Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2006-2007  tanév,    1 .  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Algebra 1 (Lineáris algebra)
Kód: MMF0001
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Szántó Csaba adjunktus
Elérhetőség (e-mail, telefon): szanto@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra : péntek, 12-14
Szeminárium
Név, tudományos cím: Bonta Iluska tanársegéd
Elérhetőség (e-mail, telefon): itorok@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra : szerda, 12-14
Laboratórium
Név, tudományos cím: -
Elérhetőség (e-mail, telefon):-
Fogadóóra :-

III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].

A tantárgy célja egyrészt a már gimnáziumban megismert algebrai alapfogalmak átismétlése, másrészt a lineáris algebra alapjainak elsajátítása. Ennek megfelelően az első néhány előadás az ismert algebrai struktúrák (csoportok, gyűrűk, testek,polinomok) alaptulajdonságait tekinti át. A további előadások a lineáris algebra klasszikus fejezeteit követik. Előbb a lineáris algebra alapfogalmai (vektortér, bázis, lineáris függvény és mátrixa, báziscsere) és ezek alaptulajdonságai kerülnek bemutatásra.  Ezután következnek a különféle mátrixalkalmazások (determinánsok, mátrix rangja és ezek kiszámolása, mátrix invertálása, lineáris egyenletrendszerek és ezek megoldása), nagy hangsúlyt fektetve az algoritmikus módszerekre. A következő fejezet célja a mátrixok kanonikus alakjainak (trianguláris, diagonális, Jordan-féle normálalak) bemutatása a sajátérték, sajátvektor fogalmának bevezetésével. Az utolsó fejezetben bemutatásra kerülnek a biliniáris és kvadratikus alakok, illetve a segítségükkel felépíthető unitér és euklidészi terek. Szó lesz a kvadratikus formák kanonikus alakra hozásáról (Gauss-Lagrange illetve ortogonális transzformációk módszerével), ortogonális bázisok szerkesztéséről euklidészi terekben (Gram-Schmidt módszerével), ortogonális mátrixokról és izometriákról, normális mátrixokról és spektráltételekről.
A szemináriumok célja az előadáson bemutatott fogalmak begyakorlása explicit példákon, gyakorlófeladatokon keresztül, nagy hangsúlyt fektetve a diákok önálló munkájára.
A bemutatott anyag elsajátítása mellett a diákok átfogó képet kaphatnak precíz, absztrakt matematikai levezetések metodikájáról is. 

IV.	Kötelező könyvészet:
 
1. MARCUS A.: Algebra [http://math.ubbcluj.ro/~marcus]

V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként): 
-	alapfogalmak vagy kulcsszavak, 
-	a megfelelő kötelező könyvészet adatai (fejezetek, oldalak)
-	a hallgatók kötelezettségei az illető tevékenységen (kötelező olvasmányok, házi feladatok, dolgozatok)].
1. Fejezet. ALAPFOGALMAK.
        1. Csoport. Részcsoport. Csoportmorfizmus. Permutaciók. 
                        (2 óra előadás, 2 óra szeminárium) [1, 1.2. fejezet]
        2. Gyűrű, test. Polinomok. (2+2) [1, 1.3.1, 1.4.1. fejezet]

2. Fejezet. Vektorterek
   1. Vektorterek. Lineáris függvények. Részterek (2  + 2 )  [1, 1.5. fejezet]
   2. Lineáris függőség és függetlenség. (1+1) [1, 2.1.1. fejezet]
   3. Steinitz tétele. Dimenzió.   (1+1) [1, 2.1.2., 2.1.4. fejezet]
   4. Vektorterek univerzális tulajdonsága  (1+1) [1, 2.1.3 fejezet]
   5. Lineáris függvény mátrixa  (1+1) [1, 2.1.5. fejezet]
   6. Báziscsere.    (1+1)  [1, 2.1.6. fejezet]

3. Fejezet. Lineáris egyenletrendszerek.
   1. Lineáris egyenletrendszerek. (1+1)  [1, 2.3.1 fejezet]
   2. Determinansok  (1+1) [1, 2.2.2. fejezet]
   3. Mátrix rangja. Invertálható mátrixok.   (1+1) [1, 2.2.3, 2.2.4, fejezet]
   4. Cramer, Kronecker-Capelli, Rouche tételei. (2+2) [1, 2.3.2. fejezet]
   5. Algoritmikus módszerek. (2+2)  [1, 2.3.3 fejezet]

4. Fejezet. Sajátértékek és sajátvektorok
   1. Sajátértékek és sajátvektorok. Hamilton-Cayley-tétel. (1+1)  [1, 2.4.1 fejezet]
   2. Sajátrészterek. Diagonalizálható mátrixok. (1+1)  [1, 2.4.2. fejezet]
   3. Jordan-féle normálalak.  (2+2)  [1, 2.4.3, 2.4.4. fejezet]

5. Fejezet. Bilineáris és kvadratikus alakok 
   1. Bilineáris és kvadratikus alakok. (1+1) [1, 2.5.1 fejezet]
   2. Valós alakok. Sylvester-tétel.     (1+1) [1, 2.5.2, 2.5.3 fejezet]
   3. Unitér és euklideszi terek. Gram-Schmidt ortogonalizálás. (1+1) [1, 2.6.2-2.6.3 fejezet]
   4. Lineáris függvény adjungáltja. Unitér és hermitikus mátrixok. (1+1) [1, 2.6.4 fejezet]
   5. Normális mátrixok és spektral tételek.  (2+2) [1, 2.6.5 fejezet]

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 

A félév felénél sor kerül egy zárthelyi dolgozatra, mely majd  a végleges jegy 20%-át teszi ki.
A zárthelyi szándékos kihagyása kizárja a vizsgán való részvételt.
Szemináriumon önállóan, helyesen megoldott feladat 0,2-vel emeli a végleges jegyet.

A vizsga írásbeli. 

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:

1. Fried E.: Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
2. Halmos P.:   Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest  1984.
3. I.D. ION, N. RADU, Algebra (ed.4), Editura Didactica si Pedagogica, 1990. 
4. I.V. PROSKURIAKOV: Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow 1978.
5. S. AXLER: Linear algebra done right. Springer-Verlag, New York, 1997.
6. N. BOURBAKI, Algebre, chap. 1-3, Ed. Hermann, Paris 1970.
7. P. GABRIEL: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin   1996.