Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică -linia de studiu germană
Limba de predare: Germană

SYLLABUS

I. Allgemeine Daten
Kennnummer	Disziplin	
MMP0001	Probabilităţi – Wahrscheinlichkeitstheorie	

Semester	Stunden: V+S+L	Kategorie	Status	
4	2+2+0	Grundvorlesung	Pflichtvorlesung	

II. Lehrkräfte der Universität
Name und	Wiss.	Position	Lehrstuhl	Lehrveranstaltung	
Vorname	Grad			V	S	L	
LISEI Hannelore-Inge	Dr.	Lekt.	Calcul Numeric şi Statistic	*			

Assozierte Lehrkräfte
Name und	Wiss.	Institution	Position	Lehrveranstaltung	
Vorname	 			V	S	L	

III. Ziele der Disziplin

Die Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und deren Anwendungen sollen vermittelt werden. Behandelt werden die Geseztmäßigkeiten zufälliger Ereignisse und zufälliger Variablen sowie ihre numerischen Merkmale.

IV. Inhalte der Disziplin

● Zufallsexperimente und zufällige Ereignisse
● Wahrscheinlichkeitsraum, bedingte Wahrscheinlichkeiten 
● Klassische Wahrscheinlichkeitsmodelle
● Diskrete und stetige Zufallsvariablen; Verteilungsfunktionen, Dichtefunktionen; 
   unabhängige Zufallsvariablen
● Numerische Merkmale zufälliger Variablen
● Ungleichung von Markov, Ungleichung von Tschebyscheff
● Diskrete und stetige Verteilungen 
● Folgen von Zufallsvariablen, Konvergenzbegriffe
● Charakteristische Funktionen
● Gesetze großer Zahlen; Grenzwertsätze 

V. Pflichtliteratur

1. Agratini O.: Probabilităţi - Culegere de Probleme. Lito Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1992.
2. Blaga P.: Calculul probabilităţilor. Culegere de probleme. Cluj-Napoca: Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1984
3. Blaga P., Rădulescu M.: Calculul probabilităţilor.  Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1987
4. Dehling H., Haupt B.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Springer Verlag, 2004
5. Gnedenko B.V.: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main,1997
6. Lisei H.: Probability Theory. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca,  2004. 
7. Lisei H., Micula S., Soós A., Probability Theory through Problems and Applications, University Press, Cluj-Napoca, 2006. 
8. Nollau V., Partzsch L., Storm R., C. Lange:  Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben. Teubner Verlag, Stuttgart, 1997.

VI. Thematik der wöchentlichen Lehrveranstaltungen

1. Vorlesung: Zufallsexperimente. Zufällige Ereignisse. Ereignisalgebra. Eigenschaften. Vollständiges System von Ereignissen. Literatur: [6: 1.1, 1.2], [3: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4]
Seminar: Gamma-Funktion, Beta-Funktion  [6; Anhang B]

2.Vorlesung: Wahrscheinlichkeitsraum (axiomatische Definition), Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit. Beispiele. Literatur: [6: 1.3, 1.4], [3: 1.5]
Seminar: Lösen von Aufgaben mit Hilfe der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit; Wiederholung von Formeln der Kombinatorik [1] , [2], [5: Kap. 2], [7], [8]

3. Vorlesung:  Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes. Unabhängige  Ereignisse. Lemma von Borel-Cantelli. Literatur: [6:  1.5, 1.6], [3: 1.6]
Seminar: Lösen von Aufgaben: geometrische  Wahrscheinlichkeit, Anwendung der Formel von Bayes [1] , [2],  [5: Kap. 2]

4. Vorlesung: Klassische Wahrscheinlichkeitsmodelle: Schema von Bernoulli. Ziehen mit Zurücklegen – Urnenmodelle mit k-Zuständen. Ziehen ohne Zurücklegen – Urnenmodelle mit 2 bzw. k-Zuständen. Literatur: [6: 2.1, 2.2], [3: Kap. 2]
Seminar:  Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsmodelle (Lösen von Aufgaben aus  [2],  [5: Kap. 2], [7], [8])

5. Vorlesung: Klassische Wahrscheinlichkeitsmodelle: das Modell von Poisson, das Modell von Pascal, das geometrische Modell. Literatur: [6: 2.3, 2.4, 2.5], [3: Kap. 2]
Seminar: Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsmodelle (Lösen von Aufgaben aus [1] ,  [5: Kap. 2], [7])

6. Vorlesung: Diskrete Zufallsvariablen. Verteilungsfunktionen. Eigenschaften und Beispiele. Literatur: [6: 3.1, 3.2], [3: 3.1, 4.1, 4.2]
Seminar: Diskrete Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen (Lösen von Aufgaben aus [1] , [2],  [5: 3.1, 3.2], [7], [8])

