Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MML0009	Complemente de algebră	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
6	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
COVACI Rodica	Dr.	Conf.	Algebră	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
- Completarea cunostintelor de aritmetica si teoria numerelor, combinatorica, teoria grupurilor, teoria inelelor si ecuatii algebrice din cursurile de algebra din semestrele anterioare (obiectiv general).
- Completarea cunostintelor privind introducerea axiomatica a multimii numerelor naturale si constructia multimii numerelor intregi.
- Prezentarea metodei inductiei matematice in toate variantele sale, precum si a unor aplicatii ale acestei metode.
- Prezentarea unor elemente de combinatorica (aranjamente, permutari si combinari cu repetitie) si a unor aplicatii ale acestora.
- Realizarea unui studiu comparativ al aritmeticii numerelor si a polinoamelor.
- Prezentarea unor constructii elementare de inele si corpuri.
- Completarea cunostintelor asupra grupurilor finite : structura unor grupuri finite, actiuni ale grupurilor pe multimi si aplicatii ale grupurilor finite.
- Studiul ecuatiilor algebrice (teorema fundamentala a algebrei) si stabilirea fomulelor de rezolvare pentru ecuatiile de gradul doi, trei si patru.	

IV. Conţinutul disciplinei
1.	Inductia matematica. Combinatorica:  Introducerea axiomatica a multimii N a numerelor naturale (axiomele lui Peano) si constructia multimii Z a numerelor intregi; semiinelul N si inelul Z. Metoda inductiei matematice (variante) : axioma inductiei matematice, principiul inductiei matematice, principiul inductiei noetheriene, principiul inductiei transfinite. Aplicatii ale metodei inductiei matematice. Elemente de combinatorica : aranjamente, permutari si combinari cu repetitie si fara repetitie. Aplicatii ale combinatoricii : numarul maxim de termeni din forma canonica a unui polinom omogen, respectiv neomogen ; formula unui produs de binoame, caz particular binomul lui Newton ; puterea unei sume.
2.	Aritmetica numerelor si a polinoamelor (studiu comparativ):  Relatia de divizibilitate in multimea N a numerelor naturale; teorema impartirii cu rest in N. Relatia de divizibilitate in multimea Z a numerelor intregi; teorema impartirii cu rest in Z (demonstratie bazata pe teorema impartirii cu rest in N). Inelul polinoamelor si teorema impartirii cu rest pentru polinoame. Model de demonstratie in paralel a teoremei impartirii cu rest pentru numere intregi (fara a folosi teorema impartirii cu rest in N) si pentru polinoame peste corpul numerelor complexe. Generalizare : inele euclidiene, relatia de divizibilitate intr-un inel euclidian.
3.	Structuri algebrice:  Principalele structuri algebrice cu una si cu doua operatii algebrice binare interne. O constructie elementara de inele si corpuri. Structura unor grupuri finite (determinarea structurii unor grupuri finite in cateva cazuri particulare). Actiuni ale grupurilor pe multimi, reprezentarea unui grup prin permutari ale unei multimi; legatura dintre actiuni si reprezentari; orbite si stabilizatori. Aplicatii ale grupurilor finite : grupul de simetrie al unei figuri finite, ordinul grupului rotatiilor proprii ale unui cub, ordinul grupului rotatiilor proprii ale moleculei de metan, grupul diedral, metoda de numarare Polya-Burnside.
4.	Ecuatii algebrice : Teorema fundamentala a algebrei (Teorema lui D’Alembert). Numere complexe exprimabile prin radicali. Formulele de rezolvare pentru ecuatiile de gradul doi, trei si patru cu coeficienti complecsi. Natura radacinilor ecuatiei de gradul trei cu coeficienti reali.	

