Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0004	Mathematische Analysis 3-ten Teil	

Semester	Stunden: C+S+L	Kategorie	Status	
3	2+2+0	Hauptfach	verbindlich	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
       DIACONU Adrian	Dr.	Dozent	Analysis und Optimisierung	*			

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
Die Erkenntnis und die Vertiefung einigen klasischen Kentnnisen von Integralrechnung für Funktionen mit mehren variabeln.	

IV. Inhalte der Disziplin
I) Integralen auf Wege und Kurwenbogen.
      Vektorfunktionen mit Beschrenkten Variation. Vektorfunktionen mit der Klasse  C1. Wege. Die Länge und die Längefunktion eines Weges und ihren Ausdruck in dem Fall der Wege mit der Kalsse  C1.  Integraltypen einer reellen Funktion mit  n reellen Variabeln auf einen Weg und Rechnungsformeln in speziellen Situationen. Liniären Differentialformen und ihren Integration. Rechnungsformeln in speziellen Situationen. Die Stammfunktion einer Vektorfunktion und die Rechnung des Integrales  einer liniären Differentialform auf einen Weg mit der Hilfe der Stammfunktion der Generierugsvektorfunktion. Operationen mit Wege und die Eigenschaften des Integrales in Verhältnis diesen Operationen. Theoremen über die Unabhändigkeit von den Weg der Integralen auf Wege einer liniären Differentialform. Nothwendige und hinreichende Bedingungen über die Existenz der Stammfunktion einer Vektorfunktion. Einfache und orientierte Kurwenbogen integraltypen auf diese Mannigfaltigkeiten.
II) Das Riemann Integral einer reellen Funktion mit mehren reellen Variabeln.
      Das Jordan Maß einer Menge von Rⁿ. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dass eiene Menge von Rⁿ soll messbahr Sien durch die Eigenschaft seinen Grenze. Einfache Bereinche von R² und R³ velche durch die Grafen einigen stetigen Funktionen Beschränkt sind. Die Definition der Integrabilität und des Integrales einer reellen Funktion mit n reellen Variabeln. Die Beschränktheit einer reellen Funktion mit n reellen Variabeln. Die Darboux Summen in dem Fall einer reellen Funktion mit n reellen Variabeln. Das Theorem von Darboux über die Charakterisierung der Riemann Integrabilität in diesen Fall. Der Kriterium von Lebesgue über die Riemann Integrabilität. Die Aditivität in Verhältnis des Integrationsbereiches der Integrabilität und des Riemann Integrales. Die Umwandlung eines Riemann Integrales einer Funktion mit n reellen Variabeln in Iteratenintegralen. Das Theorem von Fubinii. Die Rechnung der doppelten und dreifachen Integralen durch die Umwandlung zu Iteratenintegralen. Die Bindung zwischen das Integral auf einen Bereich non R² und das Integral auf seine orientierte Grenze. Die Formel von Green. Die Formel über die Variabelwechsel in dem Fall einer Funktion mit mehren Variabeln. Bemerkenswerte Variabelwechseln in dem Fall der doppelten und der dreifachen Integralen.
III) Integralen auf Flächenstücken.\
      Flächenparametrisierungen in R³. Das Flächeninhalt welche durch eine Flächenparametrisierun                 
      bestimmt ist. Das Integral einer Funktion welche auf eine Flächenparametrisierung definiert ist in     
      Verhältnis des Flächeninhalts welche durch diese Flächenparametrisierun bestimmt ist.    
      Differentialformen 2-ten Ordnung in R³ und ihren Integration auf Flächenparametrisierungen.     
      Orientierte Mannigfaltigkeiten 2-ten Ordnung in R³ und das Integral auf solche Mannigfaltigkeiten. 
      Die Theoremen von Stokes und Gauss-Ostrigradski über die Verbindungen zwischen 
      verschiedenen    Integraltypen.	

V. Pflichtliteratur
1. BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993
4. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967
5. COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997
6. COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956
8. SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969
9. WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990
10. ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980
11. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995. 

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
1-te Vorlesung. Funktionen mit beschränkten Variation mit Werte in Rⁿ. Wege in  Rⁿ. Die Länge eines Weges und die Längefunktion. Wege mit der Kasse C¹. Die Integralverträtung der Länge eines Weges mit der Klasse C¹ (Aussage des Grunlägenden Theorems). 
1-ter Seminar. Beispiele mit Wege mit Länge und ohner Länge . Übungen mit der Rechnung  der Länge für Wege von R² und R³. Rechnungsformeln im den Fall in welcher der Weg von R² hat als Bild den Graf einer Funktion und im den Fall in welcher der Weg ist gegeben mit der Hilfe einer Gleichung in polären Koordinaten.Von [6] die Übungen 3.8- 3.11 und 3.18-3.36 ( 76 - 77).

