Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică-Informatică-linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MO010	Rezolvarea numerică a ecuaţiilor	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
8	2+2+0		opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr.	Conf.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unor notiuni si rezultate privind principalele metode iterative si convergenta acestora.	

IV. Conţinutul disciplinei
Elemente de analiza functionala in spatii liniare normate. Spatiul Banach al aplicatiilor liniare si continue si a aplicatiilor n-liniare si continue. Teorema lui Banach privind existenta inversei si aproximarea inversei prin metoda lui Schultz.
Elemente de calcul diferential in spatii liniare normate. Diferentiale Frechet de diferite ordine si determinarea lor. Polinomul abstract al lui Taylor si formule de tip Taylor in cazul apliocatiilor intre spatii liniare normate. 
Aproximarea solutiilor unei ecuatii operationale cu ajutorul metodelor iterative care deriva din polinomul abstract al lui Taylor. Metode de tip Cebisev si convergenta lor.
Metoda lui Newton-Kantorovici. Includerea ei printre metodele iterative de tip Cebisev. Teorema de coinvergenta a lui Kantorovici si cazuri in care solutia este unica. Aplicatii la diferite clase si tipuri particulare de ecuatii.
Aproximarea solutiilor ecuatiilor in spatii Banach cu ajutorul sirurilor aproximante. Notiunea de sir aproximant si de ordin a acetuia. Teoreme de convergenta si de accelerare a convergentei. Metode interative care utilizeaza diferentele divizate si metode iterative care permit aproximarea simultana a solutiei si a inversei unui operator liniar care intervine.	

V. Bibliografie
1. DIACONU, A., The acceleration of the convergence of certain approximant sequnces, PU.M.A. 11(2000), nr.2, 187-207.
2. KANTOROVICI, L.,V., AKILOV, G.,P., Analiza Functionala, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986.
3. PAVALOIU, I., Introducere in teoria aproximarii solutiilor ecuatiilor, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976.
4. PAVALOIU,I., Rezolvarea ecuatiilor prin interpolare, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1981.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Prezentare generală a tematicii cursului. Clasificarea ecuaţiilor şi a metodelor lor de rezolvare. O teorie generală a aproximării soluţiilor ecuaţiilor.
Seminarul 1. Interpolarea cu noduri simple a funcţiilor reale de variabilă reală. Polinomul de interpolare inversă a acestor funcţii.

Cursul 2. Elemente de analiză funcţională multiliniară în spaţii liniare normate. Spaţiul aplicaţiilor m-liniare şi continue între spaţii liniare normate. Teoreme de caracterizare a unei aplicaţii m-liniare şi continue. Norma unei aplicaţii m-liniare şi continue.
Seminarul 2. Construcţia unor aproximante pentru soluţiile ecuaţiilor în mulţimea numerelor reale cu ajutorul polinomului de interpolare inversă.

Cursul 3. Inversarea operatorilor liniari. Aproximarea inversei. Metoda lui Schultz de aproximare a inversei. Convergenţa algoritmului obţinut.
Seminarul 3. Evaluarea restului aproximării pentru aproximarea soluţiilor unor ecuaţii folosind polinomul de interpolare inversă folosind o generalizare a teoremei lui Rolle. 

Cursul 4. Noţiunile de ordin de convergenţă şi de indice de eficienţă al unui şir convergent. Determinarea ordinului de convergenţă şi al indicelui de eficienţă în cazul şirului de aproximare al inversei.
Seminarul 4. Diferenţele divizate şi rolul lor în teoria aproximării soluţiilor. Definiţia şi unele relaţii importante în legătură cu diferenţele divizate. Restul aproximării prin polinoame de interpolare exprimat cu ajutorul diferenţelor divizate.

Cursul 5. Unele teoreme de prelungire ale funcţionalelor liniare cu aplicaţii la constrcţia polinoamelor abstracte de interpolare pentru aplicaţii între spaţii liniare normate. Polinoame de aproximare inversă. Aproximarea rădăcinilor ubei ecuaţii. Cazul particular al spaţiilor cu produs scalar.
Seminarul 5. Aproximarea rădăcinilor unei ecuaţii cu utilizarea diferenţelor divizate. Studiul diferitelor cazuri particulare. 