V. Bibliografie

1.	Becheanu, M. si colectiv, Algebra, Editura ALL, Bucuresti, 1998 (biblioteca).
2.	Becheanu, M. si colectiv, Algebra pentru perfectionarea profesorilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983 (biblioteca).
3.	Breaz, S.; Covaci, R., Elemente de logica, teoria multimilor si aritmetica, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006 (biblioteca).
4.	Ion, D. Ion; Nita, C.; Nastasescu, C., Complemente de algebra, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1984 (biblioteca).
5.	Kurosh, A., Higher Algebra, Mir Publishers, Moscow, 1975 (biblioteca).
6.	Nastasescu, C.; Nita, C., Teoria calitativa a ecuatiilor algebrice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1979 (biblioteca).
7.	Popescu, D.; Vraciu, C., Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986 (biblioteca).
8.	Purdea, I.; Pic, Gh., Tratat de algebra moderna, vol. I, Editura Academiei, Bucuresti, 1977 (biblioteca).
9.	Purdea, I.; Pelea, C., Probleme de algebra, Editura Fundatiei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2005 (biblioteca).
10.	Tomescu, I., Probleme de combinatorica si teoria grafurilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981 (biblioteca).	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs:
1. Introducerea axiomatica a multimii N. Constructia multimii Z
    [3, Cap.4, 4.2.2, 4.3.1]
-	Axiomele lui Peano pentru introducerea axiomatica a multimii N a numerelor naturale.
-	Operatii pe multimea N si ordonarea multimii N; semiinelul N.
-	Constructia multimii Z a numerelor intregi.
-	Operatii pe multimea Z si ordonarea multimii Z; inelul Z.
2. Metoda inductiei matematice si aplicatii
    [3, Cap. 4, 4.2.2, p. 165-166, 175-176]; [4, Cap. I, 1.1, 1.2, 1.3]
-	Axioma inductiei matematice si principiul inductiei matematice (primul principiu de inductie).
-	Principiul inductiei noetheriene (al doilea principiu de inductie).
-	Principiul inductiei transfinite.
-	Aplicatii ale metodei inductiei matematice.
3. Elemente de combinatorica: Aranjamente
    [3, Cap. 4, 4.4.1]; [4, Cap. I, 2.1]; [10]
-	Cuvinte cu elemente dintr-o multime.
-	Aranjamente cu repetitie.
-	Multimi ordonate; aranjamente fara repetitie.
4. Elemente de combinatorica: Permutari si combinari
    [3, Cap. 4, 4.4.2, 4.4.3]; [4, Cap. I, 2.2, 2.3, 2.4]; [10]
-	Permutari fara repetitie.
-	Permutari cu repetitie.
-	Combinari fara repetitie; legatura lor cu numarul functiilor strict crescatoare definite intre multimile ordonate finite.
-	Combinari cu repetitie.
5. Aplicatii ale combinatoricii
    [4, Cap. I, 2.5]; [10]
-	Numarul maxim de termeni din forma canonica a unui polinom omogen.
-	Numarul maxim de termeni din forma canonica a unui polinom neomogen.
-	Formula unui produs de binoame; caz particular: binomul lui Newton.
-	Puterea unei sume (Formula multinomului).
6. Relatia de divizibilitate si teorema impartirii cu rest in N si in Z
    [3, Cap. 5, 5.1.1, 5.1.2, 5.2.1, 5.2.2]
-	Relatia de divizibilitate in multimea N a numerelor naturale.
-	Teorema impartirii cu rest in N.
-	Relatia de divizibilitate in multimea Z a numerelor intregi.
-	Teorema impartirii cu rest in Z.
7. Model de demonstrare in paralel a teoremei impartirii cu rest pentru numere intregi si pentru polinoame. Inele euclidiene
    [4, Cap. II, 1, 2, 3]; [8, Cap. IV, 4.6]
-	Inelul polinoamelor. 
-	Teorema impartirii cu rest pentru polinoame.
-	Demonstratie in paralel a teoremei impartirii cu rest in inelul Z si a teoremei impartirii cu rest in inelul polinoamelor.
-	Generalizare: inele euclidiene, relatia de divizibilitate intr-un inel euclidian.
8. O constructie elementara de inele si corpuri
    [4, Cap. III, 1.2, 1.3]; [9]
-	Principalele structuri algebrice cu una si cu doua operatii binare interne (sinteza).
-	O constructie elementara de inele si corpuri.
9. Structura unor grupuri finite
    [4, Cap. III, 2.1, 2.2, 2.3]; [9]
-	Exemple de grupuri finite; grupuri de permutari.
-	Tipurile de grupuri cu n elemente.
-	Structura grupurilor finite in cateva cazuri particulare; teoreme de structura.
10. Actiuni ale grupurilor pe multimi
      [4, Cap. III, 3.2]; [7, Cap. IV, 1, 3]; [9]
-	Actiunea unui grup pe o multime.
-	Reprezentarea unui grup prin permutari ale unei multimi.
-	Legatura dintre actiuni si reprezentari.
-	Orbite si stabilizatori.
11. Aplicatii ale grupurilor finite
      [4, Cap. III, 3.1, 3.2, 3.3]
-	Grupul de simetrie al unei figuri finite.
-	Ordinul grupului rotatiilor proprii ale unui cub.
-	Ordinul grupului rotatiilor proprii ale moleculei de metan.
-	Grupul diedral.
-	Metoda de numarare Polya-Burnside.
12. Ecuatii algebrice. Teorema fundamentala a algebrei. Numere complexe exprimabile prin radicali
      [6, Cap. III, 7, Cap. IV, 1, 2, 3]
-	Generalitati despre ecuatiile algebrice.
-	Teorema fundamentala a algebrei (teorema lui D’Alembert).
-	Numere complexe exprimabile prin radicali.
13. Ecuatiile de gradul trei si patru
      [6, Cap. IV, 3]
-	Formula de rezolvare a ecuatiei de gradul trei (formula lui Cardano).
-	Rezolvarea prin radicali a ecuatiei de gradul patru.
14. Natura radacinilor ecuatiei de gradul trei cu coeficienti reali
      [6, Cap. IV, 4]
-	Discriminant al unei ecuatii algebrice de grad n; particularizare pentru n=2, 3.
-	Discutia radacinilor ecuatiei de gradul trei.