2-te Vorlesung. Die Integralverträtung der Länge eines Weges mit der Kasse C¹ (der Beweis der Hilfsätze unn des Grunlägenden Theorems). Das Riemann-Stieltjes Integral (Übung von MATH. ANALYSIS II). Die Definition der Integraltyppen auf Wege von reellen Funktionen mit n reelen Variabeln mit der Hife einen Riemann-Stieltjes Integral. Rechnungsformeln in verschiedenen Speziällenfälle durch die Umformung in Riemann Integralen.
2-ter Seminar. Übungen mit der Rechnung einigen Integrallen von veschiedenen  Typpen auf Wege. Rechnungsformeln in dieselben Speziällenfälle von den vorigen Seminar. Von [6] die Übungen 3.37 – 3.87 ( 78 – 81).

3-te Vorlesung. . Liniäre Differentialformen und ihren Integration auf Wege. Rechnungsformel für das Integral einer liniären Differentialform im einen Speziälenfall durch Umformung  in einen Riemann Integral. Vektorfunktionen auf Bereiche von Rⁿ welche Stammfunktionen besitzen. Die Rechnung des Integrales auf einen Weg einer liniären Differentialform im den Fall in welcher die Generierungsvektorfunktion Stammfunktionen besitzt (eine verallgemeinerung der Formel von Leibnitz-Newton). Der Aussdruck der Stammfunktion einer Vektorfunktion. Nothwendige und hinreichende Existenzbedingungen der Stammfunktion einer Vektorfunktion.
 3-ter Seminar. Übungen mit Integralen von liniären Differentialformen mit der Hilfe der Stammfunktion der Generierugsfunktion der Form. Von [6] die Übungen 3.90-3.115 (81-82).

4-te Vorlesung. Operationen mit Wege (die Vereiningung zwei Wege und der Entgegenweg eines Wegs). Eigenschaften der Integralen im Verhältnis diesen Operationen.Wege mit der Klasse C¹ auf Strecke. Die Unabhändigkeit von den Weg des Integrales einer liniären Differentialform so dass seine Generierungsvektorfunktion Stammfunktionen besitzt. Gleichwertige Wege. Orientierten Kuwenbogen. Integralen auf orientierten Kuwenbogen.
 4-ter Seminar.  Verifizierung der Geichwertigkeit einigen Wege. Der Beweiss einigen Sätze von die Vorlesung. Andwendungen im Phisik. Von [6] die Übungen 3.116- 3.135 (83 - 84).

5-te Vorlesung. Intervallen und elementären Mengen von Rⁿ. Definition des Volumens eines Intervalles von Rⁿ und des Masses einen elementären Menge von denselben Raum. Eigenshaften der Intervallen und der elementären Mengen. Die Definition der Messbarheit und des Jordan Maßes einer Menge von Rⁿ. 
5-ter Seminar. Anwendungen in Physik der Integralen auf Wege. Inertiemomenten und Swerpunkten. Vektoriellenfeld u.s.w..

6-te Vorlesung. Eine nothwendige und hinreichende Jordan Messbarheitsbedingung einer Menge von Rⁿ. Jordan nullmessigen Mengen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung daß eine Menge Jordan nullmessig sein sol. Eine nothwendige und hinreichende Jordan Messbarheitsbedingung einer Menge von Rⁿ durch  der Nullmessigkeitsheit seiner Grenze. 
6-ter Seminar.  Jede einfache Menge von R² oder R³  beschränkt von der Grafen einigen stetigen Funktionen ist Jordan messbar. Bestimmung der Flächeninhalten einigen Mengen von R² und der Volummen einigen Mengen von R³. Von [6] die Übungen 4.14-4.31 (92) und 4.88-4.117 (96 - 97).

7-te Vorlesung. Eigenschaften des Jordan Masses einer Menge von Rⁿ in Verbindung mit verschiedenen Operationen mit Mengen. Das außerliche Lebesgue Mass einer Menge von Rⁿ. Nullmessige Mengen in Lebesgues Sinn. Die Verbindung mit die Jordan Messbarheit. 
Definition der Integrabilität und des Integrales einen reellen Funktion mit n reellen Variabeln. Der Speziellenfall der Funktionen welche auf Intervallen definiert sind. Die beschränktheit der reellen Funktionen mit n reelen Variabeln welche Riemann integrierbar sind.
7-ter Seminar. Der Beweis einigen Eigenschaften in Verbindung mit dem Jordan Maß in Ergänzung mit diesen welche an der Vorlesund vorgestelt wurden. Der Speziellenfall einigen Riemann Summen in dem Fall der Funktionen welche auf Intervallen von R² oder R³ definiert sind. 

8-te Vorlesung. Der Riemann Integrabilitätskriterium von Heine. Die Darboux-Summen für reellen Funktionen mit n reellen Variabeln und einigen ihren Eigenschaften. Das Unterintegral und das Oberintegral einer beschränkten reellen Funktion mit n reellen Variabeln. Das Theorem von Darboux für die Charakterisierung der Riemann Integrabilität mit der Hilfe der Darboux-Summen für reellen Funktionen mit n reellen Variabeln. Der Ausdruck der Riemann Integrabilität durch die Gleichund zwischen das Unterintegral und das Oberintegral.
8-ter Seminar. Studium der Integrabilität einigen Funktionen mit zwei reellen Variabeln. Die Rechnung der doppelten Integralen mit den Druchgang zu iterate Integralen. Die Intervertierung der Integrationsordnung in iteraten Integralen welche von die Integration einigen reelen Funktionen mit zwei reelen Variabeln resultiert sind.Von [6] die Übungen 4.32-4.78 (92-95).

