Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematica
Programul de studii: Matematici aplicate
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0004	Analiză matematică 3	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
3	2+2+0	specialitate	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
DIACONU Adrian	Dr.	Conf.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Aprofundarea unor cunostiinte clasice de calcul integral pentru functii de una si mai multe variabile.

IV. Conţinutul disciplinei
I) Integrale pe drumuri si arce orientate de curba.
 1) Functii vectoriale ( cu valori in Rn ) cu variatie marginita. Functii vectoriale de clasa C1. Calculul variatiei totale a unei functii vectoriale cu valori in Rn de calsa C1.
 2) Drumuri. Drumuri rectificabile, lungimea si functia lungime a unui drum rectificabil, expresia lor in cazul drunurilor de calsa C1.
 3) Tipuri de integrale pe un drum a unei functii reale de n variabile reale Formule de clacul in situatii speciale.
 4) Forme diferentiale liniare si integarea lor. Formule de calcul in situatii speciale.
 5) Primitiva unei functii vectoriale si calculul integralei unei forme diferentiale liniare pe un drum cu ajutorul primitivei functiei generatoare.
 6) Operatii cu drumuri. Comportarea integralei fata de aceste operatii.
 7) Teoreme privind independenta de drum a integralelor pe drumuri a unei forme dieferntiale liniare. Conditii necesare si suficiente de existenta a primitivei unei functii vectoriale. 
 8) Arce orientate. Independenta integralei de drumul reprezentativ al unui arc orientat. Integrala pe un arc orientat.
II) Integrala Riemann a unei functii reale de mai multe variabile reale.
 1) Masura Jordan a unei multimi din Rn. Conditia necesara si suficienta ca o multime sa fie masurabila Jordan prin proprietatea frontierei sale. Domenii simple din R2 si R3 marginite de graficele unor functii continue.
 2) Definitia integrabilitatii si integralei Riemann in cazul functiilor reale de n variabile reale. Marginirea functiilor reale de n variabile reale integrabile Riemann.
 3) Sumele lui Darboux in cazul functiilor reale de n variabile reale. Teorema lui Darboux de caracterizare a integrabilitatii Riemann in acest caz.
 4) Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann.
 5) Aditivitatea fata de domeniul de integrare a integrabilitatii sia integraleui Riemann.
 6) Reducerea unei integrale Riemann a unei functii reale de n variabile reale la integrale iterate. Teorema lui Fubinii. Calculul integralelor duble si triple  prin reducerea la integrale iterate.
 7) Legatura dintre integrala pe un domeniu din R2 si integrala pe frontiera sa orientata. Formula lui Green.
 8) Formula schimbarii de variabila in cazul integralei unei functii de mai multe variabile cu demonstratie in cazul integralei duble. Schimbari de variabila remarcabile in cazul integralei duble si al integralei triple.
III) Integrale pe portiuni de suprafata.
 1) Panze parametrizate in R3. Aria determinata de o panza parametrizata si integrala unei functii definite pe o pinza parametizata in raport cu aria determinata de aceasta.
 2) Forme diferentiale de ordinul 2 in R3 si integrarea lor pe pinze parametrizate.
 3) Varietati orientate de ordinul 2 in R3 si integrarea pe astfel de varietati.
 4) Toremele lui Stokes si Gauss-Ostrigradski pentru legaturile dintre diferitele tipuru de integrale.	