Seminar:
1.	Demonstrarea unor proprietati ale operatiilor definite pe multimile N si Z.
2.	Rezolvarea de probleme prin metoda inductiei matematice in diverse variante.
3.	Exemple de probleme ce folosesc aranjamente. 
4.	Exemple de probleme ce folosesc permutari si combinari. 
5.	Probleme legate de binomul lui Newton. 
6.	Probleme legate de relatia de divizibilitate in N si in Z.
7.	Exemple de inele euclidiene.
8.	Lucrare de control.
9.	Detalierea exemplelor de grupuri finite date la curs si completarea lor cu alte exemple.
10.	Exemple de actiuni, orbite si stabilizatori.
11.	Alte aplicatii ale grupurilor finite (numarul circuitelor electrice cu contacte care nu sunt echivalente prin permutarea intrarilor).
12.	Rezolvarea prin radicali a ecuatiei de gradul doi; discutia ecuatiei de gradul doi.
13.	Exemple de rezolvare a unor ecuatii de gradul trei.
14.	Exemple de discutii de ecuatii de gradul trei.	

VII. Metode didactice folosite
Prelegeri, expuneri, conversatia, demonstratia didactica, algoritmizarea, problematizarea,studiul individual, exercitiul.	

VIII. Evaluare
-Activitatea se incheie cu Colocviu (nota C). Studentii vor da o lucrare de control la seminar, in saptamana a 8-a a semestrului (nota L). Lucrarea de control va verifica definitiile, exemplele , enuntul teoremelor si problemele din capitolele 1 si 2 ale cursului.
-Nota finala N se calculeaza astfel:  N=(L + 3C)/4.	

IX. Bibliografie suplimentară
1.	Covaci, R., Algebra si programare liniara, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1986 (biblioteca).
2.	Miron, R.; Branzei, D., Fundamentele aritmeticii si geometriei, Editura Academiei, Bucuresti, 1983 (biblioteca).
3.	Vraciu, C.; Vraciu, M., Elemente de aritmetica, Editura ALL, Bucuresti, 1998 (biblioteca).	

	Data, 25.04.2007							Titular curs,
								Conf. Dr. COVACI Rodica