9-te Vorlesung. Die Verbindung zwischen die Stetigkeit und die Riemann Integrabilität. Lebesgues Integerationskriterium für die Riemann Integrabilität. Die Aussagen und die Bewiese der Hilfsätze und des grundlägenden Theorems.
Die Aditivität nach dem Integerationsbereich der Riemann Integrabilität und Integral.
9-ter Seminar. Die Rechnung der dreifachen Integralen mit den Druchgang zu iterate Integralen. Von [6] die Übungen 4.118-4.128 (97).

10-te Vorlesung. Die Umformung des Integrales einer reellen Funktion mit n reellen Variabeln an eine iterate Integral. Das Theorem von Fubinii, Einige seinen Verallgemeinerungen und Speziellenfälle. Die Rechnung der doppelten und dreifachen Integralen durch den Durchgang zu iterate Integralen.
10-ter Seminar. Der Variabelwechsel im doppelten und im dreifachen Integrallen. Speziellen Variabelweseln. Von [6] die Übungen 4.79-4.87 (95-96) und die Übungen 4.129-4.139 (98-99).

11-te Vorlesung. Die Bindung zwischen das Integral auf einem Bereich von R² und das Integral auf die orientierte Grenze dieses Bereichs. Die Formel von Greeen.
Flächeparametrisierungen in R³. Der Flächeninhalt welche durch eine Flächeparametrisierung bestimmt ist. Das Integral auf eine Flächeparametrisierung von R³ in Verhältnis dem bestimmten Flächeninhalt  (Flächenintegralen 1-ten Typ).
11-ter Seminar. Übungen für die Anwendung der Formel von Green. Von [6] die Übungen 6.1-6.24, (114-116). Uneigentliche vielfachen Integralen und Anwendungen in Phisik der vielfachen Integralen. Von [6] die Übungen 4.140-4.197.

12-te Vorlesung. Die Rechnung des Integrales 1-ten Typ einer Stetigen Funktion welche auf eine Flächeparametrisierung mit der Klasse C¹ definiert ist. Beweis der Hilfsätze und des Grundlägenden Theorems.
12-ter Seminar. Übungen über die Rechnung der Integralen ersten Typ . Von [6] die Übubgen 5.9-5.35. (108-109).

13-te Vorlesung. Differentialformen 2-ten Ordnung und ihren Integration auf Flächeparametrisierungen (Flächenintegralen 2-ten Typ). 
13-ter Seminar. Die Rechnung der Integralen auf Flächeparametrisierungen und auf orientierten Mannigfaltigkeiten 2-ten Ordung. Von [6] die Übungen 5.36-5.57. (109-111).

14-te Vorlesung. Orientierte Mannigfaltigkeiten 2-ten Ordung in R³ und die Integration auf solchen orientierten Mannigfaltigkeiten. Die Theoremen von Stokes und Gauss-Ostrogradski für die Verbindungen zwischen verschiedenen Integraltypen. 
14-ten Seminar. Übungen über die Theoremen von Stokes und Gauss-Ostrogradski für Bindungen                                       zwischen Verschiedenen Integraltyppen. Von [6] die Übungen 6.25-6.50. (116-119).	

VII. Didaktische Methoden
Die Berücksichtigkeit der Logik der Wissenschaft, der Logik des Unterrichts und die systematische und selectieve Einführung der Nueigkeiten der wissenschaftlichen Vorschungen, der Beweis, die Übungen, die Unterhaltung, die Lerne durch Entdeckung, die Modellierung.	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
Entwertung der Aktivität an dem Seminar und eine Kontrolarbeit (1/5 von die Finalnote).
Schriftliche und mündliche Prüfung an den Ende des Halbjares (4/5 von die Finalnote).	

IX. Zusatzliteratur
[8]  G. M. FIHTENHOLZ, Calculul diferenţial şi integral, vol II (1964)-III (1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[9]  M. NICOLESCU, Analiză matematică, (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), Edituara tehnică, Bucureşti.
[10] N. BOBOC, Analiză matematică, Univ. Bucureşti, 1988.
[11] M. MEGAN, Analiză matematică,vol.1-2. Mirton, Timişoara, 1999.
[12] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York 1967.
[13] N. DONCIU, D. FLONDOR, GH. SIMIONESCU, Algebră şi analiză matematică (2 volume), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
[14] G. POLYA, G. SYEGÖ, Aufgaben und Lehrsätzeaus der Analysis (2 volume), 1932.
[15] S. RĂDULESCU, M. RĂDULESCU, Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

           DEKAN:                                                                    LEHRSTUHLLEITER:
Prof. Dr.  Leon Timbulea                                                  Prof. Dr. Stefan Cobzas      

             DATUM                                                         VERANTWORTLICHE  LEHRKRAFT 
              3.12.2008                                                                   Conf. Dr. DIACONU Adrian