Babeş–Bolyai Tudományegyetem Kolozsvár
Matematikai és Informatikai Kar  
2006-2007  tanév,    1.  félév 

I.	A tantárgy adatai

A tantárgy neve:   Matematikai Analízis (3)
Kód:
Kreditszám:
Hol tartják?  (előadás, szeminárium, laboratórium):
Mikor tarják? (előadás, szeminárium, laboratórium):

II.	Az oktatók adatai 
 
Előadás
Név, tudományos cím:  Finta  Zoltán,  Dr.
Elérhetőség (e-mail, telefon):  fzoltan@math.ubbcluj.ro
Fogadóóra :
Szeminárium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :
Laboratórium
Név, tudományos cím: 
Elérhetőség (e-mail, telefon):
Fogadóóra :

III.	A tantárgy leírása: 
[Célja, tartalma, milyen kompetenciát biztosít, az órán (előadás, szeminárium laboratórium) használt módszerek – 10-20 sor].

Általános célkitűzés:  fontos típusintegrálok bevezetése és tanulmányozása: elsőfajú és másodfajú vonalintegrálok, többváltozós valós függvények Riemann-integrálja,  elsőfajú  és másodfajú felületi integrálok
Tartalom: 1) Utak, görbék, első- és másodfajú vonalintegrálok
                 2) Többváltozós valós függvények Riemann-integrálja. A Green-képlet
                 3) Felületi integrálok. A Gauss-Osztrográdszkij-féle képlet
                 4) Paraméteres integrálok
                 5) A Beta és Gamma függvények

IV.	Kötelező könyvészet:
 [Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) – max. 10 cím].

[1] Balázs M., Matematikai Analízis, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000.
[2] Balázs M., Kolumbán J., Matematikai Analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1978.

[3] Bucur Gh., Câmpu E., Găină S., Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral,
      vol. 3, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
[4] Mihu C., Iambor I.P., Curbe plane, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989.
[5] Chiriţă S., Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, 
      Bucureşti, 1989.
[6] Flondor D., Donciu N., Algebră şi analiză matematică – culegere de probleme,
      Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
[7] Mocică Gh., Probleme de funcţii speciale, Editura Didactică şi Pedagogică, 
      Bucureşti, 1988.

V.	Az oktatásban használt eszközök:
[Esetenként: számítógép, laboratóriumi felszerelések, különleges eszközök stb. – annak megjelölésével, hogy a kar biztosítja-e vagy nem – nem kötelező].

VI.	A tevékenységek és ellenőrzések/részleges vizsgák órarendje:
[Minden tevékenység – előadás, szeminárium, laboratórium, részleges vizsga – tematikája, dátuma és a következő adatok (tevékenységekként): 
-	alapfogalmak vagy kulcsszavak, 
-	a megfelelő kötelező könyvészet adatai (fejezetek, oldalak)
-	a hallgatók kötelezettségei az illető tevékenységen (kötelező olvasmányok, házi feladatok, dolgozatok)].

ELŐADÁSOK:
1)  Korlátos változású függvények  A C^{1} osztályú függvény teljes változásának meghatározása [1; 103-106]
2)  Utak, görbék az R^{p} térben. Műveletek utakkal. Rektifikálható utak. Ívhossz függvény.
Elsőfajú vonalintegrál [1; 108-111;  219-221]
3)  Másodfajú vonalintegrál. Az úttól való függetlenség; a primitív függvény létezése [1; 221-230]
4)  Az R^{n} tér halmazainak Jordan-mértéke. Jordan-mérhető halmazok. Nullamértékű halmaz
Jordan-értelemben [1; 231-235]
5)  Többváltozós valós függvény Riemann-integrálhatósága. Darboux-összegek. Az integrálha-
tóság Darboux-kritériuma [1; 236-243]
6)  A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-kritériuma. Az integrál additivitása. Fubini-tétele.
Kettős és hármas integrálok visszavezetése iterált integrálokra [1; 243-248]
7)  A Green-képlet és alkalmazásai [1; 249-257]
8)  Változócsere tétele többváltozós függvények esetén. Nevezetes változócserék kettős és 
hármas integrálokban [1; 249-257]
9)  Felületek az R^{3} térben. Sima felület területének meghatározása [1; 259-265]
10)  Elsőfajú felületi integrálok. Írányított felületek. Peremes felület és annak irányítása.
Másodfajú felületi integrálok [1; 265-268]
11)  A Gauss-Osztrográdszkij-féle képlet. A Stokes-féle képlet [1; 269-275]
12)  Paramétertől függő integrálok. Határátmenet az integráljel alatt. Deriválás az integráljel alatt.
Integrálás az integráljel alatt [1; 201-211]
13)  Paramétertől függő improprius integrálok. Határátmenet az integráljel alatt. Deriválás az
integráljel alatt. Integrálás az integráljel alatt [1; 211-218]
14)  Az Euler-féle Beta és Gamma függvények. Fontosabb tulajdonságok [1; 211-218].
SZEMINÁRIUMOK:
1)  Feladatok korlátos változású függvényekkel [3; 5-43]
2)  Fontosabb utak és görbék bemutatása [4]
3)  Elsőfajú és másodfajú vonalintegrálok kiszámítása. A primitív függvény meghatározása
[5; 234-242]
4)  A fontosabb integrálási módszerek átismétlése [5; 201-223]
5)  A fontosabb integrálási módszerek átismétlése [5; 201-223]
6)  Fubini tételének alkalmazása kettős és hármas integrálokra normáltartományok esetén
[5; 243-258  és  265-273]
7)  A Green-képlet és alkalmazásai [5; 243-258]
8)  Kettős és hármas integrálok kiszámítása a változócsere segítségével [5; 243- 258 és 265-273]
9)  Kettős és hármas integrálok kiszámítása a változócsere segítségével [5; 243-258 és 265-273]
10)  Elsőfajú és másodfajú felületi integrálok kiszámítása [5; 258-265]
11)  Alkalmazások a Gauss-Osztrográdszkij-képletre és a Stokes-képletre [5; 258-265-273]
12)  Paramétertől függő integrálok kiszámítása [6; 46-54]
13)  Paramétertől függő improprius integrálok kiszámítása [6; 46-54]
14)  Az Euler-féle integrálokkal kapcsolatos gyakorlatok [7; 7-33].

VII.	Az értékelés módja:
[A hallgatók milyen tevékenységét értékeljük (állandó ellenőrzés, zárthelyi dolgozatok, kutatási projektek, aktív részvétel stb.), ezek súlya a végleges jegyben, a vizsgáztatás módja, értékelési kritériumok]. 

-    egy zárthelyi golgozat (20%)
-	vizsgajegy (80%)
A vizsgáztatás módja:  írásbeli  és szóbeli.

VIII.	Szervezési kérdések, a különleges esetek kezelése:
[Óralátogatás (esetleg), vizsgára való jelentkezés feltételei, bepótolás lehetőségei, plagizálás, másolás, csalás következményei, óvások megoldása].

IX.	Ajánlott, de nem kötelező könyvészet:
[Teljes és pontos adatok, elérhetési mód  (akár internetcím is) ].

Pál J., Schipp F., Simon P., Analízis II, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.
Zorich V.A., Mathematical Analysis I, II,  Springer, Berlin, 2004.