Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Informatică
Programul de studii: Informatică - linia de studiu română
Limba de predare: Română

SYLLABUS

I. Date generale
Codul	Disciplina	
MMA0002	Analiză matematică	

Semestrul	Ore: C+S+L	Categoria	Statutul	
1	3+2+0	fundamentala	obligatorie	

II. Cadre didactice cu norma de bază în Universitate
Numele şi	Titlul	Gradul	Catedra	Tipul activităţii	
prenumele	ştiinţific	didactic		C	S	L	
TRIF Tiberiu-Vasile	Dr.	Lect.	Analiză şi Optimizare	*			

Cadre didactice asociate
Numele şi	Titlul	Instituţia	Tipul	Tipul activităţii	
prenumele	Ştiinţific		postului	C	S	L	

III. Obiectivele disciplinei
Se prezintă noţiunile şi rezultatele de bază referitoare la şiruri şi serii de numere reale, integrala Riemann-Stieltjes, integralele improprii, şiruri şi serii de funcţii, topologia spaţiului euclidian Rn, precum şi la calculul diferenţial al funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.	

IV. Conţinutul disciplinei
1. Şiruri şi serii de numere reale (9 ore curs + 6 ore seminar)
Limitele inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe dreapta reală completată, şiruri fundamentale de numere reale, serii convergente şi serii absolut convergente de numere reale, criterii de convergenţă.
2. Integrala Riemann-Stieltjes (8 ore curs + 6 ore seminar)
Definiţia integralei Riemann-Stieltjes, criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes, calculul integralelor Riemann-Stieltjes prin reducere la integrale Riemann.
3. Integrale improprii (6 ore curs + 4 ore seminar)
Definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte, calculul integralelor improprii, criterii de convergenţă.
4. Şiruri şi serii de funcţii (7 ore curs + 4 ore seminar)
Convergenţă punctuală vs. convergenţă uniformă, criterii de convergenţă uniformă, proprietăţi ale limitei unui şir de funcţii (respectiv ale sumei unei serii de funcţii), serii de puteri, metoda funcţiei generatoare,
5. Topologie în Rn (6 ore curs + 4 ore seminar)
Topologia spaţiului euclidian Rn, şiruri de puncte din Rn, limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială, continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială,
6. Calcul diferenţial în Rn (6 ore curs + 4 ore seminar)
Diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială, derivate parţiale, condiţii de optim.	

V. Bibliografie
1. BRECKNER W. W.: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn. Universitatea din Cluj-Napoca, 1985.
2. BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
3. COBZAŞ ŞT.: Analiză matematică (Calcul diferenţial). Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997.
4. DEMIDOVICI B. P.: Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1956.
5. FIHTENHOLŢ G. M.: Curs de calcul diferenţial şi integral. Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1964. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1965.
6. MEGAN M.: Bazele analizei matematice. Vol. I + Vol. II, Editura EUROBIT, Timişoara, 1997. Vol. III, Editura EUROBIT, Timişoara, 1998.
7. RUDIN W.: Principles of Mathematical Analysis. 2nd Edition, McGraw-Hill, New York, 1964.
8. SIREŢCHI GH.: Calcul diferenţial şi integral. Vol. 1: Noţiuni fundamentale. Vol. 2: Exerciţii, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.
9. TRIF T.: Probleme de calcul diferenţial şi integral în Rn. Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2003.	

