Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
 _____II._______  tanév,    _III._  félév 

A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Görbék és felületek elmélete
Kód: MMG0004
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium): 	, szem.: 
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):	, szem.: 

I.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Varga Csaba, Dr.
Elérhetőség (e-mail, telefon)  csvarga@cs.ubbcluj.ro
Fogadóóra :  Kedd 12-14
Szeminárium
Név, tudományos cím:  
Elérhetőség (e-mail, telefon): 
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :
         
II.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].
A tantárgy felépítése a következő célok szerint történt:
		1.  tegye lehetővé azon eszközök elsajátítását, amelyek szükségesek a síkgörbék és térgörbék tanulmányozásához, vagyis az  érintő, normálsík(normális), simulósík, rektifiálósík, normális, binormális, Frenet –féle triéder fogalmának elsajátítátását és ezek alkalmazását.  
2.	tegye lehetővé a  sík és a  térgörbékhez rendelt absztrakt fogalmak, mint a görbület, torzió és szinguláris pont fogalmának geometriai értelmezését, ami hozzájárul a fogalmak jobb megértéséhez és elsajátításához.
3.	tegye lehetővé a felületek fogalmának helyes megértését és a felületekhez rendelt geometriai fogalmak(érintő, normál vektormezők, Gauss-féle koordináta renszer, első és második alapforma)  elsajátítását.
4.	nyújtson betekintést a felületekhez rendelt olyan geometriai fogalmakba mint, a felületek kozépgörbulete, összgörbülete, Christofell, Riemann féle szimbolumai, kovariáns derivált és párhuzamos eltolás  és a felúletek geodetikus vonalainak elméletébe. 

III.	Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].

1. Do Carmo, M.P.: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, 1976 
2. Mezei I., Varga Cs., Görbék és felületek elmélete, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2002.
3. Szilasi J., Bevezetés a  differenciálgeometriába, Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecn, 1998.
4. Pintea C.S., Geometrie – Elemente de geometrie analitică, Elemente de geometrie diferenţială a curbelor şi suprafeţelor, Presa Universitară Clujeană, 2001.
5. Teodorescu I., Teodorescu Şt.D., Culegere de probleme de geometrie superioară, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975.
6. Klingenberg, W: A Course in Differential Geometry, Springer, 1983 
7. Stoka M.,  Vrânceanu G.G., Probleme de geometrie diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1963.

IV.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

V.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként);
1. előadás:  differenciálszámítási alapjai, a görbék értelmezése, érintő, normálsík fogalma, görbék általános helyzetbe, simulósík;
2. előadás:   vektormezők egy görbe mentén, Frenet- féle koordináta-rendszer, Frenet féle képletek, egy görbe görbülete és torziója, a Frenet féle triéder; 
3. előadás:  egy térgörbe görbületének és torziójának mértani jelentése,  egy térgörbe simulóköre és simulógömbje ;
4. előadás: egy görbe tanulmányozása szinguláris pontjának környezetébe;
5. előadás:  görbecsalád burkolója, egy és két paraemétertől függő síkgörbecsalád burkolója, egy paramétertől függő térgörbecsalád burkolója, parameters egyenletekkel megadott görbe család burkolója;
6. előadás: síkgörbe és térgörbe evolutája és evolvense;
7.előadás: felületek értelmezése, példák felületekre(hengerfelület, kúpfelület, konoidfelület, csavarfelület, forgásfelület);
8. előadás: vektormezők egy felület mentén, érintő vektormező, normál vektormező és Gauss féle koordináta-rendszer;
9. előadás: felületek első alapformája, felületen elhelyezkedő görbeív hossza, felületen elhelyezkedő két görbe szöge;
10. előadás: felületek második alapformája, Weingarten- transzformáció, egy felület aszimptotikus vonalai, Meusnier képlete;
11. előadás: egy felület főnormál görbületei, közép és összgörbület, Christoffel-féle szimbólumai ;
12.előadás: egy felület Riemann-féle szimbólumai, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus vonalak;  
13. előadás: Darboux-féle koordináta-rendszer, Darboux-féle képletek; 
14. előadás: felület tanulmányozása szinuláris pontjának környezetében;

1. és 2. szeminárium:   példák görbékre , érintő, normális,(normálsík) egyenletei, simulósík egyenlete,  Frenet- féle koordináta-rendszer, Frenet féle képletek, egy görbe görbülete és torziója, egy görbe Frenet féle triéderének meghatározása;
3. és 4. szeminárium:  egy görbe görbülete és torziója, egy görbe Frenet féle triéderének meghatározása;  két görbe érintkezése és egy görbe tanulmányozása szinguláris pontjának környezetébe
5. szeminárium: egy térgörbe görbületének és torziójának mértani  jelentése, adott görbületű síkgörbék meghatározása, egy térgörbe simulóköre és simulógömbje,  egy  paraméteről  függő  görbecsalád burkolója és két paraméteről függő görbecsalád burkolója, ahol a paraméterek között adott egy összefüggés;
6. és 7. szeminárium: egy paramétertől függő térgörbecsalád burkolója, paraméteres egyenletekkel megadott görbecsalád burkolója;  sík és térgörbe evolutája és evolvense; 
 8. és 9.  példák felületekre(hengerfelület, kúpfelület, konoidfelület, csavarfelület, forgásfelület),  érintősík, normális, Gauss-féle koordináta-rendszer;
10. és 11. szeminárium: felületek első alapformája, felületen elhelyezkedő görbeív hossza, felületen elhelyezkedő két görbe szöge; felületek második alapformája, Weingarten- transzformáció, egy felület aszimptotikus és görbületi vonalai;
12. szeminárium: egy felület főnormál görbületei, közép és összgörbület, Christoffel-féle szimbólumai;
13. szeminárium: egy felület Riemann-féle szimbólumai, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus vonalak;  
geodetikus vonalak meghatározása különböző  felületeken;
14. szeminárium:  Darboux-féle képletek; egy felület tanulmányozása szinguláris pontjának környezetében:

Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 
1. Egy kötelező dolgozat írása (a vizsgára való jelentkezésnek előfeltétele), a dolgozatot 1-10 között osztályozzuk. A jegy 20% -át jelenti. 
2. Az évközi munka (házi feladatok, projektek) a befektetett munka függvényében beleszámítanak a végső jegybe és a jegy 10%-át jelentik. 
3.  A vizsga szóbeli, elméleti kérdésekből és feladatokból áll.
4.  A végső jegy az előzőek átlaga.

VI.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].
1. másolás esetén a következő évben fel kell venni a tárgyat, az illető évre nincs több vizsga (ha ez nem felel meg, akkor jegyzőkönyv alapján kérjük az egyetemről való kizárást)

VII.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internet cím is) ].