Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2006-7 tanév,   2.  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve: Valós függvénytan
Kód: MMA0005
Kreditszám: 6
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím: dr. Németh Sándor, egyetemi tanár
Elérhetőség (e-mail, telefon): nemab math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :
Szeminárium
Név, tudományos cím: dr. Németh Sándor, egyetemi tanár
      Elérhetőség (e-mail, telefon): nemab math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :

III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].

A valós analízis célja felvértezni a másodéves hallgatót azokkal az ismeretekkel amelyek egy matematika diplomával rendelkező végzősnek az analízis huszadik századi vívmányairól tudnia kell, valamint előkészíteni az alapokat olyan tantárgyak számára mint a valószínűség-számítás, a funkcionál-analízis, vagy a differenciál-egyenletek. Ennek érdekében a kurzus három fő fejezete az általános topológia, a mértékelmélet és az integrálelmélet. A végső cél a Lebesgue-féle integrál értelmezése és tulajdonságainak vizsgálata. Ez lehetővé teszi a fogalom alkalmazását a fent felsorolt matematikai diszciplínák tanításánál. Előadás közben a diákok ellenőrizendő feladatokat kapnak, amelyeke közül a nehezebbeket  -  más feladatok kíséretében  -  a szemináriumon megoldanak.

IV.	Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].

1. Anisiu Valeriu, Topologie si teoria masurii, Babes-Bolyai Tudományegyetem, 1993.

2. Németh Sándor, Valós analízis, Erdélyi Tankönyvtanács kiadója, Kolozsvár, 2004.

3. Németh Sándor, Általános topológia, Babes-Bolyai Tudományegyetem, 1995.

(A könyvek a könyvtárból kikölcsönözhetők.)

V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként): 
-	alapfogalmak vagy kulcsszavak, 
-	a megfelelő kötelező könyvészet adatai (fejezetek, oldalak)
-	a hallgatók kötelezettségei az illető tevékenységen (kötelező olvasmányok, házi feladatok, dolgozatok)].
-	
KURZUS

Általános topológia
1. A metrikus tér nyilt halmazai (ismétlés), a topológia Hausdorff-féle axiómái, a topológia bázisa, szubbázisa, pont környezetszűrője.
2. A topológikus tér zárt részhalmazai, halmaz belseje, zárt burkolója, torlódási pontja és határa.
A topológikus tér altere. Topológikus terek direkt szorzata.
3. Számossági és szétválasztási axiómák. Folytonos függvények.
4. -5. Kompakt halmazok. Teljesség és kompaktság a metrikus térben. Összefüggő halmazok.

Mértékelmélet
6. Nevezetes halmazcsaládok: halmazgyűrű, halmazalgebra, szigma-gyűrű, szigma-algebra.
Additiv halmazfüggvény és mérték, a mérték tulajdonságai.
7. Külső mérték. Halmazgyűrűben értelmezett mértékhez rendelt külső mérték,
ennek relatív szigma-additivitása.
8. Elemi halmazok az euklideszi térben, elemi halmazok térfogata, a Lebesgue-féle
külső mérték. Halmaz Lebesgue-mérhetősége.
9. Külső mértékhez rendelt mértéktér. Lebesgue-mérhető halmazok az euklideszi térben.
10. Mérhrtő függvények. Műveletek mérhető függvényekkel. Lépcsős függvények.

Integrálelmélet
11. Nem-negatív lépcsős féggvény és nem negatív mérhető függvény mérték szerinti integrálja.
12. Határátmenet az integráljel alatt: a monoton konvergencia Beppo Levi féle tétele,
a Fatou-féle lemma.
13. Mérhető függvény mérték szerinti integrálja és tulajdonságai. A Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel.
14. A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata, a Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltétele.

(Az előadások a kötelező könyvészetben megadott 2. pont alatt szereplő tankönyv beosztását, terminológiáját és jelöléseit követik.)

SZEMINÁRIUM

1. Halmaz számossága. Megszámlálható halmazok. A kontinuum-számosság. Megszámlálható halmaz részhalmazai családjának számossága. Halmazok egyesítése, keresztmetszete függvény általi képe és ősképe.
2. Metrikus terek. Az aritmetikus tér euklideszi, Csebisev-féle és Fréchet-féle metrikája.
Ekvivalens metrikák származtatta topológiák megegyezése.
3. Bázis, szubbázis. Példák a metrikus és az euklideszi térben. Rács, szűrő, környezetszűrő, környezetbázis. Példák általános topológikus térben és metrikus térben.
4. Halmazelméleti műveletekkel kapcsolatos feladatok: halmaz belseje, zárt burkolója,
torlódási pontjainak halmaza és határa képzésének művelete.
5. A számossági axiómák közötti kapcsolatok. A szétválasztási axiómák ekvivalens jellemzése és a közöttük lévő kapcsolatok vizsgálata.
6. Folytonos függvényekkel kapcsolatos feladatok.
7. Kompaktsággal és összefüggőséggel kapcsolatos feladatok.
8. Nevezetes halmazcslágokkal kapcsolatos feladatok. Ekvivalens definíciók. 
9. A félgyűrű fogalma. Félgyűrűk direkt szorzata félgyűrű. A valós tengely szakaszai által származtatott gyűrűk és félgyűrűk. A Borel-féle halmaztest.
10. Mértékterekkel kapcsolatos feladatok. A számlálási mérték. Az egy pontban koncentrált mérték. A Poincaré-féle formula.
11.  Lebesgue-mérhetőség a valós tengelyen. A Cantor-féle halmaz. A Cantor-féle
függvény.
12. Vitali példája nem Lebesgue-mérhető halmazra. Lépcsős függvényekkel és mérhető függvényekkel kapcsolatos feladatok.
13. Határátmenet integráljel alatt. Példák annak szemléltetésére, hogy egyszerű esetekben a határátmenet nem vihető be az integráljel alá.
14. A majdnem mindenholi konvergenciával kapcsolatos feladatok. Példák Lebesgue-integrálható függvényekre, amelyek nem Riemann-integrálhatók. Minden korlátos derivált függvény Lebesgue-integrálható.

(A hallgató köteles a szemináriumi munkában résztvenni.)

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 
A hallgató évközi munkájának értékelése a szemináriumokon való részvétel szerint és egy zárthelyi dolgozat jegyével történik. Mindezek a vizsgán elért jegybe beleszámítanak. A kurzuson kitűzott feladatok megoldását a hallgató a vizsgán bemutatja.
A vizsga írásbeliből és szóbeliből áll. Az írásbeli a szemináriumon megoldott feladatokhoz hasonló egyszerű feladatokból és elméleti tételek partikuláris eseteként megfogalmazott feladatokból áll. A szóbelin a hallgató két kérdést a topológia tárgyköréből, kettőt a mérték és integrálelmélet tárgyköréből kap. Minden kérdésre átmenő jegyre kell felelnie.

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].
A vizsgára a hallgató csak a kurzusokon kitűzött feladatok megoldását tartalmazó füzet felmutatásával jöhet. Minden csalási szándék vagy csalás a vizsgáról való kizárással jár.

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) ].

1. Benkő József, A topológia elemei, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1975.

2. Borsan, Dorina, Wiesler, Herwart,  ANALIZA II. Teoria masurii si integrarii,
Babes-Bolyai Tudományegyetem, 1979.

3. Császár Ákos, Valós analízis I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983-1984.

4. Kirillov, A. A., Gvisiani, A. D., Feladatok a funkciálanalízis köréből, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.