VI. Tematica activităţilor didactice pe săptămâni
Cursul 1. Şiruri de numere reale: definiţia marginilor inferioară şi superioară ale unei mulţimi, definiţia limitelor inferioară şi superioară ale unui şir de puncte de pe axa reală completată, caracterizări ale limitei inferioare şi ale limitei superioare, şiruri fundamentale de numere reale, teorema lui Cauchy.
Cursul 2. Serii de numere reale: serii convergente şi serii absolut convergente de numere reale, criteriul general de convergenţă al lui Cauchy, criterii de convergenţă pentru serii de numere reale nenegative (criteriul de condensare al lui Cauchy, criteriul comparaţiei, criteriul lui Kummer).
Cursul 3. Serii de numere reale: criteriul lui D’Alembert, criteriul lui Raabe-Duhamel, criteriul lui Bertrand şi criteriul radical al lui Cauchy, criterii de convergenţă pentru serii de numere reale oarecare (criteriul lui Abel-Dirichlet şi criteriul lui Leibniz pentru serii alternate).
Cursul 4. Integrala Riemann-Stieltjes: definiţia integralei Riemann-Stieltjes, calculul integralelor Riemann-Stieltjes (liniaritatea, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă).
Cursul 5. Integrala Riemann-Stieltjes: criterii de integrabilitate Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie arbitrară (criteriile lui Heine şi Cauchy), aditivitatea integralei Riemann-Stieltjes faţă de interval, criteriul lui Darboux de integrabilitate Riemann-Stieltjes a unei funcţii mărginite în raport cu o funcţie crescătoare).
Cursul 6. Integrala Riemann-Stieltjes: integrabilitatea Riemann-Stieltjes a funcţiilor continue, teorema de medie pentru integrala Riemann-Stieltjes, operaţii cu funcţii integrabile Riemann-Stieltjes în raport cu o funcţie crescătoare, calculul integralelor Riemann-Stieltjes prin reducere la integrale Riemann. Integrale improprii: definiţia integralelor improprii pe diferite tipuri de intervale necompacte, relaţia dintre integrala improprie şi integrala Riemann.
Cursul 7. Integrale improprii: calculul integralelor improprii (liniaritatea, formula lui Leibniz-Newton, integrarea prin părţi, schimbarea de variabilă în integrala improprie), unele integrale improprii remarcabile.
Cursul 8. Integrale improprii: criterii de convergenţă pentru integrale improprii (criteriul lui Cauchy, criteriul comparaţiei, criteriul lui Abel). Şiruri şi serii de funcţii: convergenţa punctuală vs. convergenţa uniformă pentru un şir de funcţii şi respectiv pentru o serie de funcţii, criterii de convergenţă uniformă (criteriul lui Cauchy, criteriul lui Weierstrass, criteriul lui Dini).
Cursul 9. Şiruri şi serii de funcţii: proprietăţi ale limitei unui şir de funcţii, proprietăţi ale sumei unei serii de funcţii, serii de puteri, raza de convergenţă.
Cursul 10. Serii de puteri: teorema lui Cauchy-Hadamard, proprietăţi ale sumei unei serii de puteri, teorema lui Abel-Tauber, dezvoltarea funcţiilor în serii de puteri, formula lui Taylor cu restul lui Lagrange, seriile MacLaurin ale unor funcţii elementare, metoda funcţiei generatoare.
Cursul 11. Topologie în Rn: spaţiul euclidian Rn (produsul scalar, norma euclidiană, distanţa euclidiană), structura topologică a spaţiului Rn (bile, vecinătăţi, puncte interioare, exterioare, aderente, frontieră, de acumulare şi izolate, mulţimi deschise şi mulţimi închise).
Cursul 12. Şiruri de puncte din Rn: şiruri convergente, caracterizarea convergenţei pe coordonate. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia limitei, caracterizarea secvenţială a limitei, operaţii cu funcţii care au limită. Continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială: definiţia continuităţii într-un punct, caracterizarea secvenţială a continuităţii, operaţii cu funcţii continue.
Cursul 13. Calcul diferenţial în Rn: derivata unei funcţii vectoriale de variabilă reală, teorema de medie pentru funcţii vectoriale de variabilă reală, derivate parţiale, aplicaţii liniare, diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială (definiţia diferenţialei, continuitatea funcţiilor diferenţiabile, legătura dintre diferenţială şi derivatele parţiale).
Cursul 14. Calcul diferenţial în Rn: derivate parţiale de ordinul doi, condiţii necesare şi condiţii suficiente de extrem, exemple.

Seminarul 1. Şiruri remarcabile de numere reale: studiul convergenţei unor şiruri remarcabile de numere reale.
Seminarul 2. Serii de numere reale: calculul sumelor unor serii concrete de numere reale.
Seminarul 3. Serii de numere reale: aplicarea criteriilor de convergenţă de la curs la studiul convergenţei unor serii concrete.
Seminarul 4. Primitive: integrarea prin părţi, integrarea funcţiilor raţionale, primitive binome, diferite schimbări de variabilă.
Seminarul 5. Integrale Riemann: diferite metode de calcul al integralelor Riemann.
Seminarul 6. Integrale Riemann-Stieltjes: diferite metode de calcul al integralelor Riemann-Stieltjes, aplicarea în probleme a criteriilor de integrabilitate Riemann-Stieltjes.
Seminarul 7. Integrale improprii: diferite metode de calcul al integralelor improprii.
Seminarul 8. Integrale improprii: studiul convergenţei unor integrale improprii.
Seminarul 9. Şiruri şi serii de funcţii: aplicarea rezultatelor de la curs la studiul convergenţei unor şiruri sau serii de funcţii.
Seminarul 10. Serii de puteri: calculul razei de convergenţă, calculul sumei, aplicaţii la serii de numere reale.
Seminarul 11. Spaţiul euclidian Rn: probleme referitoare la spaţiul euclidian Rn.
Seminarul 12. Limite ale funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială, continuitatea funcţiilor vectoriale de variabilă vectorială.
Seminarul 13. Derivate parţiale şi diferenţiale: se vor calcula derivatele parţiale şi diferenţialele unor funcţii concrete.
Seminarul 14. Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile: determinarea punctelor de extrem local al funcţiilor reale de mai multe variabile.	

VII. Metode didactice folosite
Expunerea, conversaţia, demonstraţia didactică, problematizarea.	

VIII. Evaluare
Se va da o lucrare scrisă, acoperind aproximativ jumătate din materia de la curs şi seminar. Prezenţa la această lucrare este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS1). In sesiune se va mai da o lucrare scrisă, acoperind cealaltă jumătate din materia de la curs şi seminar. Şi la această lucrare prezenţa este obligatorie, iar studenţii vor primi o notă între 1 şi 10 (NS2). Nota finală de la scris va fi
NF=(NS1+NS2)/2.
In cazul în care studentul doreşte modificarea acestei note, el poate susţine şi o probă orală, la care va primi o notă între 1 şi 10 (NO). In acest caz nota finală va fi
NF=(NS1+NS2)/4+NO/2.
In nota finală se va ţine seama şi de participarea activă a studenţilor la seminarii.	

IX. Bibliografie suplimentară
1. Setul de probleme al titularului de curs. Acesta poate fi obţinut trimiţând un e-mail pe adresa ttrif@math.ubbcluj.ro. In e-mail studentul va preciza formatul în care doreşte să primească problemele (formatele disponibile sunt pdf şi ps).	

	Decan,							Şef de catedră,
	Prof. univ. dr. BLAGA Petru			Prof. univ. dr. BRECKNER Wolfgang

	Data,							Titular curs,
29.11.2007	Lect. dr. TRIF Tiberiu-Vasile