Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMA0001	Analysis 1 (Analysis im R)	

Semester	Stunden: V+S+L	Kategorie	Status	
1	3+2+0	Grundvorlesung	     Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
BRECKNER Brigitte Erika	Dr. 	Dozent	Analysis und Optimierung	*	*		

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin
Die Analysis 1 vermittelt grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten aus der eindimensionalen Analysis. Es werden die Topologie der reellen Zahlengerade sowie die Differential- und Integralrechnung im R behandelt.	

IV. Inhalte der Disziplin
1. Die Menge der reellen Zahlen und ihre wichtigsten Teilmengen (die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen; die natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen; die wichtigsten topologischen Begriffe in R).

2. Reelle Zahlenfolgen (der Grenzwertbegriff; Rechenregeln für Folgen mit Grenzwert; Kriterien für die Existenz des Grenzwertes; Häufungswerte von Folgen).

3. Unendliche Reihen reeller Zahlen (Eigenschaften konvergenter Reihen; Konvergenz- und Divergenzkriterien  für Reihen).

4. Grenzwerte von Funktionen (der Grenzwertbegriff; Charakterisierungen für den Grenzwert; Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen; einseitige Grenzwerte).

5. Stetige Funktionen (Definition der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt; Charakterisierungen für die Stetigkeit; Rechenoperationen mit stetigen Funktionen;  wichtige Eigenschaften stetiger auf einem Intervall definierter Funktionen; stetige Funktionen auf kompakten Intervallen; gleichmäßige Stetigkeit).

6. Differenzierbare Funktionen (der Begriff der Ableitung; einseitige Ableitungen; Differentiationsregeln; höhere Ableitungen; Extremstellen und lokale Extremstellen von Funktionen; der Satz von Fermat; der Satz von Rolle; der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und seine Folgerungen; konvexe und konkave Funktionen; die Taylorsche Formel).

7. Integration (Stammfunktionen und unbestimmte Integrale; das Riemann-Integral; Charakterisierungen für die Riemannsche Integrierbarkeit: die Charakterisierung mit Hilfe von Folgen, die Kriterien von Cauchy, Darboux und Lebesgue; die Additivität des Riemann-Integrals bezüglich des Intervalls; Klassen Riemann-integrierbarer Funktionen; die Hauptsätze der Differential-und Integralrechnung; Integrationsregeln).

8. Funktionenfolgen und Funktionenreihen (punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge; Charakterisierungen für die punktweise Konvergenz und die gleichmäßige Konvergenz  einer Funktionenfolge; Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktionenfolge; punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe;  Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe; Eigenschaften der Summe einer Funktionenreihe; Potenzreihen).  	

V. Pflichtliteratur
1. BRECKNER W. W.: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn. Universitatea din Cluj-Napoca, Cluj-Napoca, 1985.
2. DEMIDOVICI B. P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica. Ed. Tehnica, Bucuresti, 1957.
3. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. B. G. Teubner, Stuttgart,1994. 
4. GH. SIRETCHI: Calcul diferential si integral, vol. 1si 2. Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti,1985. 
5. WALTER W.: Analysis 1, Springer-Lehrbuch, 1992.	

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen
Vorlesungen: Als begleitende Literatur werden hauptsächlich [3] und [5] verwendet.

1. Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen (die axiomatische Definition der Menge der reellen Zahlen und einfache Folgerungen daraus; die Menge der natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften; ganze Zahlen, rationale Zahlen und irrationale Zahlen).
2.  Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen (kleinstes und gröβtes Element einer Menge; nach unten und nach oben beschränkte Mengen; Infimum und Supremum einer Menge; Intervalle; Folgerungen aus dem Schnittaxiom: das Infimumsprinzip, die Sätze von Archimedes und Eudoxos
     und deren Folgerungen; die n-te Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl).
3. Die erweiterte Menge der reellen Zahlen. Die Topologie auf R (Abstand und Betrag; Umgebung eines Punktes). Reelle Zahlenfolgen (der Grenzwert einer Zahlenfolge; die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Zahlenfolge; das Vergleichs- und das Einschnürunsgstheorem; Rechenregeln für Folgen mit Grenzwert).
4.  Reelle Zahlenfolgen (Kriterien für die Existenz des Grenzwertes einer Zahlenfolge: das Monotoniekriterium, das Kriterium von Cauchy). Unendliche Reihen reeller Zahlen (die Summe einer Reihe; das Rechnen mit konvergenten Reihen; Eigenschaften konvergenter Reihen).
5.  Konvergenz- und Divergenzkriterien  für Reihen (das Kriterium von Cauchy; das Monotoniekriterium; das Verdichtungskriterium; die Vergleichskriterien; das Wurzelkriterium; das Kriterium von Kummer und seine Folgerungen: die Kriterien von D’Alembert, Raabe-Duhamel und Bertrand; das Kriterium von Abel-Dirichlet; das Kriterium von Leibniz; absolut konvergente Reihen).
6. Grenzwerte von Funktionen (Häufungspunkt und isolierter Punkt einer Menge; Definition des Grenzwertes einer Funktion in einem Punkt; Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Funktion in einem Punkt; Charakterisierungen für den Grenzwert einer Funktion in einem Punkt; das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen; das Kriterium von Cauchy für die Existenz des Grenzwertes einer Funktion; einseitige Grenzwerte).
7. Stetige Funktionen (Definition der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt; Charakterisierungen für die Stetigkeit; Rechenoperationen mit stetigen Funktionen;  wichtige Eigenschaften stetiger auf einem Intervall definierter Funktionen: der Nullstellensatz und der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, der Umkehrsatz für streng monotone und stetige Funktionen).
8.  Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen (Extremstellen von Funktionen; das Theorem von Weierstrass; gleichmäßige Stetigkeit). Differenzierbare Funktionen (der Begriff der Ableitung; einseitige Ableitungen; Differentiationsregeln; höhere Ableitungen).
9.  Differenzierbare Funktionen (lokale Extremstellen; der Satz von Fermat; der Satz von Rolle; der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung; der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und seine Folgerungen: die Regel von l’Hospital, das Monotonieverhalten differenzierbarer Funktionen; konvexe und konkave Funktionen: ihre Charakterisierungen mit Hilfe der ersten und der zweiten Ableitung).
10. Die Taylorsche Formel und die Taylorsche Entwicklung (Definition des n-ten Taylorpolynoms einer Funktion; der Satz von Taylor mit dem Schlömilchschen Restglied; die Restglieder von Lagrange und Cauchy; Taylorsche Entwicklungen).
11. Stammfunktionen und unbestimmte Integrale (der Nullstellensatz und der Zwischenwertsatz für Ableitungen; Definition der Stammfunktion einer Funktion; Integrationsregeln; die Substitutionsregel für die unbestimmte Integration).  Das Riemannsche Integral (Zerlegungen und Riemannsche Zerlegungen eines kompakten Intervalls; Definition des Riemannschen Integrals; die Beschränktheit Riemann-integrierbarer Funktionen; die Liniarität des Riemann-Integrals; die Charakterisierung für die Riemmannsche Integrierbarkeit mit Hilfe von Folgen; die Monotonieeigenschaft des Riemann-Integrals).
12. Das Riemannsche Integral (der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: die Formel von Leibniz-Newton; das Kriterium von Cauchy für die Riemmannsche Integrierbarkeit; die Additivität des Riemann-Integrals bezüglich des Intervalls; Unter- und Obersummen; das Kriterium von Darboux für die Riemmannsche Integrierbarkeit und seine Folgerungen: die Riemannsche Integrierbarkeit monotoner Funktionen und die Riemannsche Integrierbarkeit stetiger Funktionen; der Mittelwertsatz der Integralrechnung; der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; die Regel für die partielle Integration; die Substitutionsregel 
      für das bestimmte Integral; das Kriterium von Lebesgue für die Riemmannsche Integrierbarkeit und seine Folgerungen).
13.  Funktionenfolgen und Funktionenreihen (punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge; Charakterisierungen für die punktweise und für die gleichmäßige Konvergenz  einer Funktionenfolge; Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktionenfolge: die Beschränktheit, die Existenz des Grenzwertes in einem Punkt, die Stetigkeit , die Differenzierbarkeit, die Riemannsche Integrierbarkeit; punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe;  Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe; Eigenschaften der Summe einer Funktionenreihe). 
14. Ergänzungen zu Folgen und Reihen reeller Zahlen (Häufungswerte von Folgen; die verschärfte Form des Wurzel- und Quotientenkriteriums für Reihen reeller Zahlen); Potenzreihen (Definition der Potenzreihe; Konvergenzradius und Konvergenzmenge einer Potenzreihe; die gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe; Eigenschaften der Summenfunktion einer Potenzreihe: Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Existenz der Stammfunktion; Potenzreihenentwicklungen von Funktionen; Operationen mit Potenzreihen; der Identitätssatz  für Potenzreihen). Wiederholung des gesamten Stoffes.

Übungen: Inhaltlich sind die Übungen auf die Vorlesungen abgestimmt und bezwecken das Vertiefen des in der Vorlesung behandelten Stoffes durch das Lösen von Aufgaben in Gruppenübungen (die Aufgaben werden hauptsächlich aus [3] und [5] ausgesucht).

