Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FIŞA DISCIPLINEI

Codul	Disciplina	
MO266	Capitole speciale de matematica moderna (1)	

Specializarea	Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
Algebră şi Geometrie - în limba engleză	1	2+1+0		obligatorie	
Analiză Reală şi Complexă - în limba engleză	1	2+1+0		obligatorie	

Titularii de disciplină	Prof. Dr. COBZAS Stefan, scobzas@math.ubbcluj.ro
Conf. Dr. ANISIU Valeriu, anisiu@math.ubbcluj.ro	
Obiective	Prezentarea unor rezultate fundamentale din teoria punctelor fixe in legatura cu pricipiile variationale si cu aplicatii la teoria punctului critic, cea mai buna aproximare, teorie ergodica, minimax si teoria jocurilor. 

To present some results from the geometric theory of Banach spaces with applications to the differentiability of convex functions and to holomorphic vector functions.	
Conţinutul	Principiul contractiei al  lui Banach si teorema lui Edelstein de punct fix pentru aplicatii contractive.
Exemple: izometrii si aplicatii contractive fara punct fix, un spatiu metric incomplet avand propietatea de punct fix pentru contractii.
Multimi partial ordonate, Lema lui Zorn, Axioma Alegerii. Teoreme de punct fix in multimi partial ordonate: Zermelo, Knaster-Tarski, Tarski-Kantorvich, Birkhoff-Tarski.
Principiul lui Brezis-Browder de maximalitate, teorema lui Caristi-Kirk de punct fix, principiul variational al lui Ekeland,. Aplicatii la puncte critice. Completitudine.
Cea mai buna aproximare in spatii normate: existenta, strict convexitate si unicitate, functia distanta si proiectia metrica. Exemple in spatii Banach concrete.
Proiectia metrica in spatii Hilbert: existenta, caracterizare variationala, si neexpansivitatea proiectiei metrice pe submultimi convexe si inchise. Teorema ergodica a lui von Neumann.
Teorema de punct fix a lui Brouwer &#8211; rezultate preliminarii: retracte, contractibilitate, conditii echivalente. Demonstratia lui Milnor a teoremei lui Brouwer si a teoremei Hairy Ball.
Teorema lui Brouwer pentru submultimi finit dimensionale, convexe, marginite si inchise ale spatiilor vectoriale topologice Hausdorff.
Aplicatii ale teoremei lui Brouwer: convexitatea multimilor Cebyshev in Rn, submultimile din Rn cu proprietatea de unicitate a celor mai departate puncte sunt singletoane.

Puncte fixe in spatii infinit dimensionale

Exemplele lui Kakutani si Leray de invaliditate a teoremei lui Brouwer in spatii normate infinit dimensionale. Orice spatiu normat infinit dimensional contine o submultime convexa, inchisa si marginita fara propietatea de punct fix pentru aplicatii continue.
Proiectii Schauder si teorema lui Schauder de punct fix.
Aplicatii multivoce &#8211; semicontinuitate inferioara si superioara. Teoremele de punct fix ale lui Kakutani si Ky Fan. Aplicatii la teoreme de minimax si la teoria jocurilor &#8211; teorema lui von Neumann.
Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive in spatii Hilbert si teorema ergodica a lui Baillon.
Metode iterative pentru aplicatii neexpansive in spatii Hilbert: Krasnoselski, Mann, Ishikawa. Aplicatii la siruri recurente.
Metrica Pompeiu-Hausdorff (PH) &#8211; definitie, proprietati si completitudinea in raport cu metrica PH a diferitelor clase de submultimi ale unui spatiu metric (compacte, de exemplu), sau normat (convexe, marginite si inchise, convexe compacte, convexe slab compacte)
Teorema  lui Nadler de punct fix pentru contractii multivoce si extensii.
	
Bibliografie	1. Y. Benyamini and  J. Lindenstrauss, Geometric Nonlinear Functional Analysis, AMS 2000
2. V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points,  LNM 1912,  Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 2007.                                            
3.  M. Fabian et al., Functional Analysis and Infinite Dimensional Geometry, Springer 2000
4.    K. Goebel and W. A. Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge   UP 1998                                                  
5.  V. I. Istratescu, Introducere in Teoria Punctelor Fixe, Ed. Academiei, Bucuresti, 1973, [English translation: D. Reidel Publishing   Co., Boston 1981].     
6.  M. A. Khamsi and W. A. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory, Wiley, New York, 2001.                                                                                                      
7. R.R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability. 2nd edition. LNM 1364, Springer-Verlag 1993.
	
Evaluare	Activitate la seminar 25%; prezentarea unui referat 25 %; examen scris 50%.