Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2006-2007  tanév,    1 .  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Logika, halmazelmélet  és aritmetika
Kód: MML0003
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Szántó Csaba adjunktus
Elérhetőség (e-mail, telefon): szanto@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra : péntek, 12-14
Szeminárium
Név, tudományos cím: Bonta Iluska tanársegéd
Elérhetőség (e-mail, telefon): itorok@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra : szerda, 12-14
Laboratórium
Név, tudományos cím: -
Elérhetőség (e-mail, telefon):-
Fogadóóra :-

III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].

A tantárgy célja a formális logika, halmazelmélet és aritmetika alapfogalmainak precíz, axiomatikus felépítése, az axiomatikus és  naiv (intuitív) szemléletmódok összevetése.
Az előadás elején a diákok képet kapnak a formális kijelentéslogika és predikátumlogika alapeszközeiről (szimbólumok, kifejezések, formulák, modellek,elméletek)  nagy hangsúlyt fektetve a kétfajta  (a szemantikus „következik”  és a szimbólikus „levezethető”) következményfogalomra illetve ezek ekvivalenciájára (Frege-Lukasiewicz és Gödel teljességi tétele). Ezután (mintegy alkalmazásként) következik a Neumann-Bernays-Gödel (NBG) axiómatikus halmazelmélet bemutatása a különféle fogalmak (halmazok, relációk , függvények, ekvivalencia relációk, rendezési relációk) tulajdonságainak részletezésével. Külön fejezetben tárgyaljuk a rendszámok és kardinális számok tulajdonságait, majd az NBG elmélet keretén belül megkonstruálunk egy természetes számhalmazt (mely eleget tesz az ún. Peano-axiómáknak). Bemutatjuk azt is miként lehet a természetes számhalmazból kiindulva az egész, racionális illetve valós számok halmazát felépíteni. Az előadás végén az elemi aritmetika néhány témakörét érintjük (oszthatóság, prímszámok, kongruenciák, diofantoszi egyenletek).

A szemináriumok célja az előadáson bemutatott fogalmak begyakorlása explicit példákon, gyakorlófeladatokon keresztül, nagy hangsúlyt fektetve a diákok önálló munkájára.
A bemutatott anyag elsajátítása mellett a diákok átfogó képet kaphatnak precíz, absztrakt matematikai levezetések metodikájáról is. 

IV.	Kötelező könyvészet:
 
1. MARCUS A., TOTH LASZLÓ, SZÁNTÓ CSABA: Logika és halmazelmélet, Scientia Kiadó, Kolozsvár  2004.
2. MARCUS A.: Algebra [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]

V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:

1. Fejezet. MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI
        1.Kijelentések. 
                        (1 óra előadás, 1 óra szeminárium) [1, 1.1, 1.2, 1.3 fejezet]
        2. Levezetés. (2+2) [1,  1.4. fejezet]
         3. Predikátumok. (2+2) [1, 2. fejezet]

2. Fejezet. Halmazok, relációk, függvények.
   1. Halmazok (1  + 1 )  [1, 3.1. fejezet]
   2. Relációk és függvények. (1+1) [1, 4.1., 4.2. fejezet]
   3. Injektív, surjectív, bijectív függvények.   (1+1) [1, 4.3. fejezet]
   4. Ekvivalenciareláció és faktorhalmaz (1+1) [1, 4.4. fejezet]
   5. Függvények faktorizálása  (1+1) [1, 4.5. fejezet]
   6. Rendezési relációk. Hálók    (2+2)  [1, 5.1, 5.2. fejezet]
   7. Boole-algebrák    (2+2)  [1, 10. fejezet] 

3. Fejezet. Kardinális számok
   1. Ekvipotenciareláció. (2+2)  [1, 7.1 fejezet]
   2. Műveletek kardinális számokkal  (2+2) [1, 7.2. fejezet]
   3. Véges, végtelen halmazok.   (1+1) [1, 7.3. fejezet]
   4. A kombinatorika elemei. (1+1) [1,7.3. fejezet]

4. Fejezet. Számhalmazok
   1. Természetes számok. (2+2)  [1, 6.1 fejezet]
   2. Egész, racionális, valós számok. (2+2)  [1, 6.2., 6.3, 6.4 fejezet]
   
5. Fejezet. Aritmetika
    1. Oszthatósáag. (2+2) [2, 1.1.2 fejezet]
    2. Prímszámok. (2+2) [2, 1.1.2  fejezet]

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 

A félév felénél sor kerül egy zárthelyi dolgozatra, mely majd a végleges jegy 20%-át teszi ki.
A zárthelyi szándékos kihagyása kizárja a vizsgán való részvételt.
Szemináriumon önállóan, helyesen megoldott feladat 0,2-vel emeli a végleges jegyet.

A vizsga írásbeli.

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:

1. I.T. ADAMSON: A Set Theory Workbook, Birkhauser, Boston, 1998.
2. S. BILANIUK: A Problem Course in Mathematical Logic, Trent University, Ontario 2003
3. G. GRATZER: General Lattice Theory, Birkhauser, Boston 1998.
4. P.R. HALMOS: Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company Inc. Princeton 1967.
5. C. NASTASESCU: Introducere in teoria multimilor, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti  
     1981.
6. S.G. KRANTZ: Logic and Proof Techniques for Computer Science, Birkhauser Boston 2002.
7. KOMJATH P.: Halmazelmelet, Egyetemi jegyzet, ELTE Budapest 1999.
8. KOMJATH P.: Matematikai logika, Egyetemi jegyzet, ELTE Budapest 2000.