Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematici aplicate
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0014	Optimizare vectorială	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
6	2+1+0	specialitate	opţională	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
POPOVICI Nicolae	Dr.	Lect.	Analiză şi Optimizare	*	*		

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Prezentarea unor concepte şi rezultate fundamentale din teoria optimizării vectoriale şi aplicarea acestora în studiul unor clase speciale de probleme de optimizare multicriterială.	

IV. Conţinutul disciplinei
-	Elemente de analiză convexă pe spaţiul euclidian n-dimensional; conuri convexe şi relaţii de preordine liniare. 
-	Formularea problemelor de optimizare vectorială; puncte (slab-)eficiente ale unei mulţimi în raport cu un con convex; (slab-)eficienţa soluţiilor problemelor de optimizare vectorială. 
-	Funcţii monotone în raport cu o relaţie de preordine; existenţa punctelor eficiente; condiţii necesare şi condiţii suficiente pentru (slab-)eficienţa soluţiilor.
-	Concepte de convexitate generalizată: funcţii con-convexe; funcţii (explicit) con-cvasionvexe; funcţii explicit cvasiconvexe. 
-	Scalarizarea problemelor de optimizare vectorială; metoda coeficienţilor de importanţă; metode parametrice.
-	Structura geometrică şi topologică a mulţimilor de puncte (slab-)eficiente; reductibilitatea problemelor de optimizare multicriterială. 
-	Aproximarea punctelor (slab-)eficiente şi aplicaţii în rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare multicriterială.	

V. Bibliografie
1. BRECKNER, B. E., POPOVICI, N.: Convexity and Optimization : An Introduction. EFES, Cluj-Napoca, 2006.
2. EHRGOTT, M.: Multicriteria Optimization. Springer Verlag, Berlin - Heidelberg, 2005.
3. GÖPFERT, A., RIAHI, H., TAMMER, C., ZĂLINESCU, C.: Variational Methods in Partially Ordered Spaces. Springer-Verlag, New York, 2003.
4. JAHN, J.: Mathematical Vector Optimization in Partially Ordered Linear Spaces. Peter Lang Verlag, Frankfurt, 1986.
5. LUC, D. T.: Theory of Vector Optimization. Springer Verlag, Berlin, 1989.
6. POPOVICI, N.: Optimizare vectorială, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2005.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursuri: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [6] şi [5])

1.	Introducere în domeniul optimizării vectoriale; scurt istoric al teoriei optimizării multicriteriale şi al evoluţiei acesteia spre optimizarea vectorială, stadiul actual al cercetărilor în acest domeniu şi perspectivele de dezvoltare ale optimizării vectoriale. Relaţii de preordine; elemente maximale ale unei mulţimi în raport cu o relaţie de preferinţă indusă de o funcţie de scop; formularea generală a problemelor de optimizare. 
2.	Relaţii de preordine liniare (compatibile cu operaţiile de adunare a vectorilor şi de înmulţire a vectorilor cu scalari). Conuri (convexe, ascuţite, generative, total-generative) şi caracterizări ale acestora; legătura dintre relaţiile de preordine liniare şi conurile convexe. 
3.	Proprietăţi topologice ale conurilor; interiorul relativ şi aderenţa unui con convex; conuri închise; conuri cu interior nevid; conul polar al unei mulţimi; proprietăţi ale conului polar al unui con convex închis; conuri poliedrale.
4.	Concepte de eficienţă în optimizarea vectorială; puncte eficiente şi puncte slab-eficiente ale unei mulţimi în raport cu un con convex; soluţii eficiente şi soluţii slab-eficiente ale problemelor de optimizare vectorială cu funcţii de scop vectoriale (univoce sau multivoce). 
5.	Funcţii scalare (strict) monotone în raport cu o relaţie de preordine şi legătura dintre punctele de extrem ale unor astfel de funcţii şi punctele maximale ale unei mulţimi în raport cu relaţia de preordine considerată; monotonia (strictă) a funcţionalelor liniare şi a unor funcţii de tip distanţă; secţiuni conice ale unei mulţimi; existenţa punctelor eficiente şi a celor slab-eficiente. 
6.	Condiţii suficiente de eficienţă şi slab-eficienţă a punctelor unei mulţimi în raport cu un con convex;  mulţimi con-convexe; condiţii necesare pentru slab-eficienţa punctelor unei mulţimi con-convexe. Puncte propriu-eficiente.
7.	Funcţii con-convexe; caracterizări ale funcţiilor con-convexe (de tip Jensen; prin intermediul epigraficului generalizat; prin intermediul conului polar); proprietatea funcţiilor con-convexe de a transforma mulţimile convexe în mulţimi con-convexe.
8.	Funcţii con-cvasiconvexe; caracterizări ale funcţiilor con-cvasiconvexe (de tip Jensen; prin intermediul mulţimilor de nivel generalizate; prin intermediul direcţiilor extremale ale conului polar); legătura dintre con-convexitate şi con-cvasiconvexitate.
9.	Funcţii explicit con-cvasiconvexe şi funcţii lexicografic cvasiconvexe; caracterizări şi proprietăţi fundamentale ale acestor tipuri de funcţii; legătura dintre explicit con-convexitate, lexicografic cvasiconvexitate şi cvasiconvexitatea în raport cu anumite conuri.
10.	Metode de scalarizare a problemelor de optimizare vectorială; metoda coeficienţilor de importanţă (pentru scalarizarea problemelor de optimizare multicriteriale cu funcţii de scop convexe); metode parametrice (pentru scalarizarea problemelor de optimizare bicriteriale cu funcţii de scop cvasiconvexe, explicit cvasiconvexe, respectiv explicit cvasiafine). 
11.	Mulţimi (slab-)radiante în raport cu un con; structura topologică a frontierei unei mulţimi închise şi radiante în raport cu un con convex având interiorul nevid (omeomorfismul lui Bonnisseau-Cornet).
12.	Reducerea numărului de criterii în optimizarea multicriterială; rolul lemei lui Helly în reducerea numărului de criterii în cazul problemelor de optimizare multicriterială cu funcţii de scop cvasiconvexe, respectiv convexe; reductibilitatea Pareto a problemelor de optimizare multicriteriterială cu funcţii de scop explicit cvasiconvexe sau lexicografic cvasiconvexe.
13.	Mulţimi simplu-umbrite şi mulţimi complet-umbrite în raport cu un con convex; caracterizări ale acestor tipuri de mulţimi; rolul acestora în studiul unor proprietăţi topologice (în special a conexităţii şi a contractibilităţii) mulţimii punctelor eficiente. 
14.	Aproximarea punctelor (slab-)eficiente şi aplicaţii în rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare multicriterială; puncte aproximativ eficiente; şiruri eficiente şi legătura acestora cu şirurile minimizante asociate unor funcţii de scalarizare.        

