere Maße und induziertes Maß. [1],[3].
    Seminar: Kontrollarbeit. Übungen zur 8. Vorlesung. [1].

9. Vorlesung: Äußere Maße und induziertes Maß. [1],[3].
    Seminar: Übungen zur 9. Vorlesung. [1].

10. Vorlesung: Das Lebesgue’sche Maß. Messbare Funktionen. [1],[3].
      Seminar: Übungen zur 10. Vorlesung. [1].

11. Vorlesung: Messbare Funktionen. [1],[3].
      Seminar: Übungen zur 11. Vorlesung. [1].

12. Vorlesung: Messbare Funktionen. Fast überall bestehende Eigenschaften. Integration nichtnegativer Treppenfunktionen. Das Lebesgue’sche Integral nichtnegativer messbarer Funktionen. [1],[3].
      Seminar: Übungen zur 12. Vorlesung. [1].

13. Vorlesung: Das Lebesgue’sche Integral nichtnegativer messbarer Funktionen. Integrierbare Funktionen. [1],[3].
      Seminar: Übungen zur 13. Vorlesung. [1].

14. Vorlesung: Integrierbare Funktionen. Das Riemann-Integral und das Lebesgue-Integral. [1],[3].
      Seminar: Übungen zur 14. Vorlesung. [1].	

VII. Didaktische Methoden
Die Darstellung der Thematik, Beweise an der Tafel, die Beschreibung, die Erklärung, die Diskussion
der Problemstellungen, die Dokumentation, individuelles Studium, Teamarbeit.	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
Um die Prüfung zu bestehen wird die regelmäßige Teilnahme an den Lehrveranstaltungen empfohlen. Es wird erwartet, dass alle Teilnehmer an den Lehrveranstaltungen den fortschreitenden Wissenserwerb durch das selbstständige Lösen von Übungen nachweisen. Die Übungsblätter werden den Studierenden zu Beginn jeder Übungsstunde zur Verfügung gestellt.

In der Mitte des Semesters wird eine Kontrollarbeit geschrieben. Dafür ist der Stoff der ersten 7 Vorlesungen und Seminare vorzubereiten. Am Ende des Semesters wird eine schriftliche Prüfung aus dem Stoff der letzten 7 Vorlesungen und Seminare abgelegt.

Die Leistungen werden folgendermaßen bewertet : bis zu 2 Punkte für das Lösen von Übungen, bis zu 4 Punkte für die Kontrollarbeit und bis zu 4 Punkte für die Prüfung. Durch Addition der erhaltenen  Punkte ergibt sich die Gesamtnote für das Fach reelle Funktionen.

Die mit der Gesamtnote unzufriedenen Studenten haben die Möglichkeit, durch eine mündliche Prüfung  aus dem gesamten Stoff  ihre Note zu verbessern.	

IX. Zusatzliteratur
[4] K. JÄNICH: Topologie. 7. Auflage. Springer, Berlin - Heidelberg, 2001. 
[5] H. BAUER: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage.Walter de Gruyter Verlag, 1992.	

	Dekan,						Lehrstuhlleiter,

	Datum,						Verantwortliche Lehrkraft,
	20.03.2009						Asist. Dr. NECHITA Veronica Oana