V. Bibliografie

1. BALAZS M.: Analiza matematica, III si IV, Universitate, Cluj-Napoca, 1983,1984
2. BALAZS M., KOLUMBAN I.: Matematikai analizis, Dacia Konivkyado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. BOBOC N.: Analiza matematica, II, Universitate, Bucuresti, 1993
4. BUCUR G., CAMPU E., GAINA S.: Culegere de probleme de calcul diferential si integral, III, Editura tehnica, Bucuresti, 1967
5. COBZAS ST.: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997
6. COLOJOARA I.: Analiza matematica, Ed. did. si ped., Bucuresti, 1983
7. DEMIDOVICI B.P.: Culegere de probleme si exercitii de analiza matematica, Ed. tehnica, Bucuresti, 1956
8. SIKORSKI R.: Advanced Calculus, PWN-Polish Scientific Publishiers, Warsawa, 1969
9. WALTER W.: ANALYSIS I, Zweite Aufl. Berlin, Springer-Verlag,1990
10. ***: Analiza matematica, II, Ed. did. si pedag., Bucuresti, 1980
11. HEUSER H.: Lehrbuch der Analysis.Teil 2. 9. Auflage. Stuttgart: B. G. Teubner, 1995. 

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni

Cursul 1. Funcţii cu variaţie mărginită cu valori în Rⁿ. Aditivitatea faţă de interval a variaţiei totale pentru astfel de funcţii. Drumuri în Rⁿ. Drumuri rectificabile. Lungimea unui drum şi funcţia lungime. Drumuri de clasă C¹. Expresia integrală a unui drum de calsă C¹ (enunţul teoremei de bază).
Seminarul 1. Exemple de drumuri rectificabile şi nerectificabile în R². Exerciţii privind calculul lungimii unor drumuri în R² şi R³ când acestea sunt date printr-o parametrizare. Obţinerea unor formule de calcul în cazul în care drumul din R² are ca imagine graficul unei funcţii. Cazul în care drumul este dat cu ajutorul unei ecuaţii în coordonate polare. Din [6] exerciţiile 3.8- 3.11 şi 3.18-3.36 (pag. 76 - 77).

Cursul 2. Expresia integrală a unui drum de clasă C¹ (demonstraţia lemelor şi a teoremei de bază). Integrala Riemann-Stieltjes a unei funcţii reale de o variabilă reală în raport cu o alta ( recapitulare succintă a definiţiilor şi principalelor rezultate din cursul ANALIZĂ MATEMATICĂ II ). Definirea celor două tipuri de integrale pe drumuri din funcţii reale de m variabile reale ca integrale Riemann-Stietjes. Formule de calcul, în cazuri particulare pentru diferite tipuri de integrale, prin reducere la integrale Riemann.
Seminarul 2. Exerciţii privind calculul unor integrale de diferite tipuri pe drumuri. Formule de calcul în cazurile particulare semnalate şi în seminarul anterioar. Din [6] exerciţiile 3.37 – 3.87 (pag. 78 – 81).

Cursul 3. Forme diferenţiale liniare şi integrarea lor pe drumuri. Formulă de calcul pentru integrala unei forme diferenţiale liniare într-un caz particualar prin reducerea la o integrală Riemann. Funcţii vectoriale defnite pe domenii din Rⁿ care admit primitive. Calculul integralei pe un drum a unei forme diferenţiale liniare în cazul în care funcţia vetorială generatoare admite primitive (o generalizare a formulei lui Leibnitz-Newton). Expresia primitivei unei funcţii vectoriale. Condiţii necesare şi suficiente de existenţă a primitivei unei funcţii vectoriale. 
Seminarul 3. Exerciţii privind verificara faptului că anumite funcţii vectoriale admit primitive, determinarea acestor primitive şi calculul unor integrale pe drumuri din forme diferenţiale liniare cu ajutorul funcţiilor generatoare a formelor diferenţiale liniare de integrat. Din [6] exerciţiile 3.90-3.115 (pag.81-82).

