Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Informatică
Programul de studii: Informatică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MML0002	Algebra	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
1	3+2+0	alaptárgy	kötelező	

II. Főállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
SZANTO Csaba Lehel	Dr.	adjunktus	Algebra	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkitűzései
Az előadás célja a lineáris algebra alapjainak bemutatása az algoritmikus módszerek illetve az informatikai alkalmazások kiemelésével. Az absztrakt levezetések többnyire mellőzve lesznek. A hangsúly az alapfogalmak és az explicit algoritmusok megértésén illetve ezek gyakorlati alkalmazásán van.

A szemináriumok célja az előadáson bemutatott fogalmak begyakorlása explicit példákon, gyakorlófeladatokon keresztül, nagy hangsúlyt fektetve a diákok önálló munkájára.	

IV. A tantárgy tartalma
Az első előadások az ismert algebrai struktúrák (halmazok, relációk, függvények, csoportok, gyűrűk, testek,polinomok) alaptulajdonságait tekintik át. A további előadások a lineáris algebra klasszikus fejezeteit követik. Előbb a lineáris algebra alapfogalmai (vektortér, bázis, lineáris függvény és mátrixa, báziscsere) és ezek alaptulajdonságai kerülnek bemutatásra.  Ezután következnek a különféle mátrixalkalmazások és az ezekhez kapcsolódó számolási algoritmusok (determinánsok, mátrix rangja és ezek kiszámolása, mátrix invertálása, lineáris egyenletrendszerek és ezek megoldása). A következő fejezet célja a mátrixok kanonikus alakjainak (trianguláris, diagonális, Jordan-féle normálalak) bemutatása a sajátérték, sajátvektor fogalmának bevezetésével. Szó lesz biliniáris és kvadratikus alakokról, euklidészi terekől és az ezekhez kötődő algoritmusokról. Az utolsó fejezetben a lineáris algebra kriptográfiai alkalmazhatóságát vázoljuk.	

V. Könyvészet
1. MARCUS A.: Algebra [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
1. Fejezet. Alapfogalmak
        	  1. Halmazok és relációk. Csoportok. Részcsoportok. Csoportmorfizmusok. Permutációk. 
   		  (3 óra előadás, 2 óra szeminárium) [1, 1.1.,1.2. fejezet]
        	  2. Gyűrűk, testek. Polinomok. (3+2) [1, 1.3., 1.4. fejezet]

2. Fejezet. Véges dimenziós vektorterek
	1. Vektorterek. Lineáris függvények. Részterek. Generált résztér. Lineáris függőség és                függetlenség (3+2)  [1, 1.5.,2.1.1., fejezet]
2. Bázis fogalma. Steinitz tétele. Dimenzió. Dimenzióképletek. Alternatíva tételek.Vektorterek univerzális tulajdonsága (3+2) [1, 2.1.2.,2.1.3.,2.1.4. fejezet]
3. Lineáris függvény mátrixa. Báziscsere  (3+2) [1, 2.1.5.,2.1.6. fejezet]

3. Fejezet. Determinánsok és mátrixok   	
1. A determináns értelmezése. A determináns induktív értelmezése. Determinánsok tulajdonságai. Számolási módszerek. Híres determinánsok. (3+2)  [1, 2.2.1.,2.2.2.,2.2.3. fejezet]
2. Mátrix rangja. Kronecker rang tétele. Rangszámolási módszerek. Invertálható mátrixok. Inverz mátrix számolása  (3+2) [1, 2.2.3, 2.2.4, fejezet]

4. Fejezet. Lineáris egyenletrendszerek.
1. Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche tételei. Lineáris egyenletrendszerek generikus megoldása (3+2) [1, 2.3.1.,2.3.2. fejezet]
   	2. A kicserélési lemmán alapuló algoritmikus módszerek. (3+2)  [1, 2.3.3. fejezet]

5. Fejezet. Sajátértékek és sajátvektorok
1. Karakterisztikus polinom. Sajátértékek és sajátvektorok, sajátrészterek. Hamilton-Cayley-tétel.Triangularizálható mátrixok.(3+2)  [1, 2.4.1.,2.4.2. fejezet]
   	2. Diagonalizálható mátrixok. Jordan-féle normálalak (3+2)  [1, 2.4.3.,2.4.4. fejezet]

6. Fejezet. Bilineáris és kvadratikus alakok 
   	1. Bilineáris és kvadratikus alakok. Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása Gauss-Lagrange módszerével. Sylvester-tétele (3+2) [1, 2.5.1.,2.5.2.,2.5.3. fejezet]
   	2. Euklideszi terek. Ortonormált bázis. Gram-Schmidt ortogonalizálás. Valós kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása ortogonális transzformációk módszerével (3+2) [1, 2.6.1.-2.6.5 .fejezet]
   
7. Fejezet. Kriptográfiai alkalmazások (3+2).	

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
előadás, beszélgetés, problémafelvetés	

VIII. Értékelés
A félév felénél sor kerül egy zárthelyi dolgozatra, mely majd a végleges jegy 20%-át teszi ki.
A zárthelyi szándékos kihagyása kizárja a vizsgán való részvételt.
Szemináriumon önállóan, helyesen megoldott feladat 0,2-vel emeli a végleges jegyet.

A vizsga írásbeli.	

IX. Kiegészítő könyvészet
1. Fried E.: Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
2. Halmos P.:   Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest  1984.
3. I.D. ION, N. RADU, Algebra (ed.4), Editura Didactica si Pedagogica, 1990. 
4. I.V. PROSKURIAKOV: Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow 1978.
5. S. AXLER: Linear algebra done right. Springer-Verlag, New York, 1997.
6. N. BOURBAKI, Algebre, chap. 1-3, Ed. Hermann, Paris 1970.
7. P. GABRIEL: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin   1996.
8. N. KOBLITZ: A course in number theory and cryptography, Springer,1994.	

	Dátum,						Előadás felelőse,
	2007.04.20							Lect. Dr. SZANTO Csaba Lehel