Cursul 6. Elemente de calcul diferenţial pentru aplicaţii între spaţii liniare normate. Liniaritatea proprietăţii de diferenţiabilitate şi a operatorului de diferenţiere. Diferenţiala Aplicaţiei compuse şi a aplicaţiei inverse.
Seminarul 6. Interpolarea polinomială cu noduri multiple. Polinomul de interpolare a lui Hermite. Deducerea expresiei acestui polinom de interpolare în anumite cazuri particulare importante. Evaluarea restului aproximării în interpolarea Hermite.

Cursul 7. Diferenţiale de ordin superior.  Formula lui Taylor pentru aplicaţii neliniare definite între spaţii liniare normate. Aproximări ale soluţiilor ecuaţiilor cu ajutorul polinomului abstract al lui Taylor. .  O generalizare a rezultatului din cursul anterior pentru cazul în care diferenţiala de ordin superior este lipschitziană.
Seminarul 7.  Interpolarea inversă Hermite. Aproximarea soluţiilor unei ecuaţii prin interpolarea inversă Hermite. Evaluarea restului acestei aproximări. Studiul anumitor cazuri particulare.

Cursul 8. Aproximari ale soluţiilor ecuaţiilor în spaţii liniare normate cu ajutorul polinomului abstract al lui Taylor ataşat aplicaţiei inverse. Obţinerea unor mrtode iterative de aproximare cu ajutorul acestui polinom abstract. Evaluarea restului de aproximare. Cazuri particulare de metode obţinute pe această cale.
Seminarul 8.  Metode iterative de aproximare a soluţiilor unei ecuaţii în mulţimea numerelor reale, generate cu ajutorul polinomul de interpolare inversă cu noduri simple şi multiple. Cazuri particulare.

Cursul 9.  Convergenţa metodei iterative generale obţinute cu ajutorul polinomului abstract al lui Taylor ataşat aplicaţiei inverse. Studiul ordinului de convergenţă.
Seminarul 9. O teoremă de convergenţă a metodei iterative generate cu ajutorul polinomului de interpolare inversă. Evaluarea erorii de aproximare a soluţiei ecuaţiei de către iterata de ordinul n.

Cursul 10. Convergenţa metodei iterative a lui Newton-Kantorovici. Unicitatea soluţiei ecuaţiei într-un domeniu binedeterminat.
Seminarul 10. Rezultate asupra ordinului de convergenţă al metodei iterative iterative generate cu ajutorul polinomului de interpolare inversă. Determinarea unui interval în care acest ordin de convergenţă se află. Studiul cazului cînd ordinele de multiplicitate ale nodurilor care se folosesc sunt egale.

Cursul 11. Stabilirea unei teoreme generale de convergenţă pentru un şir aproximant general cu ordin de convergenţă înalt. Convergenţa metodei clasice a lui Cebîsev
Seminarul 11. Rezultate asupra metodei lui Newton pentru ecuaţii în mulţimea numerelor reale. O teoremă de convergenţă cu existenţa soluţiei folosind semnul derivatelor 1 şi 2 ale funcţiei.

Cursul 12. Metode iterative de aproximare pentru soluţiile unor ecuaţii care folosesc diferenţe divizate abstracte generalizate. Metoda coardei, metoda lui Steffensen , convergenţa lor şi studiul ordinului de convergenţă.
Seminarul 12. Rezultate asupra convergenţei metodei lui Cebîsev, a metodei coardei şi a metodei lui Steffensen pentru ecaţii în mulţimea numerelor reale.	

VII. Metode didactice folosite
Demonstraţia riguroasă a rezultatelor enunţate. Se vor avea în vedere şi unele aplicaţii practice ale acestor metode. 	

VIII. Evaluare
Referat la seminar în timpul semestrului. Examen oral.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. ARGYROS, I.,K., Polinomial Operator Equation in Abstract Spaces and Applications.-CRC Press Boca Raton, Boston, London, New-York, Washington D.C., 1998.
2. PĂVĂLOIU. I., POP. N., Interpolare şi aplicaţii,  Editura RISOPRINT, Cluj-Napoca, 2005. 	

  DECAN:                                                                        ŞEF DE CATERRĂ:

  DATA:                                                                                Titular de curs:
3.12.2007                                                                     Conf. Dr. ADRIAN DIACONU