Cursul 4. Operaţii cu drumuri (reuniunea a două drumuri şi drumul invers al unui drum). Comportarea integralelor de diferite tipuri faţă de aceste operaţii. Drumuri de clasă C¹ pe porţiuni. Teorema privind legătura dintre existenţa primitivei şi independenţa de drum a integralei funcţiei vectoriale care admite această primitivă. Drumuri echivalente. Arce orientate de curbă şi drumuri reprezentative ale unui arc arientat de curbă. Teorema privind invarianţa integralei prin inlocuirea unui drum printr-altul echivalent. Integrale pe arce orienate de curbă. Concretizarea unui arc orientat. Arce simple de curbă în Rⁿ.
Seminarul 4.  Verificarea echivalenţei unor drumuri. Demonstrarea unor propoziţii enunţate la curs privind invarianţa integralei de primul tip prin inlocuirea unui drum printr-altul echivalent, integrala de primul tip pe drumul invers şi integrala de primul tip pe un arc simplu. 

Cursul 5. Intervale şi mulţimi elementare din Rⁿ. Definirea volumului unui interval din Rⁿ şi a măsurii unei mulţimi elementare. Proprietăţi referitoare la intervale şi mulţimi elementare. Definiţia măsurabilităţii şi a măsurii Jordan a unei mulţimi din Rⁿ.
Seminarul  5. Aplicaţii în fizică a integralelor pe drumuri. Momente de inerţie,  centre de  greutate, câmp vectorial circulant, lucru mecanic, câmp magnetic, etc.,. Din [6] exerciţiile 3.116- 3.135 (pag.83 - 84).

Cursul  6. O condiţie necesară şi suficientă de măsurabilitate Jordan a unei mulţimi din Rⁿ. Mulţimi cu măsură Jordan nulă. Condiţia necesară şi suficientă ca o mulţime să fie de măsură Jordan nulă. O condiţie necesară şi suficientă de măsurabilitate Jordan a unei mulţimi prin proprietatea frontierei sale.
Seminarul 6. Orice mulţime simplă din R² şi R³  mărginită  de graficele unor funcăţii continue este măsurabilă Jordan. Determinarea ariilor unor mulţimi din R² şi determinarea volumelor unor mulţimi din R³. Din [6] exerciţiile 4.14-4.31 (pag.92) şi 4.88-4.117 (pag. 96 - 97).

Cursul  7.  Proprietăţi ale măsurii Jordan a unei mulţimi din Rⁿ în legătură cu diferitele operaţii cu mulţimi. Măsura exterioară Lebesgue a unei mulţimi din Rⁿ. Mulţimi neglijabile Lebesgue. Legătura cu măsurabilitatea Jordan.
Definiţia integrabilităţii şi a integralei Riemann a unei funcţii reale de n variabile reale. Cazul particular al funcţiilor definite pe un interval din Rⁿ. Mărginirea funcţiilor reale de n variabile reale integrabile Riemann.
Seminarul 7.  Demonstrarea unor proprietăţi legate de măsura Jordan în completare cu cele prezentate la curs. Cazul particular al unor sume Riemann în cazul funcţiilor definite pe un interval din R² respectiv R³.

Cursul 8. Criteriul lui Heine de integrabilitate Riemann. Sumele lui Darboux în cazul funcţiilor reale de n variabile reale şi unele proprietăţi ale lor. Integrala inferioară şi integrala superioară în cazul funcţiilor reale de n variabile reale mărginite. Teorema lui G. Darboux privind caracterizarea integrabilităţii Riemann în cazul funcţiilor reale de n variabile reale cu ajutorul sumelor lui Darboux. Exprimarea integrabilităţii Riemann prin egalitatea dintre integrala inferioară şi cea superioară.
Seminarul 8. Calculul unor integrale din funcţii reale de 2 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor funcţii reale de două variabile reale.
 
Cursul 9. Legătura dintre continuitate şi integrabilitatea Riemann. Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Enunţul şi demonstraţia lemelor ajutătoare şi a teoremei de bază. Integrabilitatea Riemann a funcţiilor continue.
Aditivitatea faţă de domeniul de integare a integrabilităţii şi integralei Riemann.
Seminarul 9. Calculul unor integrale din funcţii reale de 3 variabile reale prin trecerea la integrale iterate. Schimbarea ordinii de integrare în integrale iterate rezultate din integrarea unor funcţii reale de trei variabile reale.
Din [6] exerciţiile 4.79-4.87 pag 95-96 şi exerciţiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 10.  Reducerea unei integrale a unei funcţii reale de n variabile reale la integrale iterate. Teorema lui Fubini, generalizări şi cazuri particulare ale acesteia. Calculul integralelor duble şi triple prin reducerea la integrale iterate.
Seminarul 10. Schimbarea de variabilă în integrala dublă şi triplă. Schimbări de variabilă remarcabile. Din [6] exerciţiile 4.129-4.139 pag.98-99.