7. Vorlesung: Stetige Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen und  Verteilungsdichten. Eigenschaften  und Beispiele. Zufällige Vektoren. Literatur:  [6: 3.3, 3.4, 3.5], [3: 4.3, 5.1, 5.2]
Seminar: Stetige Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen und  Verteilungsdichten (Lösen von Aufgaben aus [1] , [2],  [5: 3.3], [7], [8])

8. Vorlesung: Unabhängige Zufallsvariablen, Eigenschaften. Numerische Merkmale zufälliger Variablen (Teil 1): der Erwartungswert. Literatur: [6: 3.9, 4.1], [3: 5.3, 6.1]
Seminar: Beispiele unabhängiger Zufallsvariablen, Berechnen von Erwartungswerten diskreter, bzw. stetiger zufälliger Variablen (Lösen von Aufgaben aus [7], [8])

9. Vorlesung: Numerische Merkmale zufälliger Variablen (Teil 2):  Momente und absolute Momente k-ter Ordnung, Mittelwerte k-ter Ordnung, Varianz, Korrelation, Korrelationskoeffizient. Ungleichung von Markov, Ungleichung von Tschebyscheff. Literatur:  [6: 4.3, 4.4, 4.5], [3: 6.2, 6.3, 6.4, 7.6]
Seminar: Berechnen von numerischen Merkmalen für diskrete, bzw. stetige zufällige Variablen (Lösen von Aufgaben aus [1], [2], [4], [7], [8])

10. Vorlesung: Folgen von Zufallsvariablen. Fast sichere Konvergenz. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Konvergenz in Verteilung. Konvergenz im quadratischen (r-ten) Mittel. Vergleich der verschiedenen Konvergenzbegriffe. Literatur: [6: Kap. 5], [3: Kap. 8]
Seminar: Studium der Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen (Lösen von Aufgaben aus [4], [7])

11. Vorlesung: Charakteristische Funktion. Definition. Beispiele. Inversionsformel. Eindeutigkeitssatz. Positive Funktionen. Satz von Bochner. Literatur: [6: 6.1, 6.2], [3: Kap. 9]
Seminar:  Beispiele charakteristischer Funktionen (Lösen von Aufgaben aus [1], [2], [7])

12. Vorlesung: Das schwache Gesetz der großen Zahlen. Beispiele. Literatur: [6: 8.1], [3: 10.1]
Seminar: Anwendung des schwachen Gesetzes der großen Zahlen  (Lösen von Aufgaben aus [5: 3.6], [7])

13. Vorlesung: Das starke Gesetz der großen Zahlen. Beispiele. Literatur:  [6: 8.2], [3: 10.2]
Seminar: Anwendung des starken Gesetzes der großen Zahlen  (Lösen von Aufgaben aus [2], [5: 3.6], [7])

14. Vorlesung: Grenzwertsätze: Satz von Lindeberg, Satz von Liapunov, Satz von  Moivre-Laplace. Anwendungen. Literatur:  [6: 9.1, 9.2], [3: 11.1, 11.2]
Seminar: Anwendung  der Grenzwertsätze (Lösen von Aufgaben aus [5: 3.6], [7])

VII. Unterrichtsmethoden

      Die Darstellung der Thematik, Beweise an der Tafel, die Beschreibung, die Erklärung, die Diskussion der Problemstellungen, die Dokumentation, individuelles Studium, Teamarbeit.

VIII. Beurteilung der studentischen Leistungen

Die Gesamtnote für die Disziplin Wahrscheinlichkeitsrechnung wird aufgrund der Leistungen nach der Formel G :=  N1∙ 0.3 + N2∙0.7  berechnet, wobei N1 die Note für die aktive Mitarbeit in den Seminaren, N2 die in der schriftlichen Abschlussarbeit erzielte Note bezeichnet.

IX. Zusatzliteratur

1. Henze N., Stochastik für Einsteiger. Vieweg Verlag, Braunschweig, 2000.
2. Mihoc I.: Calculul probabilităţilor şi statistică matematică. (I, II). Universitatea "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca, 1994. 
3. Shiryaev A. N.: Probability. Springer Verlag, New York, 1995.

	
DEKAN,                                                                             LEHRSTUHLLEITER,

Prof. Dr. BLAGA Petru				     	  Prof. Dr. AGRATINI Octavian

      Datum						             Verantwortliche Lehrkraft,
	
    30.11.2007			    			           Lektor Dr. LISEI Hannelore-Inge