1.	Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen, rekursive Definitionen und induktive Beweise (Lösen von Aufgaben).
2.	Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen, Folgerungen aus dem Schnittaxiom (Lösen von Aufgaben).
3.	Reelle Zahlenfolgen (Beispiele konvergenter und divergenter Zahlenfolgen; der Satz von Stolz; Lösen von Aufgaben).
4.	Reelle Zahlenfolgen und unendliche Reihen reeller Zahlen (die eulerschen Zahlen e und γ; das Bestimmen der Summe von unendlichen Reihen; Teleskopreihen; Lösen von Aufgaben).
5.	Konvergenz- und Divergenzkriterien  für Reihen (Lösen von Aufgaben).
6.	Grenzwerte von Funktionen (Beispiele; die Potenz- und Exponentialfunktion;  Lösen von Aufgaben).
7.	Stetige Funktionen (Beispiele; die Logarithmusfunktion; die Winkelfunktionen; Lösen von Aufgaben).
8.	Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen; differenzierbare Funktionen (die Differentiation elementarer Funktionen; Lösen von Aufgaben).
9.	Differenzierbare Funktionen (Anwendungen der in der Vorlesung vorgestellten Ergebnisse; Beispiele; Lösen von Aufgaben).
10.	 Bestimmen des Schaubildes einer Funktion; Beispiele für Taylorsche Entwicklungen; Lösen von Aufgaben. 
11.	 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale (Tafel der Grundintegrale; die Integration der rationalen Funktionen; wichtige Substitutionen; Lösen von Aufgaben).
12.	 Das Riemannsche Integral (der Zusammenhang zwischen den Riemann-integrierbaren Funktionen und jenen, die eine Stammfunktion besitzen; Bestimmen von Grenzwerten von Zahlenfolgen mit Hilfe der Theorie zum Riemann-Integral; Lösen von Aufgaben).
13.	 Funktionenfolgen und Funktionenreihen (Lösen von Aufgaben).
14.	 Potenzreihen (Lösen von Aufgaben).	

VII. Unterrichtsmethoden
     Vortrag, Unterrichtsgespräch, Problematisierung, Aufgabenlösen, Selbststudium, Gruppenübungen	

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen
In der Mitte des Semesters wird eine Kontrollarbeit geschrieben, für die man den Stoff der ersten sieben Vorlesungen und Übungen vorzubereiten hat. Es wird die Fähigkeit geprüft, Aufgaben (sowohl theoretischer, als auch rechnerischer Art) mit den Methoden der Analysis 1 selbständig zu lösen. Diejenigen, die mit der in der Kontrollarbeit erzielten Note zufrieden sind, vorausgesetzt, dass diese gröβer oder gleich als 4.5 ist, werden in der schriftlichen Prüfung im Januar/Februar nur aus dem Stoff der letzten sieben Vorlesungen und Übungen geprüft werden.  In diesem Fall ist die Gesamtnote für das Fach Analysis 1 das arithemtische Mittel der in der Kontrollarbeit und in der Prüfung erzielten Noten, zu dem man gegebenenfalls noch einen Bonuspunkt addiert. In den anderen Fällen (entweder wenn man die Kontrollarbeit nicht geschrieben hat, oder mit der in ihr erzielten Note nicht zufrieden ist, oder diese Note kleiner als 4.5 ist), hat man für die schriftliche Prüfung  im Januar/Februar den Stoff aller vierzehn Vorlesungen  und Übungen vorzubereiten. Die Gesamtnote wird dann die in dieser Prüfung erzielte Note + eventuell einem Bonuspunkt sein. Der Bonuspunkt wird für in den Übungen erzielte  Leistungen oder an den Tag gelegten Fleiβ vergeben.

Die gleichen Regeln gelten auch für die Nachprüfung.   	

IX. Zusatzliteratur
1. S. COBZAS: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 1997.
2. JAHNKE H. N.: Geschichte der Analysis. Spektrum Verlag, 1999.
3. M. MEGAN: Analiza matematica, vol. 1,2. Editura Mirton, Timisoara, 1999.
4. RUDIN W., Analysis. Oldenbourg, 2002.
5. ZORICH V. A.: Mathematical Analysis. Springer, Berlin, 2004.	

Dekan,					      Lehrstuhlleiter,
Prof. Dr. Tambulea Leon                                    Prof. Dr. Cobzas Stefan

Datum,					        Verantwortliche Lehrkraft,
5. März 2009					        Doz. Dr.  BRECKNER Brigitte Erika