Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Licenţă
Domeniul: Matematică
Programul de studii: Matematică informatică - linia de studiu maghiară
Limba de predare: Maghiară

SYLLABUS

I. Általános adatok
Kód	Tantárgy neve	
MMA0001	Analiză matematică 1 (Analiza pe R)	

Félév	Órák: C+S+L	Kategória	Típus	
1	3+2+0	fundamentala	obligatorie	

II. Foállásban az  Egyetem  oktatói
Név	Tudományos	Oktatói	Tanszék	Tevékenység	
	fokozat	státus		E	Sz	L	
KASSAY Gabor	Dr.	Prof.	Analiză şi Optimizare	*			

Társult oktatók
Név	Tudományos	Intézmény	Állás	Tevékenység 	
	fokozat		típusa	E	Sz	L	

III. A tantárgy célkituzései
A tantárgy célja azoknak az alapvető matematikai analízisbeli fogalmak és tulajdonságoknak elsajátítása, melyekre egy hallgatónak (és egy leendő tanárnek) szüksége van/lehet az egyetemi tanulmányaihoz (továbbképzéséhez).  

IV. A tantárgy tartalma
1. Számhalmazok  Teljesen rendezett kommutatív test.A valós számok halmaza. 
    A természetes számok halmaza. Egész számok halmaza. Racionális számok halmaza. Irracionális számok halmaza. A valós számtengely topológiája.
2. Valós számsorozatok. Sorozatok határértéke, a határérték egyértelműsége. Határátmenet az egyenlőtlenségekben. Monoton sorozatok konvergenciája. Műveletek konvergens sorozatokkal. Fundamentális sorozatok. Cauchy tétele.  
3.  Valós számsorok  Általános fogalmak. Pozitív tagú sorok. Általános tagú sorok. Két sor konvolutív (Cauchy) szorzata. 
4.  Függvények határértéke.  A határérték fogalma és egyértelműsége. A határérték jellemzései. A határérték létezésének Cauchy kritériuma. Műveletek határértékkel rendelkező függvényekkel. Határátmenet az egyenlőtlenségekben. Jobb és baloldali határértékek. 
5.  Folytonos függvények.  A folytonosság értelmezése és jellemzései. Műveletek folytonos függvényekkel. Halmazon folytonos függvények. Kompakt halmazon folytonos függvények. Darboux tulajdonságú függvények. Folytonos függvények invertálhatósága. Egyenletesen folytonos függvények. 
6.  Deriválható függvények.  A derivált értelmezése. A deriválhatóság és folytonosság közötti kapcsolat. Jobb és baloldali deriváltak. A derivált mértani jelentése. Elemi függvények deriváltjai. 
      Műveletek deriválható függvényekkel. Összetett függvények deriváltjai. Az inverz függvény deriváltja. Helyi szélsőértékek. Fermat tétele. Darboux, Rolle, Cauchy, Lagrange és l’Hopital tételei. Monoton függvények jellemzése a deriváltakkal. Magasabb rendű deriváltak. Konvex függvények. Taylor képlete. Helyi szélsőérték pontok jellemzései a magasabb rendű deriváltakkal.
7.  Riemann integrálható függvények. Kompakt intervallum felosztásai. A Riemann integral értelmezése és jellemzései. Cauchy, Darboux és Lebesgue Riemann integrálhatósági kritériumai. Riemann értelemben integrálható függvényosztályok. Műveletek Riemann integrálható függvényekkel. Az integral monotonitási tulajdonsága. Középérték tételek. Az integral additivitása az intervallumra nézve. Primitív függvények. Folytonos függvények primitiválhatósága. Leibniz-Newton képlete. A primitive függvények kiszámítási módszerei. 
8.  Függvénysorozatok és függvénysorok.  Függvénysorozatok  pontonkénti és egyenletes konvergenciája: egyenletes konvergencia kritériumok. A határfüggvény tulajdonságai. Függvénysorok  pontonkénti és egyenletes konvergenciája: egyenletes konvergencia kritériumok. 
      Az összegfüggvény tulajdonságai. Hatványsorok. 

V. Könyvészet
1. D. ANDRICA, D.I. DUCA, I. PURDEA, I. POP: Matematica de baza, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2002
2. M. BALAZS,  J. KOLUMBAN: Matematikai analizis, Dacia Konyvkiado, Kolozsvar-Napoca, 1978
3. W.W. BRECKNER: Analiză matematică. Topologia spaţiului Rn, Universitatea din Cluj-Napoca, Cluj-Napoca, 1985
4. S. COBZAS: Analiza matematica (Calcul diferential), Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 1997
5. D.I. DUCA, E. DUCA: Analiza matematica. Culegere de probleme, Editura GIL, Zalau, 1999
6. L. LUPSA, L. BLAGA: Analiza matematica. Note de curs 1, Presa Universitara Clujeana, Editura Mega, Cluj-Napoca, 2003
7. H. LUENBURG: Vorlesungen uber Analysis, Manheim, Bibliographisches Institut, 1981
8. M. MEGAN: Bazele Analizei matematice, vol. 1,2,3, Editura Eurobit, 1997, 1997, 1998
9. GH. SIRETCHI: Calcul diferential si integral, vol. I si II, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti,1985 
10. V.A. Zorich: Mathematical Analysis, Springer, Berlin, 2004	

VI. Az oktatói tevékenység heti tematikája
A fenti felsorolás az előadások heti tematikáját tartalmazza. A gyakorlatok követik az előadások tematikáját. Zárójelben a tematikához tartozó könyvészeti anyag található. A hallgatók minden gyakorlaton kapnak házi feladatot. A félév közepe táján egy felmérő dolgozatot írnak, amely beszámít a vizsgajegybe.  

VII. Alkalmazott didaktikai módszerek
ismeretek közlése (előadás, leírás, magyarázat), frontális és egyéni beszélgetés, problematizálás.	

VIII. Értékelés
A félévközi dolgozatjegy a vizsgajegy 20 %-át teszi ki. A gyakorlaton kiadott házi feladatokat rendszeresen ellenőrizzük. A félévi vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. A végső jegy (billegés esetén) a gyakorlatokon való aktív részvételtől függ.   

IX. Kiegészíto könyvészet
1. BROWDER A.: Mathematical Analysis. An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1996.
2. BUCUR G., CÂMPU E., GĂINĂ S.: Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, Vol. II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966. Vol. III, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.

	Dátum, 2007, majus 4.						Eloadás felelőse,
								                 Prof. Dr. KASSAY Gabor