Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematici aplicate
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MME0003	Modelare matematică	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
4	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
SERBAN Marcel Adrian	Dr.	Lect.	Ecuaţii Diferenţiale	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Cursul constituie o introducere a studentilor in problematica modelarii matematice, intelegerea modului cum matematica intervine in diversele domenii de activitate. Sunt prezentate notiuni de baza din procesul de modelare matematica pentru a putea studia si analiza modele matematice, pentru a putea construi modele ale unor fenomene, in scopul cunoasterii mai adanci a realitatii.	

IV. Conţinutul disciplinei
I. Proces de modelare matematica
 1. Introducere: Etape importante in istoria matematicii
 2. Raportul dintre matematica si aplicatiile sale
 3. Proces de modelare matematica
 4. Modele ce reprezinta simpla transcriere a problemei in limbaj matematic
II Sisteme dinamice
 1. Notiunea de sistem dinamic
 2. Sisteme dinamice generate de ecuatii cu diferente
 3. Stari echilibru, stabilitate
III Modele matematice discrete
 1. Ecuatii liniare cu diferente cu coeficienti constanti
 2. Sisteme de ecuatii liniare cu diferente cu coeficienti constanti
 3. Modele matematice discrete. Ecuatia logistica, modele discrete multispecii
IV. Dinamica populatiilor
 1. Sisteme dinamice continui
 2. Sisteme autonome, stabilitatea solutiilor echilibru
 3. Modele matematice in dinamica unei populatii (Malthus, Verhulst, modele cu recoltare)
 4. Modele matematice multispecii (prada-pradator, competitie, simbioza)
V. Modele matematice in epidemiologie
 1. Modele epidemice de tip: SIR, SIRS	

V. Bibliografie
1. RUS, IOAN A. - IANCU, CRACIUN: Modelare matematica, Editura Transilvania, Cluj-Napoca,  2000
2. IANCU, CRACIUN: Modelare matematica. Teme speciale. Ed. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2002
3. MURRAY,J.D.: Mathematical biology, Springer-Verlag, Berlin,1989.    
4. AGARWAL, R.P., Difference equations and inequalities, 2nd Edition, Theory, Methods and Applications, Marcel Dekker Inc. 2000
5. Arrowsmith, Dynamical systems, Differential equations, maps and chaotic behaviour, Chapmann and Hall, 1992	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Curs 1: Noţiunea de model. Model matematic. Proces de modelare matematică. Evaluarea modelelor. Clasificarea modelelor matematice
Seminar 1: Exemple simple de modele matematice.
[1, cap. 2]

Curs 2: Modele ce reprezintă simpla transcriere a problemei studiate în limbaj matematic.
Seminar 2: Ecuaţii cu diferenţe liniare omogene cu coeficienţi constanţi. Mulţimea soluţiilor.
[1, cap. 2], [4, cap. 2]

Curs 3: Noţiunea de sistem dinamic. Sisteme dinamice discrete generate de ecuaţii şi siteme de ecuaţii cu diferenţe.
Seminar 3: Ecuaţii cu diferenţe liniare omogene cu coeficienţi constanţi. Exerciţii.
[1, cap. 3], [4, cap. 2]

Curs 4: Stări echilibru. Stabilitate pentru sisteme dinamice discrete, cazul ecuaţiilor cu diferenţe de ordinul I şi II
Seminar 4: Ecuaţii cu diferenţe liniare neomogene cu coeficienţi constanţi. Exerciţii.
[4, cap. 2]

Curs 5: Modele matematice discrete în dinamica populaţiilor, problema lui Fibonacci, divizarea celulară, modelul discret al creşterii nelimitate, modelul logistic discret.
Seminar 5: Rezolvarea sistemelor omogene de ecuaţii cu diferenţe liniare cu coeficienţi constanţi. Exerciţii.
[3, cap. 2], [4, cap. 2]

Curs 6: Dinamica ecuaţiei logistice discrete, soluţii echilibru, soluţii periodice.
Seminar 6 : Rezolvarea sistemelor neomogene de ecuaţii cu diferenţe liniare cu coeficienţi constanţi. Exerciţii.
[4, cap. 5], [4, cap. 2]

Curs 7: Modele discrete multispecii, modelul pradă-prădător, modelul de competiţie, modelul de simbioză dintre două specii.
Seminar 7 : Stabilitatea punctelor de echilibru pentru ecuaţii cu diferenţe. Exerciţii.
[3, cap. 3]

Curs 8: Modele epidemice discrete.
Seminar 8 : Stabilitatea punctelor de echilibru pentru sisteme de ecuaţii cu diferenţe. Exerciţii.
[3, cap. 3]

Curs 9: Sisteme dinamice continui. Sisteme autonome, soluţii echilibru, stabilitatea soluţiilor echilibru.
Seminar 9 : Lucrare de control.
 [2, cap. 1]

Curs 10: Modele matematice guvernate de ecuaţii diferenţiale autonome. Modele de dinamica unei populaţii, modelul creşterii nelimitate (Malthus), modelul creşterii limitate (Verhulst).
Seminar 10:  Fluxul, orbitele, portretul fazic pentru ecuaţii diferenţiale autonome. Stabilitatea punctelor de echilibru. Exerciţii.
 [2, cap. 1], [3, cap. 1], [5, cap. 3]

Curs 11: Modele de dinamica unei populaţii cu recoltare, modelul cu recoltare constantă, modelul cu recoltare proporţională.
Seminar 11: Fluxul, orbitele, portretul fazic pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale autonome. Stabilitatea punctelor de echilibru. Exerciţii.
[2, cap. 1], [3, cap. 1]

Curs 12: Modele matematice guvernate de sisteme de ecuaţii diferenţiale autonome. Modele continui multispecii, modelul pradă-prădător, modelul de competiţie, modelul de simbioză dintre două specii. 
Seminar 12: Determinarea punctelor de echilibru şi studiul stabilităţii acestora pentru modelul pradă-prădător, modelul de tip competiţie şi modelul de tip simbioză. Exemplificarea dinamicii prin studiul unor modele particulare cu ajutorul MAPLE
[2, cap. 1], [3, cap. 3]

Curs 13: Modele epidemice. Modelul SIR şi modelul SIRS.
Seminar 13: Determinarea punctelor de echilibru şi studiul stabilităţii acestora pentru modelul de tip SI şi SIS. Exemplificarea dinamicii prin studiul unor modele particulare cu ajutorul MAPLE.
[2, cap. 2], [3, cap. 10]

Curs 14: Tendinţe actuale în modelarea matematică
Seminar 14: Recapitulare finală	

VII. Metode didactice folosite
Prelegerea interactivă, modelarea, demonstraţia, conversaţia, ilustrarea prin produse software (MAPLE) performante, exemplificarea şi problematizarea noţiunilor introduse.  	

VIII. Evaluare
Nota finală se constituie din:
1p oficiu
2p lucrarea de control din timpul semestrului
7p lucrarea scrisa, examenul final.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Lynch S. Dynamical systems with applications using MAPLE, Birkhauser, 2001.
2. Nino Boccara, Modeling complex systems, Springer, 2004. 	

	Decan							Şef de Catedră
	Prof. dr. Leon Ţâmbulea				Prof. dr. Radu Precup

Data,							Titular curs,
	03.03.2009						Lect. dr. ŞERBAN Marcel Adrian