Seminarii: (ca şi bibliografie se utilizează în principal [6] şi [1])

1.	Exerciţii privind interpretarea geometrică a relaţiilor de preferinţă induse de funcţiile de scop ale unor probleme de optimizare multicriterială, cum ar fi: problemele de locaţie de tip Fermat-Weber, problemele de alocare a resurselor cu mai multe pieţe de desfacere a produselor, ş.a.   
2.	Studiul unor conuri convexe particulare în spaţiul euclidian n-dimensional: conuri poliedrale generate de submulţimi ale bazei canonice, conul lexicografic, conuri de tip Phelps; caracterizarea relaţiilor de preordine induse de aceste conuri. 
3.	Rezolvarea unor exerciţii în care intervin conceptele de con polar, bază a unui con convex, interior (relativ) şi aderenţă a unui con convex, feţe şi direcţii extremale ale conurilor convexe.                           
4.	Exerciţii privind interpretarea geometrică a noţiunilor de eficienţă şi eficienţă slabă în plan şi spaţiu. Determinarea (prin intermediul reprezentărilor geometrice) a soluţiilor eficiente, respectiv slab-eficiente, a unor probleme concrete de optimizare multicriterială.
5.	Studiul monotoniei  şi a monotoniei stricte a unor funcţii scalare concrete în raport cu anumite conuri date, determinarea punctelor de extrem ale acestor funcţii şi stabilirea naturii acestora (eficienţa sau slab-eficienţa).    
6.	Demonstrarea unor condiţii necesare şi/sau suficiente de eficienţă şi slab-eficienţă în lipsa ipotezelor de convexitate. Ilustrarea acestora prin exemple în planul euclidian. 
7.	Stabilirea unor proprietăţi ale funcţiilor con-convexe; reprezentarea geometrică a imaginii unor mulţimi convexe (poliedrale sau nepoliedrale) prin diferite funcţii con-convexe concrete şi identificarea punctelor (slab-; propriu-)eficiente ale acestor mulţimi.
8.	Reprezentarea geometrică a mulţimilor de nivel ale unor funcţii con-cvasiconvexe concrete, precum şi a imaginii unor mulţimi convexe prin aceste funcţii; identificarea punctelor (slab-; propriu-)eficiente ale acestor mulţimi.
9.	Rezolvarea unor exerciţii care evidenţiază proprietăţi specifice ale unor funcţii explicit cvasiconvexe, respectiv lexicografic convexe, cum ar fi funcţiile pseudolineare (în particular fracţionar-liniare).
10.	Rezolvarea geometrică a unor probleme de optimizare multicriterială prin aplicarea metodei coeficienţilor de importanţă şi a metodei parametrice.
11.	Aplicarea metodei coeficienţilor de importanţă pentru rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare liniară bicriterială prin intermediul algoritmului Simplex.  
12.	Aplicarea metodei parametrice pentru rezolvarea numerică a unor probleme de optimizare bicriterială (fracţionar-)liniară prin intermediul algoritmului Simplex.  
13.	Aplicarea teoremelor privind reducerea numărului de criterii pentru rezolvarea unor probleme de optimizare multicriterială în planul euclidian.
14.	Prezentarea unui algoritm pentru rezolvarea problemelor de optimizare multicriterială cu funcţii de scop unimodale; stabilirea eficienţei şirurilor de puncte aproximativ-eficiente generate de acest algoritm.   	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, demonstraţia didactică, problematizarea, exerciţiul, învăţarea prin descoperire.	

VIII. Evaluare
Referat (20% din nota finală),  examen scris şi oral (80% din nota finală).	

IX. Bibliografie suplimentară
1. HILLERMEIER, C.: Nonlinear Multiobjective Optimization: A Generalized Homotopy Approach. Birkhäuser Verlag, Basel - Boston - Berlin, 2001.
2. SAWARAGI, Y., NAKAYAMA, H., TANINO, T.: Theory of Multiobjective Optimization. Academic Press, New York, 1985.
3. YU, P.L.: Multiple criteria decision making: concepts, techniques and extensions. Plenum Press, New York - London, 1985.	

	Data,							Titular curs,
	28.04.2007						Lect. Dr. POPOVICI Nicolae