Cursul 11. Legatura dintre integrala pe un domeniu din R² şi integrala pe frontiera orientată a acestui domeniu. Formula lui Green.
Pânze parametrizate în R³. Definiţia integralei de primul tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică în raport cu aria determinată de aceasta. Aria determinată de o pânză parametrizată clasică.
Seminarul 11. Exerciţii privind alicarea formulei lui Green. Integrala multiple improprii şi aplicaţii în fizică a integralelor multiple. Din [6] exerciţiile  6.1-6.24, pag.114-116 şi 4.140-4.197.

Cursul 12. Calculul integralei de primul tip a unei funcţii continue definite pe o pânză parametrizată clasică de clasă C¹ în raport cu aria determinată de aceasta. Demonstrarea lemelor aferente şi a teoremei de bază.
Seminarul 12. Exerciţii privind calculul integralelor de primul tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică în raport cu aria determinată de aceasta. Din [6] exerciţiile 5.9-5.35. pag.108-109.

Cursul 13. Forme diferenţiale de ordinul 2 şi integrarea lor pe pânze parametrizate. Varietăţi orientate de ordinul 2 în R³. Integrala unei forme diferenţiale de ordinul 2 în R³ pe o varietate orientate din R³ de acelaşi ordin.
Seminarul 13. Exerciţii privind calculul integralelor de al doilea tip a unei funcţii definite pe o pânză parametrizată clasică. Din [6] exerciţiile 5.36-5.57. pag.109-111.
 
Cursul 14. Porţiuni simple şi porţiuni orientate de suprafaţă şi pânze parametrice reprezentative ale acestora. Integrale pe aceste suporturi. Teoremele lui Stokes şi Gauss-Ostrogradski pentru legăturile dintre diferitele tipuri de integrale.
Seminarul 14. Exerciţii privind teoremele lui Stokes şi Gauss-Ostrogradski pentru legăturile dintre diferitele tipuri de integrale. Din [6] exerciţiile 6.25-6.50. pag.116-118.	

VII. Metode didactice folosite

Intrucerea într-o succesiune logică a noţiunilor şi rezultatelor. Demonstraţia riguroasă. Exerciţiul.	

VIII. Evaluare
Examen scris si oral	

IX. Bibliografie suplimentară
[8]  G. M. FIHTENHOLZ, Calculul diferenţial şi integral, vol II (1964)-III (1965), Editura Tehnică, Bucureşti (traducere din limba rusă).
[9]  M. NICOLESCU, Analiză matematică, (3 volume), I(1957), II(1958), III(1960), Edituara tehnică, Bucureşti.
[10] N. BOBOC, Analiză matematică, Univ. Bucureşti, 1988.
[11] M. MEGAN, Analiză matematică,vol.1-2. Mirton, Timişoara, 1999.
[12] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, Mc Graw New York 1967.
[13] N. DONCIU, D. FLONDOR, GH. SIMIONESCU, Algebră şi analiză matematică (2 volume), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
[14] G. POLYA, G. SYEGÖ, Aufgaben und Lehrsätzeaus der Analysis (2 volume), 1932.
[15] S. RĂDULESCU, M. RĂDULESCU, Teoreme şi probleme de analiză matematică.	

DECAN:                                                                        ŞEF DE CATERRĂ:

  DATA:                                                                                Titular de curs:
3.12.2007                                                                     Conf. Dr. ADRIAN DIACONU