Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
 _____II._______  tanév,    _IV._ .  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Geometriai sokaságok differenciálhatósága
Kód: MMG0005
Kreditszám:  5
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
előadás: Mathematicum, π terem;
szeminárium: A312;
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium): 
előadás: kedd 16-18 óra;
szeminárium: szerda 12-14 óra;

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Varga Csaba, Dr.
Elérhetőség (e-mail, telefon): csvarga@cs.ubbcluj.ro
Fogadóóra : kedd 12-14
Szeminárium
Név, tudományos cím: Varga Csaba, Dr.
Elérhetőség (e-mail, telefon): 
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :
         
III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].
        1.  tegye lehetővé az  többváltozós függvények differenciálszámításának  kiterjesztését absztrakt sokasásogra;
        2.  tegye lehetővé  a  differenciálható sokaságok között értelmezett függvények differenciálfogalmának a helyes elsajátítását és ezek tulajdonságainak a tanulmányozását; 
        3. tegye lehetővé  „Görbék és felületek" előadásban tanult fogalmak általánosítását absztrakt sokaságora való kiterjesztését;
        4. .tegye lehetővé  az érintőtér, érintőleképzések és ezek duális fogalmainak a megértését és elsajátítását;
        5.  nyújtson betekintést a vektornyalábok elméletébe;
        6.  mutasson rá egy sokaságon értelmezett vektormezők és az altaluk generált lokális és globális  folyamok
  kapcsolatára valamint tegye lehetővé  egy sokaságon értelmezett vektormezők által alkotott Lie algebrák elméletébe;
        7. tegye lehetővé  a tenzorszámítás elsajátítását és egy differenciálható sokaságon értelmezett tenzormezők által alkotott tenzoralgebra fogalmának megértéset és a lineáris konexiók és a kovariáns derivált absztrakt tárgyalását.  

Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].
1.	Ioan Pop – Topologie Algebrică, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1990;
2.	Gh. Galbură, F. Radó, Geometrie,  Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
3.	Szilasi József, Bevezetés a differenciálgeometriába, Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1998;
4.	M. Spivak: Calculus on Manifolds, Benjamin, New York, 1965;
5.	Gheorghiev, Gh., Oproiu, V., Varietăţi diferenţiabile finit şi infinit dimensionale, vol. I, Ed. Academiei, Bucureşti, 1976;
6.	 Auslander, L. - Mackenzie, R.E.: Introduction to Differentiable Manifolds, McGraw-Hill, 1963 
7.	Postnikov, M.M.: Lectures on Geometry, sem. III, Mir Publishers, 1989

IV.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

V.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként);

1. előadás: topológikus terek, folytonos függvények, faktor-toplogiák; 
2. előadás:  csoporthatások, differenciálszámítás -ben, az inverz függvény és az implicit függvény tétele; 
3. előadás: egy differenciálható függvény rangja, a rang tétele, imerziók és szubmerziók; 
4. előadás: a differenciálható sokaság fogalma, a differenciálható sokaságog topologikus tulajdonságai, differenciálható függvények sokaságok között, a rang tétele sokaságokon, imerziók, szubmerziók;
5.  az őskép tétele, az egységfelbontás tétele és néhány következménye, az érintőtér és az érintőleképzések;
6. az érintőtér és az érintőleképzések; az érintőtér és az érintőleképzések  duálisai, a rang tétele sokaságokon, imerziók, szubmerziók és diffeomorfizmusok;
7.  vektornyalábok,  lokákisan triviális vektornyalábok, vektornyalábok szerkesztése, példák lokálisan triviális vektornyalábokra;
8. előadás: vektormezők egy sokaságon, vektormezők által generált lokális és globális folyamok;
9. előadás: vektormezők integrálhatósága és teljessége;
10. előadás: vektormezők Lie algebrája;
11. előadás: tenzorok és külső formák egy lineáris téren;
12. előadás: tenzorok és külső formák egy differenciálható sokaságon; tenzormezők egy sokaságon;
13. előadás: lieáris konexiók es sokaságon; kovariáns derivált;
14. előadás: párhuzamos eltolás és az exponenciális függvény.

1. szeminárium: a Dn zárt golyó, az Sn-1 gömbfelület, hányados-topológia, példák: henger, tórusz;
2. szeminárium: példák differenciálható sokaságokra, lineáris csoport, Sn-1 gömb mint n-dimenziós differenciálható sokaság, RPn  projektív tér; 
3. szeminárium:  differenciálható függvények  sokaságok között, a rang tétele konkrét példakon:
4. szeminárium: az őskép tételenek alkalmazásai, példák, az Sn-1 mint részsogasága az Rn-nek, az O(n) ortogonális csoport; 
5. szeminárium: példák és ellenpéldák imerziókra, szubmerziókra  és diffeomorfizmusokra;
6. szeminárium:  függvények szingularitásainak tanulmányozása, néhány releváns példa a függvények szingulaitásaira  vonatkozóan; 
7. szeminárium:példák lokálisan triviális vektornyalábokra a gömb, proiektív tér és más ismert sokaságok esetén;
8. szeminárium: ismert sokaságok esetén adott vektormezők folyamának meghatározása;
9. szeminárium: kompakt és nemkompakt sokaságokon értelmezett vektormezők teljességének tanulmányozása;
10. szeminárium: lineáris tereken értelmezett tenzorok és azokkal kapcsolatos feladatok;
11., 12. szeminárium:  sokaságokon értelmezett tenzorok és külső formák;
13. szeminárium: Lie deriválttal kapcsolatos feladatok;
14. szeminárium: lineáris konexiókkal kapcsolatos feladatok, a görbületi tenzor és a torziós tenzor; 
VI.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 
1. Egy kötelező dolgozat írása (a vizsgára való jelentkezésnek előfeltétele), a dolgozatot 1-10 között osztályozzuk. A jegy 20% -át jelenti. 
2. Az évközi munka (házi feladatok, projektek) a befektetett munka függvényében beleszámítanak a végső jegybe és a jegy 10%-át jelentik. 
3.  A vizsga szóbeli, elméleti kérdésekből és feladatokból áll.
4.  A végső jegy az előzőek átlaga.

VII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].
1. a vizsgán való jelentkezésnek semmi előfeltétele nincs. Aki nem teljesíti az 1. és 2. pontokat az a 3. szerint vizsgázik.
2. másolás esetén a következő évben fel kell venni a tárgyat, az illető évre nincs több vizsga (ha ez nem felel meg, akkor jegyzőkönyv alapján kérjük az egyetemről való kizárást)

VIII.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internet cím is) ].

1.	Avez, Differential Calculus, Wiley, Chichester-New York, 1986;
2.	B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York, 1966;
3.	J. A. Thorpe, Elementary Topics in  Differential Geometry, Springer-Verlag, New York- Berlin, 1979;