Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FIŞA DISCIPLINEI

Codul	Disciplina	
MO261	Analiză funcţională aplicată (în limba engleză)	

Specializarea	Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
Analiză Reală şi Complexă - în limba engleză	1	2+1+1		obligatorie	

Titularii de disciplină	Prof. Dr. COBZAS Stefan, scobzas@math.ubbcluj.ro	
Obiective	Prezentarea unor notiuni din teoria geometrica a spatiilor Banach cu aplicatii la diferentiabilitatea functiilor convexe si la functii olomorfe cu valori vectoriale.	
Conţinutul	1. Complemente de teoria spatiilor Banach. 
Functionale de suport, aplicatii la studiul celei mai bune aproximari in spatii normate, teorema lui Bishop-Phelps de subreflexivitate si teorema lui James de caracterizare a reflexivitatii. Multimi slab compacte-teorema lui Eberlein-Shmulyan si teorema lui James-Pryce. Teorema lui Goldstein de densitate punctuala a unui spatiu Banach in bidualul sau. Operatori slab compacti -teorema lui Gantmacher.

2. Proprietati geometrice ale spatiilor normate
Spatii normate strict convexe, local uniform convexe si uniform convexe. Reflexivitatea spatiilor Banach uniform convexe. Uniform convexitatea spatiilor Lp  si calculul modulelor lor de uniform convexitate. Caracterizari ale functionalelor de suport si ale punctelor extremale ale bilelor unitate in  unele spatii Banach concrete. Spatii cu structura normala si puncte fixe pentru aplicatii neexpansive.

3. Elemente de calcul diferential si integral in spatii normate.
Diferentialele Gateaux si Frechet si legatura dintre ele. Reguli ale calculului diferential in spatii normate. Diferentiala inversei unei aplicatii, teorema de inversare locala si teorema functiei implicite. Aplicatii biliniare si diferentiale de ordinul doi. Aplicatii multiliniare si diferentiale de ordin superior. Formula lui Taylor. Extreme conditionate-teorema lui Liusternik.
Functii convexe. Diferentiabilitatea functiilor convexe-teorema lui Mazur de diferentiabilite Gateaux generica. Diferentiabilitatea Frechet.
Proprietati de netezime ale spatiilor normate-diferentiabilitatea Gateaux si Frechet a normei, spatii netede, local uniform netede si uniform netede, spatii Asplund, exemple.
Functii vectoriale cu variatie marginita si integrala Riemann a functiilor cu valori intr-un spatiu normat. Functii analitice si functii olomorfe vectoriale. Formula lui Cauchy. Echivalenta dintre olomorfia slaba si cea tare.  Aplicatii la calculul spectral al operatorilor.

4. Teoreme de tip Hahn-Banach pentru operatori liniari  
 Proprietatea intersectiei finite si teorema lui Nachbin de prelungire a operatorilor liniari si continui . Caracterizarea spatiilor Banach avand proprietatea intersectiei finite. Teoremele lui Kantorovich si Krein de prelungire a aplicatiilor liniare pe spatii ordonate. Echivalenta valabilitatii teoremei lui Hahn-Banach cu existenta supremumului in spatii vectoriale ordonate.	
Bibliografie	1. DEVILLE R., GODEFROY G., ZIZLER V.: Smoothness and Renormings in Banach Spaces.New York: John Wiley, 1993.
2. FABIAN M. et al.: Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry. Berlin - New York: Springer Verlag, 2001. 
3. GILES J. R.: Convex Analysis with Applications in the Differentiation of Convex Functions. London:  Pitman, 1982.
5. HOLMES R. B.: Geometric Functional Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1975.
6. KANTOROVICI  L. V., AKILOV G. P.: Analiza functionala. Bucuresti: Editura Stiintifica si Enciclopedica, 1986.
7. KUTATELADZE S. S.: Fundamentals of Functional Analysis. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. 
8. MUNTEAN I.: Analiza functionala. Capitole speciale. Cluj-Napoca: Universitatea Babes-Bolyai, 1990.
9. RUDIN W.: Functional Analysis. New York: McGraw Hill, 1973.
10. YOSIDA K.: Functional Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1995.
	
Evaluare	activitati la seminar 25%; refrat 25%; examen scris 50%